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1、9-29-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力剪力和弯矩剪力和弯矩 9-39-3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图用内力方程法绘制剪力图和弯矩图9-49-4 用微分关系法绘制剪力图和弯矩图用微分关系法绘制剪力图和弯矩图9-59-5 用叠加法画弯矩图用叠加法画弯矩图9-69-6 梁弯曲时的应力及强度计算梁弯曲时的应力及强度计算 9-79-7 梁的变形梁的变形 9-89-8 梁的应力状态梁的应力状态 第九章第九章 梁的弯曲梁的弯曲99- -1 1 平面弯曲平面弯曲 一、应力状态的概念一、应力状态的概念二、平面应力分析二、平面应力分析三、梁的主应力和主应力迹线三、梁的主应力和主应力迹线四、强度理论、强度理论
2、9-89-8 梁的应力状态梁的应力状态 1.一点的应力状态一点的应力状态一一点点的的应应力力状状态态：通通过过构构件件内内某某一一点点所所有有不不同同截截面面上上的应力情况集合。的应力情况集合。研研究究应应力力状状态态的的目目的的：找找出出该该点点的的最最大大正正应应力力和和最最大大剪剪应应力力数数值值及及所所在在截截面面的的方方位位，以以便便研研究究构构件件破破坏原因并进行失效分析。坏原因并进行失效分析。一、一、 应力状态的概念应力状态的概念围围绕绕构构件件内内一一点点所所截截取的微小正六面体。取的微小正六面体。2.2.应力状态分类应力状态分类APPA单元单元体体(1)单元体：单元体：一点处
3、的一点处的应力状态应力状态空间应力状态空间应力状态平面应力状态平面应力状态三向应力状态三向应力状态双向应力状态双向应力状态单向应力状态单向应力状态纯剪切应力状态纯剪切应力状态简单应简单应力状态力状态复杂应复杂应力状态力状态单向应单向应力状态力状态三向应三向应力状态力状态双向应双向应力状态力状态 纯剪切纯剪切应力状态应力状态 (2)(2)应力状态分类应力状态分类s ss st tPPMeMec) 同同b)，但从但从上表面截取上表面截取Ct ts ss sb) 横截面，周向面，直径面各一对横截面，周向面，直径面各一对Ba) 一对横截面，两对纵截面一对横截面，两对纵截面AABPMeMeCt ts s
4、s sBCAPCABt tBt tCs sCs sCs sAs sA1、平面应力分析的解析法、平面应力分析的解析法 二、平面应力状态分析二、平面应力状态分析s syt tyt txs sxs sxs sxt txs sys sys sxt ty任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力s sxt txs sys sys sxt tyABxya anta as st ts sxt txt tys syxdAs sxs syt ty 符号规定：符号规定： a a 以以x轴正向为起始线，逆时针旋转为正，反轴正向为起始线，逆时针旋转为正，反 之为负。之为负。 s s 拉为正，压为负。拉为正，压为负。 t t
5、 使微元产生顺时针转动趋势为正，反之为负。使微元产生顺时针转动趋势为正，反之为负。【例例9-32】 图示单元体各面应力如图所示图示单元体各面应力如图所示，试求斜截面上的应力、。 【解解】已知已知，单位单位:MPa2、平面应力分析的图解法、平面应力分析的图解法应力圆应力圆 l应力圆方程：应力圆方程： 应力圆应力圆 方方 程程，则在以，则在以为横坐标，为横坐标，、若已知若已知的坐标系中，可画出一个圆的坐标系中，可画出一个圆.为纵坐标为纵坐标其圆心和半径分别为其圆心和半径分别为:圆周上任一点的坐标就代表单元体中与其相对应的斜截面上的圆周上任一点的坐标就代表单元体中与其相对应的斜截面上的应力。因此，这
6、个圆称为应力圆，应力。因此，这个圆称为应力圆，半径半径圆心圆心AD(s sx, t tx)s sxs sxt txt tyt txt tys sys syxyna as sa at ta aOs st tC2a2a02a2a( (s sa a,t ,ta a) )E E D2BAt取取x面，定出面，定出D1( )点；取点；取y面，定出面，定出D2( )点；点； l应力圆的绘制：应力圆的绘制： 定坐标及比例尺；定坐标及比例尺； 连连D1D2交交s s轴于轴于C点，以点，以C为圆心，为圆心，D1D2为直径作圆；为直径作圆； s sxs sxt txt tyt txt tys sys syxyna
