《河北省黄骅中学2020-2021学年高二数学上学期第三次月考试题【含解析】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省黄骅中学2020-2021学年高二数学上学期第三次月考试题【含解析】（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、河北省黄骅中学河北省黄骅中学 2020-20212020-2021 学年高二数学上学期第三次月考试题（含学年高二数学上学期第三次月考试题（含解析）解析）共共 150150 分分. .考试时间考试时间 120120 分钟分钟. .一、选择题一、选择题( (本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求符合题目要求) )1. 若，则（ ）()11zii z A. B. C. D. 1i1 iii【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算，采用分母实数化的方法求解出的结果.z
2、【详解】因为，21(1)21(1)(1)2iiiziiii 故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，难度较易.复数进行除法运算时，要注意将分母实数化即乘以分母的共轭复数.2. 若函数yf(x)在xa处的导数为A，则为()0limf axf axxxA. AB. 2AC. D. 02A【答案】B【解析】【详解】yf axf ax其改变量对应2x 222002limlimf axf axf axf axfaAxxxx故选B3. 一只蚂蚁在三边长分别为 3、4、5 的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为 （ ）A. B. C. D. 34231312【答案】
3、D【解析】【分析】根据题意做出三角形的图形，然后利用几何概型的长度型解答即可【详解】根据题意，如图在中， ABC3,4,5ABBCAC 1ADAIBEBFCGCH的周长为，由图分析可得，距离三角形的三个顶点的距离均超过 的部分为线段ABC121，所以某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为 ,BE FG HI61=122故选 D【点睛】本题考查几何概型的长度型，属于一般题4. 已知双曲线 的一个焦点为，椭圆的焦距为，则2213xymm0,4221yxnm4（ ）mnA. B. C. D. 8642【答案】C【解析】【分析】由题意可得 ，代入可得椭圆的方程，由焦距可得关于的方程
4、，解之可4m n得【详解】由题意可得，且 ，解得，0m243mm 4m 故椭圆的方程可化为，221yxnm2214xyn故其焦距或，解得 ，或 （此时方程不表示2244cn22 44cn8n 0n 椭圆，舍去） ，故4mn故选 C【点睛】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的焦距和椭圆的焦距，属中档题5. 点在平面上以速度作匀速直线运动，若 4 秒后点的坐标为，则点P3),( 2v P5,16的初始坐标为（ ）PA. B. C. D. 3,133,47,1913,28【答案】B【解析】【分析】根据题意，列出方程组，即可求解.2453 416xy 【详解】设点的初始坐标为，P, x y因为点在平
5、面上以速度作匀速直线运动，若 4 秒后点的坐标为，P3),( 2v P5,16可得，解得，即点的初始坐标为.2453 416xy 34xyP3,4故选：B.6. 对任意实数a，b，c，给出下列命题：“”是“”的充要条件abacbc“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；5a “”是“”的充分不必要条件ab22ab“”是“”的必要不充分条件，5a 3a 其中真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项：得到或，不正确；根据无理数定义知acbc0c =ab正确；若，不满足，所以不正确；根据必要不充分条件定义知正确，0ab22ab得到答案.【详解】则
6、，即，故或，所以是acbc0acbc()0c ab0c =abab的充分不必要条件，所以不正确；acbc是无理数，5 是有理数，所以a是无理数；a是无理数，则是无理数，故“5a 5a 是无理数”是“a是无理数”的充要条件，所以正确；5a 若，则得，不是充分条件，所以不正确；0ab22ab推不出，若，则，故“”是“”的必要不充分条件，所5a 3a 3a 5a 5a 3a 以正确；故选：B.【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，意在考查学生的推断能力，掌握充分必要条件的定义是解题的关键.7. 为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革.学校教务处为了了解我校高
