《数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 新人教A版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 新人教A版选修2-2（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 主题主题 几个常用函数的导数与基本初等函数导数公式几个常用函数的导数与基本初等函数导数公式1.1.怎样利用定义求函数怎样利用定义求函数y yf(xf(x) )的导数？的导数？提示：提示：(1)(1)计算计算 ，并化简，并化简. .(2)(2)观察当观察当xx趋近于趋近于0 0时，时， 趋近于哪个定值趋近于哪个定值. .(3) (3) 趋近于的定值就是函数趋近于的定值就是函数y yf(xf(x) )的导数的导数. .2.2.导导数数的的几几何何意意义义是是曲曲线线在在某某一一点点处处的的切切线线的的斜斜率率，物理意义是运动物
2、体在某一时刻的瞬时速度物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. .(1)(1)函数函数y yf(xf(x) )c(c(常数常数) )的导数的物理意义是什么？的导数的物理意义是什么？(2)(2)函数函数y yf(xf(x) )x x的导数的物理意义呢？的导数的物理意义呢？提提示示：(1)(1)若若y yc c表表示示路路程程关关于于时时间间的的函函数数，则则yy0 0可可以以解解释释为为某某物物体体的的瞬瞬时时速速度度始始终终为为0 0，即即一一直直处处于于静静止状态止状态. .(2)(2)若若y yx x表表示示路路程程关关于于时时间间的的函函数数，则则yy1 1可可以以解解释为某物体做瞬时速
3、度为释为某物体做瞬时速度为1 1的匀速运动的匀速运动. .3.3.利利用用导导数数的的定定义义可可以以求求函函数数的的导导函函数数，但但运运算算比比较较繁繁杂杂，有有些些函函数数式式子子在在中中学学阶阶段段无无法法变变形形，怎怎样样解解决决这个问题？这个问题？提提示示：可可以以使使用用给给出出的的导导数数公公式式进进行行求求导导，简简化化运运算算过程，降低运算难度过程，降低运算难度. .4.4.你能发现你能发现8 8个导数公式之间的联系吗？个导数公式之间的联系吗？提示：提示：公式公式6 6是公式是公式5 5的特例，公式的特例，公式8 8是公式是公式7 7的特例的特例. .结论：导数的描述结论：
4、导数的描述0 0 coscos x x -sin x-sin x 【微思考微思考】1.1.对于一些带有根号的函数如何求导，如对于一些带有根号的函数如何求导，如y= y= ？提示：提示：把把y= y= 转化为转化为y= y= 后再求导后再求导. .2.2.若若f(xf(x)=+2)=+2，则，则f(xf(x) )的导数是多少？的导数是多少？提提示示：函函数数f(xf(x)=+2,+2)=+2,+2为为常常数数，所所以以f(xf(x) )的的导导数数是零是零. .3.3.若若f(xf(x)=x)=x2 2, ,则则f(mf(m) )的含义是什么？的含义是什么？提示：提示：含义是函数含义是函数f(x
5、f(x)=x)=x2 2在在x=mx=m处对应的导数值处对应的导数值. .4.4.原函数的定义域与导函数的定义域相同吗？原函数的定义域与导函数的定义域相同吗？提提示示：不不一一定定. .如如f(xf(x)= )= 与与f(xf(x)= )= 的的定定义义域域不不同同. .【预习自测预习自测】1.1.曲线曲线y=y=x xn n在在x=2x=2处的导数为处的导数为1212，则，则n n等于等于( )( )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解解析析】选选C.yC.y= =x xn n求求导导，得得y=nxy=nxn-1n-1，令令n n2 2n-1n-1=12=12，解得解得n=3
6、.n=3.2.2.已知已知f(xf(x) )2 2x x，则，则f(1)f(1)_._.【解析解析】因为因为f(xf(x) ) 2 2x x，所以，所以f(xf(x) )2 2x xln 2ln 2，所以所以f(1)f(1) 2 21 1ln 2ln 22ln 2.2ln 2.答案：答案：2ln 22ln 23.3.正弦函数正弦函数y=sin xy=sin x在在x= x= 处的切线方程为处的切线方程为_._.【解析解析】求导，求导，y=y=coscos x x，代入，代入x= x= ，可得曲线，可得曲线y=sin xy=sin x在在x= x= 处的切线斜率为处的切线斜率为 ，又切点纵坐标为