7、as sa at ta aOs st tC2a2a0A1s s1B1 s s22a2a( (s sa a,t ,ta a) )E E D2BAG1t t1G2 t t2t1）点面对应点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体上某应力圆上某一点的坐标值对应着单元体上某一斜截面上的正应力和切应力值。如一斜截面上的正应力和切应力值。如D1点的坐标点的坐标 .l应力圆与单元体的对应关系应力圆与单元体的对应关系3）倍角对应倍角对应 应力圆上两点间圆弧的圆心角是单元体上相应力圆上两点间圆弧的圆心角是单元体上相应的两个面之间夹角的二倍。应的两个面之间夹角的二倍。2）转向对应转向对应 应力圆上由基准点应力圆
8、上由基准点D1到点到点E的转向和单元体的转向和单元体上由上由x面到面到面的转向一致。面的转向一致。s sxs sxt txt tyt txt tys sys syxyna as sa at ta aOs st tC2a2a02a2a( (s sa a,t ,ta a) )E E D2BAt3.主平面及主应力主平面及主应力由主平面：由主平面：主应力大小：主应力大小： 由由s s1、s s3、0按代数值大小排序得出：按代数值大小排序得出：s s1s s2s s3 从应力圆上可求出相差从应力圆上可求出相差90 的的两个主平面，两个主平面，两个主平面相互垂直。两个主平面上的主应力，一个是极大值，用两个
9、主平面相互垂直。两个主平面上的主应力，一个是极大值，用表示，另一个是极小值，用表示，另一个是极小值，用或或或或表示。表示。和和，可见，可见最大剪应力最大剪应力(切应力切应力)： 最大剪最大剪(切切)应力平面与主平面相差应力平面与主平面相差45o【例例9-33】求图求图所示单元体的主应力与主平面，最大切应力。已知 ，。 【解解】（1）确定单元体的主平面）确定单元体的主平面 由此，三个主应力分别为：由此，三个主应力分别为：MPa，MPa（3）最大切应力）最大切应力单元体如图单元体如图b所示，最大主应力所示，最大主应力沿沿指向的一侧。指向的一侧。（2）主应力）主应力s sOt tD1(30,-20)
10、D2(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020单位：单位：MPaxa as sa at ta a40.3-40.3求：求：1) a a=30o斜截面上的应力；斜截面上的应力； 2) 主应力及其方位；主应力及其方位； 3) 剪应力极值。剪应力极值。 【例例9-34】 用应力圆法用应力圆法三、梁的主应力和主应力迹线三、梁的主应力和主应力迹线1.简单应力状态下强度条件可由实验确定简单应力状态下强度条件可由实验确定 2.一一般般应应力力状状态态下下，材材料料的的失失效效方方式式不不仅仅与与材材料料性性质质有有关，且与其应力状态有关，即与各主应力大小及比值有关
11、；关，且与其应力状态有关，即与各主应力大小及比值有关； 3.复杂应力状态下的强度准则不能由实验确定复杂应力状态下的强度准则不能由实验确定(不可能针对不可能针对每一种应力状态做无数次实验每一种应力状态做无数次实验)；4.强度准则：强度准则： 金属材料的强度失效分为：金属材料的强度失效分为：屈服与断裂屈服与断裂； 强度准则强度准则(强度理论强度理论)：材料失效原因的假说：材料失效原因的假说 (假说假说实践实践理论理论)； 通通过过强强度度准准则则，利利用用单单向向拉拉伸伸实实验验结结果果建建立立各各种种应应力力状状态下的失效判据和相应的设计准则。态下的失效判据和相应的设计准则。四、强度理论四、强度
12、理论（一）（一） 强度理论的概念强度理论的概念 两类强度理论：两类强度理论： 1. 第一类强度理论（以脆性断第一类强度理论（以脆性断裂破坏为标志）裂破坏为标志） 2. 第二类强度理论（以塑性第二类强度理论（以塑性屈服破坏为标志）屈服破坏为标志）四个强度理论四个强度理论（一）（一） 强度理论简介强度理论简介 准准则则：无无论论材材料料处处于于什什么么应应力力状状态态，发发生生脆脆性性断断裂裂的的共共同同原原因因是是单单元元体体中中的的最最大大拉拉应应力力s s1达达到到某某个个共共同同极极限限值值s sjx。1.断裂原因断裂原因：最大拉应力：最大拉应力s s1 （与应力状态无关）（与应力状态无关