7、二年级同学平板使用情况，从高二年级 923 名同学中抽取50 名同学进行调查先用简单随机抽样从 923 人中剔除 23 人，剩下的 900 人再按系统抽样方法抽取 50 人，则在这 923 人中，每个人被抽取的可能性 ( )A. 都相等，且为B. 不全相等C. 都相等，且为D. 都不相等11850923【答案】C【解析】【分析】系统抽样方法是一个等可能的抽样，故每个个体被抽到的概率都是相等的，结合概率的定义，即可判断每个个体被抽取的概率【详解】因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，所以每个个体被抽到包括两个
8、过程；一是被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，所以每人入选的概率9005050923900923p 故选 C【点睛】本题考查系统抽样的方法，解题的关键是理解系统抽样是一个等可能抽样，即每个个体被抽到的概率相等，由此算出每人被抽取的概率8. 定义在上的函数，是其导数，且满足，R( )f x( )fx( )( )2f xfx，则不等式 （其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）e(1)2e 4f( )42xxe f xeA. B. 1, ,01,C. D. ,00,1【答案】A【解析】【分析】构造函数，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，( )( )2xxg xe f xe( )g
9、x即可求解【详解】令，则，可知函数在( )( )2xxg xe f xe( )( ( )( )2)0xg xef xfx( )g x上单调递增，故当时，即，R1x ( )(1)(1)24g xgefe( )( )24xxg xe f xe即( )24xxe f xe不等式的解集为 42xxe f xe1,故选 A【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“” 2f xfx和“”的联系构造函数. 42xxe f xe(
10、)( )2xxg xe f xe二、多选题二、多选题( (本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分分) )9. 已知是椭圆上一点，为其左右焦点，且的面积为，P22:184xyE1F2F12FPF3则下列说法正确的是（ ）A. 点纵坐标为B. P3122FPFC. 的周长为D. 的内切圆半径为12FPF42112FPF3212【答案】CD【解析】【
11、分析】设，利用以及椭圆方程可求出点坐标，即可判断 A；求出( , )P m n12122F PFScnP，利用韦达定理可判断 B；根据椭圆的定义可判断 C；根据内切圆半径和面积的1PF2PF关系，可判断 D.【详解】解：由已知，不妨设，2 2,2,2abc( , ),0,0P m n mn则121232F PFScn，故 A 错；32n，得，2232184m142m 14 3,22P，2211493922 14244PF2221493922 14244PF，22212397(2 )2 16042PFPFc ，2221212(2 )cos20LPFPFcFPFPFPF，故 B 错；122FPF由
12、椭圆定义，的周长，故 C 正确；12FPF224 24ac设的内切圆半径为，12FPFr，故 D 正确；1(4 24)32r3( 21)2r 故选：CD.【点睛】本题考查椭圆的定义，针对焦点三角形的计算要熟练，考查学生计算能力，是中档题.10. 已知双曲线E：的左右焦点分别为，点P为其渐近线22221xyab0,0ab1F2F上一点，且满足：，则下列说法正确的是（ ）12PFPF133PFk1 22 3PF FSA. B. 123PFF123PFPFC. 的焦距为D. 的实轴长为E2E2【答案】BD【解析】【分析】由直线斜率和倾斜角关系可知，则 A 错误；126PFF由垂直关系可知，可知 B
13、正确；21213tan3PFPFFPF利用可构造方程求得，由此可得焦距知 C 错误；1 22 3PF FSc利用长度关系可得，根据渐近线斜率可知，结合双曲线关系可求23POF3ba, ,a b c得，由此可得实轴长，知 D 正确.a【详解】对于 A，A 错误；1123tan3PFkPFF126PFF对于 B，即，B 正确；12PFPF21213tan3PFPFFPF123PFPF对于 C，122FFc126PFF1PFc23PFc又，的焦距为，C 错误；1 2212132 322PF FSPFPFc2cE24c 对于 D，若为坐标原点，则，O22OPOFPFc23POF，即，解得：，2tant
