两个计数原理

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1、乙地乙地甲地甲地甲地甲地乙地乙地a1a2a3b1b2看图看图1和图和图2，数一数从甲地到乙地有多少种不同的走，数一数从甲地到乙地有多少种不同的走法？法？图1图2问题问题1 从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽车从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天一天中，火车有中，火车有 2 班，汽车有班，汽车有 4 班，那么一天中乘坐这些交通班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的选择？工具从甲地到乙地有多少种不同的选择？解解 246(种种)1.要完成什么事？要完成什么事？2.完成这件事有几类不完成这件事有几类不同的办法？同的办法？3.每类办法中又有几种每类办法中又有几种方法？方法？4

2、.完成这件事共有多少完成这件事共有多少种不同的方法？种不同的方法？乙地乙地汽车汽车火车火车甲地甲地火车火车汽车汽车（一）分类计数原理（一）分类计数原理 有有n 类办法类办法Nm1m2mn第第 1 类办法中类办法中有有 m1 种不同的方法种不同的方法第第 2 类办法中类办法中有有 m2 种不同的方法种不同的方法第第 n 类办法中类办法中有有 mn 种不同的方法种不同的方法共有多少种不同的方法共有多少种不同的方法完完成成一一件件事事例例1书架上层有不同的数学书书架上层有不同的数学书 15 本，中层有不同的语文本，中层有不同的语文书书 18 本，下层有不同的物理书本，下层有不同的物理书 7 本本.现

3、从中任取一本书，问现从中任取一本书，问有多少种不同的取法？有多少种不同的取法？ 有有三三类取法类取法 N15187 40(种)第第 1 类类，从从上上层层 15 本本数数学学书任取一本，有书任取一本，有 15 种取法种取法 第第 2 类类，从从中中层层 18 本本语语文文书任取一本，有书任取一本，有 18 种取法种取法 第第 3 类类，从从下下层层 7 本本物物理理书任取一本，有书任取一本，有 7 种取法种取法 共有多少种不同的取法共有多少种不同的取法 任任取取一一本本书书 例例 2某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，甲组甲组 9 人，乙组人，乙组 11 人

4、，丙组人，丙组 10 人，丁组人，丁组 9 人人现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多少现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多少种不同的选法？种不同的选法？解解根据分类计数原理，根据分类计数原理，不同的选法一共有：不同的选法一共有：N91110939(种种)问题问题(1)：本题中要完成一件什么事？：本题中要完成一件什么事？问题问题(2)：由：由 A 地去地去 C 地有地有 个步骤，个步骤， 第一步：由第一步：由 A 地到地到 B 地，有地，有 种不同的走法；种不同的走法； 第二步：由第二步：由 B 地到地到 C 地，有地，有 种不同的走法种不同的走法问题问题(3)：完成这件事有多少种不同的

5、方法？：完成这件事有多少种不同的方法？223问题问题2 由由 A 地去地去 C 地，中间必须经过地，中间必须经过 B 地，且已知由地，且已知由 A地到地到 B 地有地有 3 条路可走，再由条路可走，再由 B 地到地到 C 地有地有 2 条路可走，条路可走，那么由那么由 A 地经地经 B 到到 C 地有多少种不同的走法？地有多少种不同的走法？CBAa1a2a3b1b2解解 3 26 (种种)a1a2a3b1b2（二）分步计数原理（二）分步计数原理完完成成一一件件事事第第1 1步步有有m1 1种种不不同同的的方方法法第第2 2步步有有m2 2种种不不同同的的方方法法第第 n步步有有mn种种不不同同

6、的的方方法法N= m1 1 m2 2 mn 有有 n 个步骤个步骤共有多少种不同的方法共有多少种不同的方法 例例3 3 书架上层有不同的数学书书架上层有不同的数学书1515本，中层有不同的语文书本，中层有不同的语文书1818本，本，下层有不同的物理书下层有不同的物理书7 7本本. .现从中取出数学、语文、物理书各一现从中取出数学、语文、物理书各一本，问有多少种不同的取法？本，问有多少种不同的取法？ 有有三个步骤三个步骤N151871890 第第1步步，从从 上上 层层1 5本本 数数学学 书书 任任取取 一一 本本, ,有有 1 5种种取取 法法 ；第第2步步，从从 中中 层层1 8本本 语语

7、文文 书书 任任取取 一一 本本, ,有有 1 8种种取取 法法 ；第第3步步，从从 下下 层层7 本本物物理理 书书 任任取取 一一 本本, ,有有 7 种种取取法法. .各各取取一一本本书书共有多少种不同的取法共有多少种不同的取法第第3步步， 例例4 4 某农场要在某农场要在4 4种不同类型的土地上，试验种植种不同类型的土地上，试验种植A，B，C，D这这4种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，问有多少种不同的试验方案？问有多少种不同的试验方案？依据分步计数原理，依据分步计数原理，可知有可知有432124 种不同的试验方案种不同的试验方案

8、.第第 3 步，考虑步，考虑 C 种小麦，可在剩下的种小麦，可在剩下的 2 种不同种不同类型的土地中任选类型的土地中任选 1 种，有种，有 2 种选法；种选法；第第 2 步，考虑步，考虑 B 种小麦，可在剩下的种小麦，可在剩下的 3 种不同种不同类型的土地中任选类型的土地中任选 1 种，有种，有 3 种选法；种选法；第第 4 步，最后考虑步，最后考虑 D 种小麦，只剩下种小麦，只剩下 1 种类型种类型的土地，因此只有的土地，因此只有 1 种选法种选法.第第 1 步，先考虑步，先考虑 A 种小麦，可在种小麦，可在 4 种不同类型种不同类型的土地中任选的土地中任选 1 种，有种，有4 种选法；种选

9、法；例例5 由数字由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个可以组成多少个 3 位数位数(各位上的数字可以重复各位上的数字可以重复)？解根据分步计数原理，解根据分步计数原理，组成不同的组成不同的 3 位数的个数共有位数的个数共有555125 (个个). 百位百位 十位十位 个位个位第一步第一步 第二步第二步 第三步第三步 5 5 5两个原理的共同点与不同点两个原理的共同点与不同点.(1)共同点：共同点：(2)不同点：不同点：都是研究都是研究“完成一件事，共有多少种不同完成一件事，共有多少种不同的方法的方法”；分类计数原理分类计数原理中的中的 n 类办法相互独立，且每类办法里类办法相互独立，且每

10、类办法里的每种方法都可独立完成这件事；的每种方法都可独立完成这件事； 分步计数原理分步计数原理中的每个步骤互相依存，每一步都不能中的每个步骤互相依存，每一步都不能独立完成这件事，只有每个步骤都完成了，这件事才独立完成这件事，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成算完成.例例6 6 甲班有三好学生甲班有三好学生 8 人，乙班有三好学生人，乙班有三好学生 6 人，丙班有三人，丙班有三好学生好学生9人：人： （1 1）由这三个班中任选）由这三个班中任选 1 1 名三好学生，出席三好学生表名三好学生，出席三好学生表彰会，有多少种不同的选法？彰会，有多少种不同的选法？ （2 2）由这三个班中各选）由这三个班中各选 1 1 名三好学生，出席三好学生表名三好学生，出席三好学生表彰会，有多少种不同的选法？彰会，有多少种不同的选法？解解(1) 依分类计数原理，不同的选法种数是依分类计数原理，不同的选法种数是N86923； (2) 依分步计数原理，不同的选法种数是依分步计数原理，不同的选法种数是N869432分类计数原理分类计数原理分步计数原理分步计数原理两个原理的区别与联系两个原理的区别与联系