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1、第一节第一节 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质一、常数项级数的概念二、常数项级数的性质一、常数项级数的概念1、定义、定义 给定一个无穷数列给定一个无穷数列 ，则由这个数，则由这个数列构成的表达式列构成的表达式称为称为常数项无穷级数常数项无穷级数，简称级数，记作，简称级数，记作 ，即，即其中第其中第 项项 称为级数的一般项。称为级数的一般项。可从极限思想出发来理解无穷多个数相加的含义。可从极限思想出发来理解无穷多个数相加的含义。2、级数的收敛和发散、级数的收敛和发散定义定义1：作级数：作级数 的前的前 项和项和称其为级数称其为级数 的部分和。的部分和。显然，可得到一个新数列显然，可得
2、到一个新数列，称为级数，称为级数 的部分和数列。的部分和数列。 定义定义2：如果级数的部分和数列的极限存在为：如果级数的部分和数列的极限存在为S，即即，则称级数，则称级数收敛收敛，此时称，此时称S为该级数的和，为该级数的和，记为记为如果部分和数列的极限不存在，则称级数如果部分和数列的极限不存在，则称级数发散发散。 定义定义3：当级数：当级数 收敛时，其部分和收敛时，其部分和Sn是级是级数的和数的和S的近似值，它们的差的近似值，它们的差称为级数的称为级数的余项余项。例例1 判断几何级数（等比级数）判断几何级数（等比级数） 的敛散性的敛散性（常数（常数 是公比）。是公比）。解：首先考虑解：首先考虑
3、 的情形，此时的情形，此时如果如果则则此时级数收敛，且此时级数收敛，且如果如果 ，则，则 ，故级数发散。，故级数发散。如果如果 ，当当 时时此时级数发散。此时级数发散。当当 时时当当 时，时，Sn的极限不存在，故级数发散。的极限不存在，故级数发散。综上，综上， 几何级数几何级数 当当 时收敛，其和为时收敛，其和为；当；当 时，级数发散。时，级数发散。例例2 判断级数判断级数 的敛散性。的敛散性。解：由于解：由于因此部分和因此部分和从而从而所以级数收敛于所以级数收敛于1。例例3 判断级数判断级数 的敛散性。的敛散性。解：级数的部分和为解：级数的部分和为所以此级数发散。所以此级数发散。二、常数项级
4、数的性质二、常数项级数的性质性质性质1 如果如果 和和 是两个收敛级数，是两个收敛级数，则级数则级数也收敛，且有也收敛，且有性质性质2 如果级数如果级数 收敛，则对任意常数收敛，则对任意常数C，级数级数 也收敛，且有也收敛，且有 性质性质3 在级数中去掉或增加有限项，不改变其在级数中去掉或增加有限项，不改变其敛散性。敛散性。 性质性质4 在收敛级数的项中任意加括号后所得级在收敛级数的项中任意加括号后所得级数仍收敛，且与原级数的和相同。数仍收敛，且与原级数的和相同。注意：注意：加括号后的级数收敛，原级数不一定收敛加括号后的级数收敛，原级数不一定收敛如级数如级数 发散，发散，但加括号后的级数但加括号后的级数收敛；不过，若加括号后的级数发散，则原级数一收敛；不过，若加括号后的级数发散，则原级数一定发散。定发散。性质性质5（级数收敛的必要条件）（级数收敛的必要条件）如果级数如果级数 收敛，则收敛，则 一般项的极限为零仅是级数收敛的必要但非充一般项的极限为零仅是级数收敛的必要但非充分条件。可考察级数分条件。可考察级数例例4 判断级数判断级数 的敛散性。的敛散性。解：因为解：因为所以级数所以级数 发散。发散。
