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1、 数列极限的定义数列极限的定义 Sx05 1“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽 怎样求圆的面积怎样求圆的面积S？ 2 如可用渐近的方法求圆的面积如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. .A1表示圆内接正表示圆内接正6边形面积边形面积,A2表示圆内接正表示圆内接正12边形面积边形面积,A3表示圆内接正表示圆内接正24边形面积边形面积,An表示圆内接正表示圆内接正6 2n-1边形面积边形面积, , . . 显
2、然显然n越大越大, An越接近于越接近于S. . 因此因此, 需要考虑当需要考虑当n时时, An的变化趋势的变化趋势. . 3二、数列的定义二、数列的定义 如如果果按按照照某某一一法法则则 对对每每一一n N , 对对应应着着一一个个确确定定的实数的实数 xn 则得到一个序列则得到一个序列 x1 x2 x3 xn 这这一一序序列列叫叫做做数数列列 记记为为xn 其其中中第第n项项xn叫叫做做数数列列的的一一般项般项. . 数列举例数列举例: :2 4 8 2n ; ; 1 1 1 ( 1)n 1 . . 4 数列数列xn可以看作自变量为正整数可以看作自变量为正整数n的函数的函数: :xn= =
3、f(n) n N . . 数列与函数数列与函数数列的几何意义数列的几何意义 数数列列xn可可以以看看作作数数轴轴上上的的一一个个动动点点 它它依依次次取取数数轴上的点轴上的点x1 x2 x3 xn . . x1x5x4x3x2xn56问题问题:当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一确定的是否无限接近于某一确定的数值数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它.通过上面图形的观察通过上面图形的观察:“无限接近无限接近”的等价含义的等价含义: 想要想要xn与与1有多接近有多接近, 就能有就能有多接近多接
4、近.7想要想要|xn 1|10, 想要想要|xn 1|10 4, 想要想要|xn 1|10 k, 想要想要|xn 1| , 8当当n xna . .当当n |xn a|0 . .当当n |xn a|可以任意小可以任意小 要多小就能有多小要多小就能有多小. .当当n增增大大到到一一定定程程度度以以后后 |xn a|N 时时 不等式不等式|xn a | 都都成成立立 则则称称常常数数a是是数数列列xn的的极极限限 或或者者称称数数列列xn收收敛于敛于a 记为记为 如果不存在这样的常数如果不存在这样的常数a 就说数列就说数列xn没有极限没有极限 0, N N 当当n N时时 有有|xn a| . 极
5、限定义的简记形式极限定义的简记形式“ N ” 定义定义10aaa ()v数列极限的几何意义数列极限的几何意义 0, N N 当当n N时时 有有|xn a| . 存在存在 N N 当当nN时时 点点xn全都落在全都落在邻域邻域( (a a ) )内内: : 任意给定任意给定a的的 邻域邻域( (a a ) ) 11 例例1 1： 0, N N 当当n N时时 有有|xn a| . 证明证明 ：12 例例2 2： 0, N N 当当n N时时 有有|xn a| . 证明：证明： 13 例例3 3： 设设|q|1 证明等比数列证明等比数列1 q q2 qn 1 的极限是的极限是0. . 对于对于 0 要使要使 |xn 0|= =|qn 1 0|= =|q|n 1log|q| 1就可以了就可以了. . 0, N N 当当n N时时 有有|xn a| . 证明：证明： 因为因为 0, N= = log|q| 1 N 当当n N时时 有有|qn 1 0|= =|q|n 1 14数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;作 业P30： 3 (2) , (3) , 4 , 6用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.15