13、）3.强度条件强度条件： 2.破坏条件破坏条件：第一强度理论（最大拉应力理论）第一强度理论（最大拉应力理论） 4.应应用用情情况况：符符合合脆脆性性材材料料的的拉拉断断试试验验，如如铸铸铁铁单单向向拉拉伸伸和和扭扭转转中中的的脆脆断断；但但未未考考虑虑其其余余主主应应力力影影响响且且不不能能用用于于无无拉拉应应力的应力状态，如单向、三向压缩等。力的应力状态，如单向、三向压缩等。四个强度理论四个强度理论第二强度理论（第二强度理论（最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论 ） 准准则则：无无论论材材料料处处于于什什么么应应力力状状态态，发发生生脆脆性性断断裂裂的的共共同同原原因因是是单单元元体体中中的
14、的最最大大伸伸长长线线应应变变e e1达达到到某某个个共共同同极极限值限值e ejx。1.断裂原因断裂原因：最大伸长线应变：最大伸长线应变e e1（与应力状态无关）；（与应力状态无关）； 3.强度准则强度准则： 2.破坏条件破坏条件： 4.应用情况应用情况：符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合：符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合大多数脆性材料的脆性破坏。大多数脆性材料的脆性破坏。 四个强度理论四个强度理论第三强度理论（最大切应力理论）第三强度理论（最大切应力理论） 准则准则：无论在什么样的应力状态下，材料发生屈无论在什么样的应力状态下，材料发生屈服流动的原因都是单元体内的最大切应力服
15、流动的原因都是单元体内的最大切应力t tmax达到某达到某一共同的极限值一共同的极限值t tjx。 1.屈服原因屈服原因：最大切应力：最大切应力t tmax（与应力状态无关）；（与应力状态无关）； 2.屈服条件屈服条件： 3.强度准则强度准则： 4.应用情况应用情况：形式简单，符合实际，广泛应用，偏于安全。：形式简单，符合实际，广泛应用，偏于安全。 四个强度理论四个强度理论第四强度理论（形状改变比能理论）第四强度理论（形状改变比能理论） 准准则则：不不论论应应力力状状态态如如何何，材材料料发发生生屈屈服服的的共共同同原原因因是是单单元元体体中中的的形形状状改改变变比比能能ud达达到到某某个个共
16、共同同的的极极限限值值udjx。1.屈服原因屈服原因：最大形状改变比能：最大形状改变比能ud（与应力状态无关）；（与应力状态无关）； 2.屈服条件屈服条件： 3.强度准则强度准则： 4.应用情况应用情况：对塑性材料比最大剪应力准则符合实验结果。：对塑性材料比最大剪应力准则符合实验结果。 四个强度理论四个强度理论强度理论应用强度理论应用强度准则的统一形式：强度准则的统一形式：其中：其中：s s2s s1s s3t tABCDx45o-45oMeMeDCBAs s3 3s s1 1s s1 1s s3 3 【例例9-35】分析圆轴扭转时的应力状态。分析圆轴扭转时的应力状态。 ABCD:)1单元体单
17、元体围绕圆轴外表面一点取围绕圆轴外表面一点取解：解：4)圆圆轴轴扭扭转转时时，横横截截面面为为纯纯剪剪切切应应 力力状状态态，最最大大拉拉、压压应应力力在在与与轴轴 线线 成成45o斜斜截截面面上上，它它们们数数值值相相 等，均等于横截面上的剪应力；等，均等于横截面上的剪应力；MeMe5)对对于于塑塑性性材材料料(如如低低碳碳钢钢)抗抗剪剪能能力力差差，扭扭转转破破坏坏时时，通通常常是是横横截截面面上上的的最最大大剪剪应应力力使使圆圆轴轴沿沿横横截截面剪断；面剪断；6)对对于于脆脆性性材材料料(如如铸铸铁铁、粉粉笔笔)抗抗拉拉性性能能差差，扭扭转转破破坏坏时时，通通常常沿与轴线成沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。的螺旋面发生拉断。MeMe破坏断面破坏断面分析圆轴扭转时的应力状态分析圆轴扭转时的应力状态403020单位：单位：MPaa as sa at ta a 【例例9-36】图图示示单单元元体体，试试求求：a a=30o斜斜截截面面上上的的应应力力； 主应力并画出主单元体；主应力并画出主单元体；切应力极值。切应力极值。s s2s s1s s2s s114.9o4020s s2s s1s s2s s114.9ox【例例9-36】作业作业:P146149 9-16、9-17、9-189-16作业作业:P146149 9-16、9-17、9-189-179-18