7、，又切点纵坐标为sin sin ，即，即 ，所以所求切线方程为，所以所求切线方程为y- =y- = (x- ) (x- )，去分母化简得，去分母化简得12y-6= x- 12y-6= x- ，即，即 x-12y+6- =0.x-12y+6- =0.答案：答案： x-12y+6- =0x-12y+6- =04.4.一物体在曲线一物体在曲线s= s= 上运动，则该物体在上运动，则该物体在t=3t=3时的瞬时的瞬时速度为时速度为_._.【解析解析】因为因为s=( )= s=( )= ，所以该物体在，所以该物体在t=3t=3时的瞬时速度为时的瞬时速度为s(3)= s(3)= = . = .答案：答案：
8、5.5.点点P P是是曲曲线线y=ey=ex x上上任任意意一一点点，则则点点P P到到直直线线y=xy=x的的最最小小距离为距离为_._.【解析解析】根据题意设平行于直线根据题意设平行于直线y=xy=x的直线与曲线的直线与曲线y=ey=ex x相切于点相切于点(x(x0 0，y y0 0) )，该切点即为与，该切点即为与y=xy=x距离最近的点距离最近的点，如图，则在点，如图，则在点(x(x0 0,y,y0 0) )处的切线斜处的切线斜率为率为1.1.因为因为y=(ey=(ex x)=e)=ex x, ,所以所以e ex x0 0=1,=1,得得x x0 0=0,=0,代入代入y=ey=ex
9、 x，得，得y y0 0=1=1，即，即P(0P(0，1).1).利利用点到直线的距离公式得最小距离为用点到直线的距离公式得最小距离为 . .答案：答案：类型一类型一 利用公式求函数的导数利用公式求函数的导数【典例典例1 1】(1)(1)给出下列结论：给出下列结论：(cos )=-sin ;(cos )=-sin ;若若y= ,y= ,则则y= ;y= ;若若f(xf(x)=3x,)=3x,则则f(1)f(1)=3;=3;若若y= ,y= ,则则y= .y= .其中正确的个数是其中正确的个数是( )( )A A1 1 B B2 2C C3 3D D4 4(2)f(x)(2)f(x) ，则，则f
10、(f(1)1)( )( )A. A. B.-B.-C. C. D.-D.-【解题指南解题指南】(1)(1)适当进行化简，再运用导数公式判断适当进行化简，再运用导数公式判断. .(2)(2)注意先对式子注意先对式子f(xf(x) ) 化简，再求导化简，再求导. .【解析解析】(1)(1)选选A.cosA.cos = = 为常数，则为常数，则( (coscos ) )=0=0，所以，所以错误；错误；y=( ) =(xy=( ) =(x-2-2)= )= ，所以所以正确；因为正确；因为f(xf(x)=3x)=3x，所以，所以f(xf(x)=3,)=3,所以所以f(1)f(1)=0,=0,所以所以错误
11、；错误；y=( )=( )y=( )=( )= ,= ,所以所以错误错误. .(2)(2)选选D.D.因为因为f(xf(x) ) ，所以所以f(xf(x) ) ，所以所以f(f(1) 1) . .【方法总结方法总结】应用导数公式求导的两个注意事项应用导数公式求导的两个注意事项(1)(1)应应用用导导数数公公式式时时不不需需对对公公式式说说明明, ,掌掌握握这这些些公公式式的的基本结构和变化规律直接应用即可基本结构和变化规律直接应用即可. .(2)(2)对对一一些些函函数数求求导导时时, ,要要弄弄清清一一些些函函数数的的内内部部关关系系, ,合合理转化后再求导，如理转化后再求导，如y= y=
12、可以转化为可以转化为y= y= 后再求导后再求导. .【巩固训练巩固训练】求下列函数的导数：求下列函数的导数：(1)y= . (2)y= .(1)y= . (2)y= .【解析解析】(1) .(1) .(2) .(2) .类型二类型二 导数公式的应用导数公式的应用【典例典例2 2】求曲线求曲线y=xy=x4 4在点在点P(2P(2，16)16)处的切线方程处的切线方程. .【解题指南解题指南】判断出点判断出点P P在曲线上后求出该点处的导数在曲线上后求出该点处的导数值，即得切线的斜率值，即得切线的斜率. .【解析解析】由已知得，点由已知得，点P P在曲线上在曲线上.y=(x.y=(x4 4)=
13、)=4x4x4-14-1=4x=4x3 3. .所以当所以当x=2x=2时，时，y=4y=42 23 3=32,=32,所以点所以点P(2P(2，16)16)处的切线方程为处的切线方程为y-16=32(x-2)y-16=32(x-2)，即即32x-y-48=0.32x-y-48=0.【延伸探究延伸探究】1.1.求曲线求曲线y=xy=x4 4过点过点Q(0Q(0，-3)-3)的切线方程的切线方程. .【解析解析】显然点显然点Q Q不在曲线上，设切点为不在曲线上，设切点为(x(x0 0,y,y0 0) )，因为因为y=4xy=4x3 3，所以所以4x4x3 30 0= = ，与，与y y0 0=x
