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1、Nanjing University of Technology第九章第九章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 应力状态简介应力状态简介 应力的点的概念同一截面上不同点的应力同一截面上不同点的应力同一截面上不同点的应力同一截面上不同点的应力各不相同各不相同各不相同各不相同 应力状态应力状态F F FN NNx xxQ QQ横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同一横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同一横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同一横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即面上不同点的应力各不相同，此即面上不同点的应力各不相同，此
2、即面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念应力的点的概念应力的点的概念应力的点的概念。F FP PF FP P 受力之前，表面的正方形受力之前，表面的正方形受力之前，表面的正方形受力之前，表面的正方形受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。 应力的面的概念过同一点不同方向面上的应过同一点不同方向面上的应过同一点不同方向面上的应过同一点不同方向面上的应力各不相同力各不相同力各不相同力各不相同 受力之前受力之前受力之前受力之前, , , ,表面斜置的正方形表面斜置的正方形表面
3、斜置的正方形表面斜置的正方形 受力之前，在其表面画一斜置的正方形；受拉受力之前，在其表面画一斜置的正方形；受拉受力之前，在其表面画一斜置的正方形；受拉受力之前，在其表面画一斜置的正方形；受拉后，正方形变成了菱形。后，正方形变成了菱形。后，正方形变成了菱形。后，正方形变成了菱形。这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力F FP PF FP P应应 力力指明指明哪一个面上？哪一个面上？哪一个面上？哪一个面上？ 哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？ 哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？哪个方向面？哪个方向面？哪个方向面？哪个方向面？应力状态的概念应力状态的概念应力状态的概念应力状态的
4、概念 过一点、在不同方向面上应力的集合，过一点、在不同方向面上应力的集合，过一点、在不同方向面上应力的集合，过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为这一点的称之为这一点的称之为这一点的称之为这一点的应力状态应力状态应力状态应力状态。 低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验 为什么要研究应力状态为什么要研究应力状态 韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿4545螺旋面断开？螺旋面断开
5、？ 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力 不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。面上的应力。面上的应力。面上的应力。按工程应用传统观念，判断构件强度取决于危险点按工程应用传统观念，判断构件强度取决于危险点按工程应用传统观念，判断构件强度取决于危险点按工程应用传统观念，判断构件强度取决于危险点的应力状态。的应力状态。的应力状态。的应力
6、状态。 危险点是怎样达到破坏的呢？危险点是怎样达到破坏的呢？危险点是怎样达到破坏的呢？危险点是怎样达到破坏的呢？ 在什么方向最容易破坏呢？在什么方向最容易破坏呢？在什么方向最容易破坏呢？在什么方向最容易破坏呢？ 以下将从一点处应力状态分析中，找出哪个以下将从一点处应力状态分析中，找出哪个以下将从一点处应力状态分析中，找出哪个以下将从一点处应力状态分析中，找出哪个截面上有正应力极值，哪个截面上有剪应力极值，截面上有正应力极值，哪个截面上有剪应力极值，截面上有正应力极值，哪个截面上有剪应力极值，截面上有正应力极值，哪个截面上有剪应力极值，以此作出构件强度的判据。以此作出构件强度的判据。以此作出构件
