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1、第五节第五节 空间曲面、曲线及其方程空间曲面、曲线及其方程一一. 空间曲面及其方程空间曲面及其方程二二. 空间空间 曲线及其方程曲线及其方程第六节第六节 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程一一. 曲面及其方程曲面及其方程1. 曲面及其方程2. 球面及其方程4. 二次柱面5. 旋转曲面及其方程3. 柱面及其方程第五节第五节 空间曲面、曲线及其方程空间曲面、曲线及其方程1. 曲面及其方程例例解解2. 球面及其方程例例解解3. 柱面及其方程柱面的方程柱面的方程柱面的方程柱面的方程例例二次柱面及其方程二次柱面及其方程二次柱面及其方程二次柱面及其方程二次柱面及其方程二次柱面及其方程例例解解旋转曲面及其
2、方程旋转曲面及其方程旋转曲面的方程旋转曲面的方程例例解解例例二二. 空间曲线及其方程空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程2. 空间曲线的参数方程3. 空间曲线在坐标面上的投影1. 空间曲线的一般方程例例解解例例解解例例解解2. 空间曲线的参数方程例例解解例例解解3. 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影yxzoyxzo例例解解例例解解例例解解请注意：一条曲线在一个坐标面上的投影是唯一的。坐标面上的一条曲线可以是无穷多条曲线的投影。 半球面与锥面的交线为由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1yxzOx2 + y2 1于是交线C 在xoy面上的投影曲线为x2 + y2 = 1z
3、 = 0这是xoy面上的一个圆.求上半球面 和锥面的交线在xoy面上的投影曲线.练习练习圆柱面)(解解:1、椭球面2、 抛物面3、双曲面第六节第六节 二次曲面的标准方程二次曲面的标准方程研究方法是采用平面截割法.二次曲面二次曲面由x, y, z的二次方程:ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, , i, j 为常数且a, b, 不全为零.c, d,e, f几种常见二次曲面几种常见二次曲面.(1) 椭球面椭球面zoxyOoxyOz2 用平面z = k去截割(要求 |k | c),
4、得椭圆当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.1 用平面z = 0去截割, 得椭圆3 类似地, 依次用平面x = 0, 平面 y = 0截割, 得椭圆:zoxyO椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别方程可写为方程可写为球面球面方程可写为方程可写为（2 2）双曲抛物面）双曲抛物面zxyzxy(1)zxyzxy(3) 椭圆抛物面椭圆抛物面: 1 平面 z = k ,(k 0)截割, 截线是平面 z = k上的椭圆.k = 0时, 为
5、一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.zyxo2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.zyxo（4 4）单叶双曲面）单叶双曲面(a, b, c均大于0)以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为 椭圆以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为双曲线以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：双曲线（5 5）双叶双曲面）双叶双曲面(a, b, c均大于0)以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为 椭圆0zxy以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为双曲
6、线以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：双曲线0zxy椭球面、抛物面、双曲面、椭球面、抛物面、双曲面、截割法截割法.（熟知这几个常见曲面的特性）熟知这几个常见曲面的特性）小结思考题思考题方程方程表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？思考题解答思考题解答表示双曲线表示双曲线.思考题解答思考题解答表示双曲线表示双曲线.练练 习习 题题练习题答案练习题答案二、二、三、三、1 1 2 23 34 45 5典型例题典型例题例例1 1解解由题设条件得由题设条件得解得解得例例2 2解解过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为由题设知由题设知由此解得由此解得代回平面束方程为代回平面束方程为例例3 3解解即有即有例例4 4解解所求投影直线方程为所求投影直线方程为例例5 5解解由于高度不变由于高度不变,故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为 双曲抛物面是直纹面双曲抛物面是直纹面双曲抛物面是直纹面双曲抛物面是直纹面 .单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面