14、=x4 40 0联立方程组，联立方程组，解得解得 x x0 0= =1 1， y y0 0=1,=1,所所以以当当切切点点为为(1,1)(1,1)时时，切切线线斜斜率率为为4 4，切切线线方方程程为为4x-4x-y-3=0y-3=0；当当切切点点为为(-1,1)(-1,1)时时，切切线线斜斜率率为为-4-4，切切线线方方程程为为4x+y+3=0.4x+y+3=0.2.2.已知直线已知直线l：y=x-1y=x-1，点，点M M为为y=xy=x4 4上任意一点，求上任意一点，求M M在什在什么位置时到直线么位置时到直线l l的距离最短的距离最短. .【解析解析】由题意知，在点由题意知，在点M M处
15、的切线与直线处的切线与直线l平行时，点平行时，点M M到直线到直线l的距离最短的距离最短. .设设M(M(x x1 1,y,y1 1) )，因为，因为y=4xy=4x3 3，所，所以以4x4x3 31 1=1=1，解得，解得x x1 1= = ，所以点，所以点M M的坐标为的坐标为( ( , , ).).【方法总结方法总结】导数法解决切线问题导数法解决切线问题(1)(1)利利用用导导数数求求切切线线的的斜斜率率是是一一种种非非常常有有效效的的方方法法，它它适用于任何可导函数，是高考的热点适用于任何可导函数，是高考的热点. .(2)(2)求求曲曲线线的的切切线线方方程程时时，一一定定要要注注意意
16、已已知知点点是是否否为为切切点点. .若若切切点点没没有有给给出出，一一般般是是先先设设出出切切点点，然然后后求求出出切切点坐标，最后求切线方程点坐标，最后求切线方程. .【补偿训练补偿训练】1.1.已知函数已知函数y=xy=x2 2的图象在点的图象在点(x(x0 0，x x2 20 0) )处处的的切切线线为为l，若若l也也与与函函数数y=y=lnln x x，x(0x(0，1)1)的的图图象象相相切，则切，则x x0 0必满足必满足 ( )( )A.0A.0x x0 0 B. B. x x0 01 1C. C. x x0 0 D. D. x x0 0【解析解析】选选D.D.函数函数y=xy
17、=x2 2的导数为的导数为y=2x,y=2x,在点在点(x(x0 0,x,x2 20 0) )处的切线的斜率为处的切线的斜率为k=2xk=2x0 0, ,切线方程为切线方程为y-xy-x2 20 0=2x=2x0 0(x-x(x-x0 0),),设切线与设切线与y=y=lnln x x相切的切点为相切的切点为( (m,lnm,ln m),0 m),0m m1,1,又又y=y=lnln x x的导数为的导数为y= ,y= ,可得可得2x2x0 0= ,= ,切线方程为切线方程为y-lny-ln m= (x-m), m= (x-m),令令x=0,x=0,可得可得y=y=lnln m-1=-x m-
18、1=-x2 20 0, ,由由0 0m m1,1,可得可得x x0 0 ，且，且x x2 20 01,1,解得解得x x0 01,1,由由m= m= ，可得，可得x x2 20 0-ln(2x-ln(2x0 0)-1=0,)-1=0,令令f(xf(x)=x)=x2 2-ln(2x)-1,x-ln(2x)-1,x1,1,f(xf(x)=2x- )=2x- 0,f(x)0,f(x)在在(1,+)(1,+)上递增，上递增，且且f( )=2-ln -1f( )=2-ln -10,f( )=3-ln -10,f( )=3-ln -10,0,则有则有x x2 20 0-ln(2x-ln(2x0 0)-1=
19、0)-1=0的根的根x x0 0( , ).( , ).2.2.设坐标平面上的抛物线设坐标平面上的抛物线C:yC:y=x=x2 2, ,过第一象限的点过第一象限的点(a,a(a,a2 2) )作曲线作曲线C C的切线的切线l, ,则则l与与y y轴的交点轴的交点Q Q的坐标为的坐标为_,_,l与与x x轴夹角为轴夹角为3030时时,a=_.,a=_.【解析解析】因为因为y=2x,y=2x,所以所以l为为y-ay-a2 2=2a(x-a).=2a(x-a).令令x=0,x=0,得得y=-ay=-a2 2, ,故故Q(0,-aQ(0,-a2 2).).又又因因为为tan tan 3030=2a,=2a,所所以以a= .a= .答案：答案：(0,-a(0,-a2 2) )【课课堂小堂小结结】1.1.知识总结知识总结2.2.方法总结方法总结: :基本函数导数的求法基本函数导数的求法(1)(1)定义法：即通过求函数的瞬时变化率求导数定义法：即通过求函数的瞬时变化率求导数. .(2)(2)公式法：即利用基本初等函数导数公式求导数公式法：即利用基本初等函数导数公式求导数. .