14、an33bPOFa3ba222244caba1a 的实轴长为，D 正确.E22a 故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据直线斜率和倾斜角关系、长度关系确定的内角的大小和双曲线渐近线的斜率.12Rt PFF11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的1111ABCDABC D三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60，下列说法中正确的是（ ）A. B. 2212AAABADAC 10ACABAD C. 向量与的夹角是 60D. 与AC所成角的余弦值为1BC1AA1BD63【答案】AB【解析】【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断
15、.【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是 60，可设棱长为 1,则 1111 1 cos602AA ABAA ADAD AB 22221111=+2+2+2AAABADAAABADAA ABAB ADAA AD 11 1 1 3 262 而 22222222ACABADABADAB AD ， 所以 A 正确.12 1 122 362 11ACABADAAABADABAD =0,所以 B 正确.2211AA ABAA ADABAB ADAD ABAD 向量,11BCAD 显然 为等边三角形，则.1AAD160AAD所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则 C 不正确1AD
16、1AA1201BC1AA120又， 11=ADAABDAB ACABAD 则，211|= 2ADAAABBD 2|= 3ACABAD 111ADAAABBDACABAD 所以，所以 D 不正确.11116cos=6|23BDACBD ACBD AC ，故选：AB【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.12. 如图，正方体中，是线段上的两个动点，则下列结论1111ABCDABC DMN11AC正确的是（ ）A. ，始终在同一个平面内BMCNB. 平面/ /MNABCDC. BDCMD. 若正方体的棱长和线段的长均为定值，则三棱锥的体积为定值MNBCMN【答案】BCD【解析】【
17、分析】A根据点与平面的关系作出判断；B根据线面平行的判定定理进行分,B C M N11AAC C析；C根据与平面的位置关系作出判断；D设出正方体棱长以及的长度，BD11A ACCMN根据条件得到到平面的距离，从而可计算出三棱锥的体积并完成判断.B11A ACCBCMN【详解】因为，同在平面上，而不在平面上，所以，CMN11AAC CB11AAC CBM不在同一个平面内，故A错误；CN因为，平面，平面，所以平面，故/ /MNACAC ABCDMN ABCD/ /MNABCDB正确；因为平面，而平面，所以，连接，交于点1A A ABCDBD ABCD1A ABDACBD，则，OACBD而，平面，平
18、面，所以平面.1A AACAI1A A11A ACCAC 11A ACCBD 11A ACC因为平面，所以，故C正确；CM 11A ACCBDCM不妨设正方体的棱长为，则.aMNb11122CMNSMNCCab由于平面，则平面，BD 11A ACCBO 11A ACC22BOa所以.211122232212B CMNCMNVSBOabaa b因为，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.abBCMN故选：BCD.【点睛】易错点睛：空间中线面平行的证明以及三棱锥体积计算的注意事项有：（1）证明线面平行时，注意说明哪一条直线在面内，哪一条直线不在面内；（2）求解三棱锥体积时，注意选择合适的点作为
19、顶点，合适的三角形作为底面积，这样可以很大程度上简化计算.三、填空题三、填空题( (本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) )13. 将曲线在点处的切线绕切点逆时针旋转后所得直线的方程为3( )xf xxe(0,(0)f4_【答案】1y 【解析】【分析】由导数的几何意义得出切线的倾斜角，再得出旋转后直线的倾斜角，进而得出方程.【详解】，即切点为0(0)1fe (0, 1)20( )3,(0)1xfxxefe 该切线的斜率为，即倾斜角为tan1k 34旋转后的直线的倾斜角为，故该直线为3441y 故答案为：1y 14. 若，使得成立是假命题，则实数
20、的取值范围是01,22x2002+10xx_【答案】2 2，【解析】【分析】将命题转化为，使得恒成立是真命题，令函数1,22x 12 +xx，对其求导，讨论导函数取正负的区间，得出所构造的函数的单调性，从而 12 +f xxx求出最值，利用不等式恒成立的思想，得出实数的取值范围.【详解】因为，使得成立是假命题，所以，使得01,22x2002+10xx1,22x 恒成立是真命题，22+10xx即，使得恒成立是真命题，1,22x 12 +xx令，则 ， 12 +f xxx 212fxx当时，函数在上单调递减，12,22x 0fx f x12,22当时，函数在上单调递增，2,22x 0fx f x2