7、强度的判据。以此作出构件强度的判据。 微元及其各面上的应力即可描述一点的应力状态微元及其各面上的应力即可描述一点的应力状态微元及其各面上的应力即可描述一点的应力状态微元及其各面上的应力即可描述一点的应力状态d dx xd dy yd dz z微元微元微元微元 描述一点应力状态的基本方法描述一点应力状态的基本方法 yxz 三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态微元体微元体微元体微元体也叫也叫也叫也叫单元体单元体单元体单元体，是边长为无穷，是边长为无穷，是边长为无穷，是边长为无穷小量的正立方体。小量的正立方体。小量的正立方体。小量的正立方体。（1 1）每个
8、微面上应力分布可视作）每个微面上应力分布可视作）每个微面上应力分布可视作）每个微面上应力分布可视作均匀；均匀；均匀；均匀；（2 2）任一对相互平行微面上的应）任一对相互平行微面上的应）任一对相互平行微面上的应）任一对相互平行微面上的应力可视作相等。力可视作相等。力可视作相等。力可视作相等。 轴向拉伸轴向拉伸 扭转扭转 梁的弯曲梁的弯曲主平面：主平面：剪应力为零的平面剪应力为零的平面主应力：主应力：主平面上的正应力主平面上的正应力主方向：主方向：主平面的法线方向主平面的法线方向 可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存可以证明：通过受力构件内的任一点，一定
9、存可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。在三个互相垂直的主平面。在三个互相垂直的主平面。在三个互相垂直的主平面。 三个主应力用三个主应力用三个主应力用三个主应力用 1 1、 2 2 、 3 3 表示，按代数值大表示，按代数值大表示，按代数值大表示，按代数值大小顺序排列，即小顺序排列，即小顺序排列，即小顺序排列，即 1 1 2 2 3 3 应力状态的分类应力状态的分类单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零：三个主应力中只有一个不等于零：三个主应力中只有一个不等于零：三个主应力中只有一个不等于零二向应力状态二向应力状态二向应力状态二
10、向应力状态（平面应力状态）：两个主应（平面应力状态）：两个主应（平面应力状态）：两个主应（平面应力状态）：两个主应 力不等于零力不等于零力不等于零力不等于零三向应力状态三向应力状态三向应力状态三向应力状态（空间应力状态）：三个主应（空间应力状态）：三个主应（空间应力状态）：三个主应（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零力皆不等于零力皆不等于零力皆不等于零 单向应力状态也称为单向应力状态也称为单向应力状态也称为单向应力状态也称为简单应力状态简单应力状态简单应力状态简单应力状态 二向和三向应力状态统称为二向和三向应力状态统称为二向和三向应力状态统称为二向和三向应力状态统称为复杂应力状态复杂应力状态
11、复杂应力状态复杂应力状态 平面（二向）应力状态平面（二向）应力状态平面（二向）应力状态平面（二向）应力状态x xy yx xy yx xy y单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态 ) )tDp p( (m m t 薄壁压力容器薄壁压力容器实例一实例一) )tDp p( (m 实例三实例三圆球形薄壁容器，壁厚圆球形薄壁容器，壁厚圆球形薄壁容器，壁厚圆球形薄壁容器，壁厚为为为为 t t，内径为内径为内径为内径为D D，承承承承受内压受内压受内压受内压p p作用。作用。作用。作用。F FP Pla aS S例题例题x xz zy y4321
12、S S平面平面平面平面yxzMMz z Q Qy yMMx x4321143 平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力 拉为正拉为正拉为正拉为正压为负压为负压为负压为负正应力正应力正应力正应力 方向角与应力分量的正负号约定方向角与应力分量的正负号约定 使微元或其局部顺使微元或其局部顺使微元或其局部顺使微元或其局部顺时针方向转动为正；反时针方向转动为正；反时针方向转动为正；反时针方向转动为正；反之为负。之为负。之为负。之为负。剪应力剪应力剪应力剪应力y yxqq方向角方向角方向角方向角 由由由由 x x正向反时正向反时正向反时正向反时针转到针转到针转到针转到xx正向者为正向者
13、为正向者为正向者为正；反之为负。正；反之为负。正；反之为负。正；反之为负。 平衡对象平衡对象平衡对象平衡对象 平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程tyx 参加平衡的量参加平衡的量参加平衡的量参加平衡的量dAqxy用用用用 斜截面截取的微元局部斜截面截取的微元局部斜截面截取的微元局部斜截面截取的微元局部应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积应力乘以其作用的面积 微元的局部平衡微元的局部平衡 xtyxdAqxyxtyxdAqxyx 利利利利用用用用三三三三角角角角倍倍倍倍角角角角公公公公式式式式，根根根根据据据据上上上上述述述述平平平平衡衡衡衡方方方方程程程程式式式式，可可可可以
