《高等数学：第9章多元函数法及其应用第二节：偏导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：第9章多元函数法及其应用第二节：偏导数（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节第二节 偏导数偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、小结三、小结一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例: 研究弦在点研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度处的振动速度与加速度 ,就是就是中的中的 x 固定于固定于 x0 处处, ,求求一阶导数与二阶导数一阶导数与二阶导数.关于关于 t 的的将振幅将振幅定义：设定义：设 y = f (x) 在点在点 的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义， 当自变量当自变量 x 在在处取得增量处取得增量 x相应的函数也取得增量相应的函数也取得增量如果比值的极限如果比值的极限存在存在则称
2、则称 y = f (x) 在在 处可导，处可导， 并称该极限为并称该极限为 y = f (x) 在点在点 处的导数，记为处的导数，记为 即即 一元函数导数概念的回顾一元函数导数概念的回顾考虑二元函数考虑二元函数 z = f ( x , y ) 若将若将 y 固定（看作常量），则它成为一个关于固定（看作常量），则它成为一个关于 x 的的一元函数，可将其对一元函数，可将其对 x 求导。求导。同理，可定义同理，可定义 z = f ( x , y ) 关于关于 y 的偏导数。的偏导数。所以，所以，z = f ( x , y ) 关于关于 x , y 的偏导数，实际上就的偏导数，实际上就是两个一元函数的
3、导数（将其中一个变量固定，函是两个一元函数的导数（将其中一个变量固定，函数则成为另一个变量的一元函数）数则成为另一个变量的一元函数）这个关于这个关于 x 的一元函数对的一元函数对 x 的导数，称为二元函数的导数，称为二元函数 z = f (x , y ) 关于关于 x 的偏导数的偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法 上述关于二元函数偏导数的定义，可推广到上述关于二元函数偏导数的定义，可推广到 n 元函数的情形。元函数的情形。例如：例如：u = f ( x , y , z )例例1 . 求求解法解法1解法解法2在点在点(1 , 2) 处的偏导数处的偏导数. .先求后代先求后
4、代先代后求先代后求证证原结论成立原结论成立解解分析下列解法是否正确？分析下列解法是否正确？ 解解例例 4 4解解由第一节可知由第一节可知 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 处不连续处不连续由对称性得由对称性得例例 4 4解解按定义可知：按定义可知：例例 4 4解解有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、3、求分界点、不连续点处的偏导数、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；要用定义求；2、对于多元函数，在某点处，即使各偏导数、对于多元函数，在某点处，即使各偏导数都存在，也不能保证函数在该点连续。都存在，也不能保证函数在该点连续。解解3、偏导数的几何意义、偏导数的几何
5、意义如图如图几何意义几何意义: :课堂练习课堂练习:P69 1（2，4，6，7），），5二、高阶偏导数二、高阶偏导数 在区域在区域 D 内，它们仍是内，它们仍是 x , y 的二元函数，可继的二元函数，可继续求偏导数。续求偏导数。类似地，可以定义三阶或更高阶的偏导数。类似地，可以定义三阶或更高阶的偏导数。二阶二阶混合混合偏导偏导数数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .解解解解解解问题：问题：混合偏导数一定相等吗？混合偏导数一定相等吗？例例 8 8解解问题：问题：混合偏导数一定相等吗？混合偏导数一定相等吗？例例 8 8解解例例 8 8解解按定义可知：按定义可知：例例 8 8解解例例 8 8解解问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解解证毕证毕由对称性得由对称性得偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三、小结习题92: 1(1,3,5,7), 4, 6(2,3),7， 8 九章作业九章作业第二节：第二节：偏导数偏导数答：答：1.C; 2.D ; 3.B思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,