21、,22所以，则. 22 22f xf2 2故答案为：.2 2，【点睛】本题考查全称命题和特称命题的关系，运用参变分离的方法求参数的范围，属于中档题.15. 已知双曲线:（，）的左右焦点分别为，点在的C22221xyab0a 0b 1F2FAC左支上，交的右支于点，则的离心2AFCB110F AFBABuuu ruuu ruu u r111F AFBFBC率为_【答案】7【解析】【分析】设AB的中点为M，由，得到，进而得到，再110F AFBABuuu ruuu ruu u r1FMABuuuu ruu u r11AFFB由，得到，设，由双曲线的定义111F AFBFB11AFFBAB 2BFx
22、，联立求得进而得到12212 ,2BFBFa AFAFa2112 ,4BFa BFAFa， 由求解.12 3FMa24MFa2221212FMMFFF【详解】如图所示：设AB的中点为M，所以，1112F AFBFMuuu ruuu ruuuu r又，110F AFBABuuu ruuu ruu u r所以，120FM ABuuuu r uu u r所以，1FMABuuuu ruu u r，111F AFBABFB 因为M为AB的中点，且1FMABuuuu ruu u r所以，11AFFB设，由双曲线的定义得，2BFx112BFxaABAF又，2222AFBFABxa所以，212222AFAFx
23、axaxa所以，1124BFABAFxaa所以，12 3FMa24MFa因为，2221212FMMFFF所以，即，2222 344aac22284ac解得.7e 故答案为：7【点睛】关键点点睛：本题关键是由，得到110F AFBABuuu ruuu ruu u r111F AFBFB是正三角形，再利用双曲线的定义进而得解.1ABF16. 已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，PABCDPAD ABCDPAPD，则异面直线与所成的角为_；四棱锥PAPD4ABADABPD体积的最大值为_.PABCD【答案】 (1). (2). 9012881【解析】【分析】先画出其异面直线所成角，利用三边关系满足勾股
24、定理证明其是直角即可；建立四棱锥体积的表达式，求导即可求出最大值PABCD【详解】如图，取边中点为，连接，设ADE,PE CE2ADa，为以为斜边的等腰直角三角形，PAPDPAPDPADAD，且，2 ,PAPDa PEaPEAD平面平面，平面PAD ABCDPE ABCDPECE ，即，2ADa42ABa42CDABa222222222(42 )PCPECEPEDECDaa，即，2222 ,42PDa CDaPCPDCDPDCD与所成的角为/ /ABCDABPDABPD90，为棱锥高242ABCDSAB CDaa四边形PE211224242333P ABCDABCDVSPEaaaaa四边形取
25、2221642,(02),433f aaaafaaa令，所以在上单调递增，在上单调递减 40,03faa f a40,34,23，24348128( )4333381maxf af四棱锥体积的最大值为PABCD12881故答案为：；9012881【点睛】本题考查异面直线所成角，四棱锥的体积表示，难度较大，关键点在于能够通过所给条件表示出体积的表达式四、解答题四、解答题( (本题共本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) )17. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：,不等式p2212xymxqxR
26、恒成立.22230xmxm（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；qm（2）若“”为假命题， “”为真命题，求实数的取值范围.pqpqm【答案】 （1）；（2）.(, 13,) 1,02,3【解析】【分析】 （1）先求出命题的等价条件，根据“”是真命题，即可求出实数的取值范qqm围（2）若“”为假命题， “”为真命题，则只有一个为真命题，即可求实数pqpq, p q的取值范围m【详解】 （1）因为,不等式恒成立，xR 22230xmxm所以，解得，又“”是真命题等价于“”是假命244(23)0mm 13m qq题所以所求实数的取值范围是 m , 13, （2）方程表示焦点在轴上的椭圆， 221
27、2xymx02m “”为假命题， “”为真命题，pqpq一个为真命题，一个为假命题，, p q当真假时， 则，此时无解 pq021,3mmm 当假真时，则，此时或 pq0,213mmm 10m 23m 综上所述，实数的取值范围是m 1,02,3【点睛】本题考查命题的真假以及根据复合的真假求参数的取值范围，属于基础题18. 随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：） ，按照区间，100cm160,165)165,170)，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图） 170,175)175,180)180,185（）求频率分布直方图中的值及身高在以上的学生人数；x170cm（）将身高在，区间内的学生