14、以以以得得得得到到到到计计计计算算算算平平平平面面面面应应应应力力力力状状状状态态态态中中中中任任任任意方向面上正应力与剪应力的表达式：意方向面上正应力与剪应力的表达式：意方向面上正应力与剪应力的表达式：意方向面上正应力与剪应力的表达式： 若用若用若用若用 + + /2/2 斜截面截取斜截面截取斜截面截取斜截面截取xy 主应力与最大剪应力主应力与最大剪应力 主平面、主应力与主方向主平面、主应力与主方向 剪应力剪应力剪应力剪应力 x x y y 0 0的方向面，称为的方向面，称为的方向面，称为的方向面，称为主平面主平面主平面主平面，其方向，其方向，其方向，其方向角用角用角用角用 p p表示。表示
15、。表示。表示。 将上式对将上式对将上式对将上式对 求一次导数，并令其等于零，有求一次导数，并令其等于零，有求一次导数，并令其等于零，有求一次导数，并令其等于零，有 由此解出的角度由此解出的角度由此解出的角度由此解出的角度 角角角角度度度度 与与与与 P P 具具具具有有有有完完完完全全全全一一一一致致致致的的的的形形形形式式式式。这这这这表表表表明明明明，主主主主应应应应力力力力具具具具有有有有极极极极值值值值的的的的性性性性质质质质，即即即即当当当当坐坐坐坐标标标标系系系系绕绕绕绕z z轴轴轴轴（垂垂垂垂直直直直于于于于xyxy坐坐坐坐标标标标面面面面）旋旋旋旋转转转转时时时时，主主主主应应
16、应应力力力力为为为为所所所所有有有有坐坐坐坐标标标标系系系系中中中中正正正正应应应应力力力力的的的的极值。极值。极值。极值。 注注注注意意意意，对对对对于于于于平平平平面面面面应应应应力力力力状状状状态态态态，平平平平行行行行于于于于xyxy坐坐坐坐标标标标面面面面的的的的平平平平面面面面，其其其其上上上上既既既既没没没没有有有有正正正正应应应应力力力力，也也也也没没没没有有有有剪剪剪剪应应应应力力力力作作作作用用用用，这这这这种种种种平平平平面面面面也也也也是是是是主主主主平平平平面面面面。这这这这一一一一主主主主平面上的主应力等于零。平面上的主应力等于零。平面上的主应力等于零。平面上的主应
17、力等于零。 根根根根据据据据剪剪剪剪应应应应力力力力互互互互等等等等定定定定理理理理，与与与与主主主主平平平平面面面面垂垂垂垂直直直直的的的的方方方方向向向向面面面面（ P P/2/2） 上上上上的的的的剪剪剪剪应应应应力力力力也也也也等等等等于于于于零零零零，也也也也是是是是主主主主平平平平面。面。面。面。 将将将将 P P 、 P P/2/2代入斜截面正应力计算式，可得代入斜截面正应力计算式，可得代入斜截面正应力计算式，可得代入斜截面正应力计算式，可得平面应力状态的三个主应力平面应力状态的三个主应力平面应力状态的三个主应力平面应力状态的三个主应力 三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用
18、三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用表示，即表示，即表示，即表示，即 构件中任一点所具有的主应力有且仅有三个！构件中任一点所具有的主应力有且仅有三个！构件中任一点所具有的主应力有且仅有三个！构件中任一点所具有的主应力有且仅有三个！ 根据主应力可确定材料何时发生失效或破坏，根据主应力可确定材料何时发生失效或破坏，根据主应力可确定材料何时发生失效或破坏，根据主应力可确定材料何时发生失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，主应力是反映应确定失效或破坏的形式。因此，主应力是反映应确定失效或破坏的形式。因此，主应力
19、是反映应确定失效或破坏的形式。因此，主应力是反映应力状态本质的特征量。力状态本质的特征量。力状态本质的特征量。力状态本质的特征量。x-yx-y坐标系坐标系坐标系坐标系x x - -yy坐标系坐标系坐标系坐标系x xp p-y-yp p坐标系坐标系坐标系坐标系同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式 一点的应力一点的应力一点的应力一点的应力状态最终将由该状态最终将由该状态最终将由该状态最终将由该点处的主应力单点处的主应力单点处的主应力单点处的主应力单元体来描述元体来描述元体来描述元体来