28、依次170,175)175,180)180,185记为，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取人，ABC6求从这三个组分别抽取的学生人数；（）在（）的条件下，要从名学生中抽取人，用列举法计算组62B中至少有 人被抽中的概率1【答案】 （1）60（2）1（3）【解析】【详解】解：（）由频率分布直方图可知：51 5 (0.070.040.020.01)x 所以11 5 0.140.065x 身高在以上的学生人数为：（人） 170cm100 (0.06 50.04 50.02 5)60 （），三组的人数分别为人，人，人ABC302010因此应该从，三组中每组各抽取ABC（人） ，（人） ，（人） 6
29、30360620260610160（）在（）的条件下，设组的位同学为，组的位同学为，A31A2A3AB21B，组的 位同学为，则从名学生中抽取人有种可能：2BC11C6215，12(,)A A13(,)A A11(,)A B12(,)A B11(,)A C23(,)A A21(,)A B22(,)A B21(,)A C，31(,)A B32(,)A B31(,)A C12(,)B B11(,)B C21(,)B C其中组的位学生至少有 人被抽中有种可能：B219，11(,)A B12(,)A B21(,)A B22(,)A B31(,)A B32(,)A B12(,)B B11(,)B C21
30、(,)B C所以组中至少有 人被抽中的概率为B193155P 19. 如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，点是棱PABCDABCD260ABCM的中点，平面. PCPA ABCD（1）证明：平面；/ /PABMD（2）当长度为多少时，直线与平面所成角的正弦值为.PAAMPBC427【答案】(1)证明见解析；(2)或.2PA 3【解析】【详解】分析：（1）首先连接相应的点，利用三角形的中位线，得到对应的平行线，结合线面平行的判定定理，证得线面平行；（2）利用线面角的平面角的定义，先找出线面角的平面角，之后放入三角形中，解三角形即可求得结果.详解：解法一：（1）连接交于点，连接，ACBDOMO因为分
31、别为中点，,M O所以，平面，平面，/ /PAMOPAMBDMO MBD所以平面/ /PAMBD（2）过做垂直于交于点，连接，AAHBCBCHPH，BCAHBCPAPAAHA平面，BC PHA面面PHA PBC过作垂直于交于点，连接，AAGPHPHGGM面，AG PBC即直线与平面所成角AMGAMPBC设，则，PAx214xMA 233xAGx223423sin714xAGxAMGMAx解得或者，2x 3x 或2PA 3点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，有关线面角的求解问题，在解题的过程中，需要铭记线面平行的判定定理的内容，找到平行线，即可证得结果，关于线面
32、角的问题关键是找到对应的平面角.20. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点.22(0)ypx pFMO的外接圆与抛物线的准线相切，外接圆的周长为.OMFNN9（1）求抛物线的方程；（2）已知不与轴垂直的动直线 与抛物线有且只有一个公共点，且分别交抛物线的准线和yl直线于、两点，试求的值.3x AB|AFBF【答案】 （1）（2）1212yx【解析】【分析】(1)由的外接圆与抛物线的准线相切可得，外接圆的半径，从OMFN3942p而可得 p,进而可得抛物线方程;(2)先设直线 的方程为，由直线方程与抛物线方程联立可得，lykxb212120kyyb由判别式等于 0，可得，再由题意求出
33、点 A、点 B 坐标，即可直接求的值.3kb AFBF【详解】 （1）的外接圆的圆心必在线段的中垂线上OMFNNOF且外接圆与准线相切，外接圆的周长为NN9外接圆的半径 即3942p6p 抛物线的方程为212yx（2）解法一：由题知直线 的斜率存在且不为 0 可设 ：llykxb由消去得212ykxbyxx212120kyyb直线 与抛物线只有一个公共点，l0k 即2124120kb 3kb 直线 ：与准线交于lykxb3x A即 同理3, 3Akb33, 3Akk33,3Bkk 22223333033330kAFkBFkk 222293691819918kkkk解法二：由题知直线 不与坐标轴
34、垂直l可设 ：l0xmyn m由消去得212xmynyxx212120ymyn直线 与抛物线只有一个公共点l即2124120mn 23nm 直线 ：与准线交于lxmyn3x A即 33,nAm33,3Amm同理33,3Bmm 22223333033330mAFmBFmm 222293691819918mmmm解法三：设切点为212 ,120Pttt 则 ：l21212122xtty令得即3x 21232tyt21233,2tAt令得即3x 21232tyt21233,2tBt222222123330211233302ttAFBFtt 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求法和直线与抛物线位置
35、关系，思路较清晰，但计算量较大，需要学生认真计算，属于中档题型.21. 已知函数. lnf xxax aR（1）求函数的单调区间； f x（2）当时，求函数在上最小值.0a f x1,2【答案】 （1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】 （1）求导后，根据导函数在定义域内的正负可确定的单调区间； f x（2）由（1）可知单调性，分别在、和三种情况下，根据单调性 f x11a12a112a确定最小值点，由此求得最小值.【详解】 （1）由题意得：定义域为， f x0, 11axfxaxx当时，0a 10ax 0fx的单调递增区间为，无单调递减区间； f x0,当时，令，解得：，0a 0
36、fx1xa当时，；当时，；10,xa 0fx1,xa 0fx的单调递增区间为，单调递减区间为； f x10,a1,a综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，0a f x0,0a 的单调递增区间为，单调递减区间为. f x10,a1,a（2）由（1）知：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；0a f x10,a1,a当，即时，在上单调递减，；11a1a f x1,2 min2ln22f xfa当，即时，在上单调递增，12a102a f x1,2； min1ln1f xfaa 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，112a112a f x11,a1,2a. minmin1 ,2f
37、 xff， 1fa 2ln22fa当，即时，；ln22aa 1ln22a min1f xfa 当，即时，；ln22aa ln21a min2ln22f xfa综上所述：当时，；当时，.0,ln2a minf xa ln2,a minln22f xa【点睛】思路点睛：求解在上的最小值的基本思路是通过分类讨论的方式，确定 f x1,2在上的单调性，由此确定最小值点. f x1,222. 在平面直角坐标系中，点，圆：，点Q是圆xOy1(3,0)F 2F222 3130xyx上一动点，线段的中垂线与线段交于点.1FQ2F Q（1）求动点P的轨迹P的方程；（2）设直线l经过点且与C交于不同的两点MN，试
38、问：在轴上是否存在点G，使(2,1)E-得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，求出点G的坐标及定值；若不存在，请GMGN说明理由.【答案】 （1）；（2）在轴上存在点，使得直线与直线斜率的和2214xy(2,0)GGMGN为定值 1.【解析】【分析】 （1）根据题意，得到1|PFPQ122|PFPFPQPF，2124QFrFF结合椭圆的定义，得到点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为 4 的椭圆，即可求解；1F2F（2）假设存在满足条件的点，当直线l的斜率不存在不满足题意；当直线l的斜率( ,0)G t存在时，设直线，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，:1(2)l yk x 1212,xx x
39、x化简，要使对任意，为定12222124(2)24(2)8(2)yytktxtxttkt kt(,0)k GMGNkk值，得到，即可得到结论.2t 【详解】 （1）由已知，圆，1(3,0)F 222:2 3130Fxyx可得圆的圆心坐标为，半径，2F2( 3,0)F4r 依题意的，所以，1|PFPQ122|PFPFPQPF2124QFrFF由椭圆的定义，可得点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为 4 的椭圆，1F2F可得，所以，3c 2a 221bac故点P的轨迹C的方程为.2214xy（2）假设存在满足条件的点，( ,0)G t当直线l的斜率不存在即与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意当直
40、线l的斜率存在时，设直线斜率为，则直线l：，k1(2)yk x 联立方程组，整理得，22141(2)xyyk x 22221416816160kxkk xkk则，由，可得，22221684 141616kkkkk 0 0k 设，11,M x y22,N xy则，212216814kkxxk2122161614kkx xk则1212yyxtxt 1221122121kxkxtkxkxtxtxt，2224(2)24(2)8(2)tkttkt kt所以要使对任意，为定值，则，此时，(,0)k GMGNkk2t 1GMGNkk故假设成立，在轴上存在点，使得直线与直线斜率的和为定值 1.(2,0)GGMGN【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力