20、描述 由此得出另一特征角，用由此得出另一特征角，用由此得出另一特征角，用由此得出另一特征角，用 s s表示表示表示表示对对对对 求一次导数，并令其等于零，得到求一次导数，并令其等于零，得到求一次导数，并令其等于零，得到求一次导数，并令其等于零，得到 单单单单元元元元体体体体斜斜斜斜截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪应应应应力力力力亦亦亦亦随随随随方方方方位位位位角角角角的的的的变变变变化化化化而变化，也存在极值而变化，也存在极值而变化，也存在极值而变化，也存在极值 面内最大剪应力面内最大剪应力 该该该该极极极极值值值值仅仅仅仅对对对对垂垂垂垂直直直直于于于于xyxy坐坐坐坐标标标标面面面
21、面的的的的方方方方向向向向面面面面而而而而言言言言，因因因因而而而而称称称称为为为为面面面面内内内内最最最最大大大大剪剪剪剪应应应应力力力力。二二二二者者者者不不不不一一一一定定定定是是是是过过过过一一一一点点点点的的的的所所所所有方向面中剪应力的最大值。有方向面中剪应力的最大值。有方向面中剪应力的最大值。有方向面中剪应力的最大值。 将将将将 s s 代入斜截面剪应力计算式，可得代入斜截面剪应力计算式，可得代入斜截面剪应力计算式，可得代入斜截面剪应力计算式，可得剪应力极值剪应力极值剪应力极值剪应力极值 考虑到正应力极值表达式，剪应力最大值也可以写成考虑到正应力极值表达式，剪应力最大值也可以写成
22、考虑到正应力极值表达式，剪应力最大值也可以写成考虑到正应力极值表达式，剪应力最大值也可以写成例 题 薄薄薄薄壁壁壁壁圆圆圆圆管管管管受受受受扭扭扭扭转转转转和和和和拉拉拉拉伸伸伸伸同同同同时时时时作作作作用用用用（如如如如图图图图所所所所示示示示）。已已已已知知知知圆圆圆圆管管管管的的的的平平平平均均均均直直直直径径径径D D50mm50mm，壁壁壁壁厚厚厚厚 2mm2mm。外外外外加加加加力力力力偶偶偶偶的的的的力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩MMe e600Nm600Nm，轴轴轴轴向向向向载载载载荷荷荷荷F FP P20kN20kN。薄薄薄薄壁管截面的扭转截面系数可近似取为壁管截面的扭转截面系数可
23、近似取为壁管截面的扭转截面系数可近似取为壁管截面的扭转截面系数可近似取为 求求求求：1 1、圆圆圆圆管管管管表表表表面面面面上上上上过过过过D D点点点点与与与与圆圆圆圆管管管管母母母母线线线线夹夹夹夹角角角角为为为为3030的的的的斜截面上的应力；斜截面上的应力；斜截面上的应力；斜截面上的应力； 2 2、D D点主应力和最大剪应力。点主应力和最大剪应力。点主应力和最大剪应力。点主应力和最大剪应力。 解：取单元体，确定微元各个面上的应力取单元体，确定微元各个面上的应力取单元体，确定微元各个面上的应力取单元体，确定微元各个面上的应力为何用横截面为何用横截面为何用横截面为何用横截面和纵剖面给出和纵
24、剖面给出和纵剖面给出和纵剖面给出单元体？单元体？单元体？单元体？求斜截面上的应力求斜截面上的应力求斜截面上的应力求斜截面上的应力 x x63.7 63.7 MPaMPa， y y0 0， xyxy一一一一76.4 76.4 MPaMPa， 120120 主应力：主应力：主应力：主应力： 根根根根据据据据主主主主应应应应力力力力代代代代数数数数值值值值大大大大小小小小顺顺顺顺序序序序排排排排列列列列，D D点点点点的的的的三个主应力为三个主应力为三个主应力为三个主应力为D D点的最大剪应力为点的最大剪应力为点的最大剪应力为点的最大剪应力为 已知已知已知已知: : 三向应力状态如图所三向应力状态如
25、图所三向应力状态如图所三向应力状态如图所示，图中应力的单位为示，图中应力的单位为示，图中应力的单位为示，图中应力的单位为MPaMPa。例 题 试求：主应力及微元内的试求：主应力及微元内的试求：主应力及微元内的试求：主应力及微元内的最大剪应力。最大剪应力。最大剪应力。最大剪应力。 故题中所给的应力状态可视为平面应力状态进行故题中所给的应力状态可视为平面应力状态进行故题中所给的应力状态可视为平面应力状态进行故题中所给的应力状态可视为平面应力状态进行分析。分析。分析。分析。 解：所给的应力状态中有一个所给的应力状态中有一个所给的应力状态中有一个所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即主应力是已知的，
26、即主应力是已知的，即主应力是已知的，即已知已知已知已知 x x= =20 20 MpaMpa， xyxy= =40MPa40MPa，求得求得求得求得 微元内的最大剪应力微元内的最大剪应力微元内的最大剪应力微元内的最大剪应力 应力圆及其应用应力圆及其应用 应力圆应力圆RO OC COC CD( x , xy)B BD( y , yx)建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系确定确定确定确定D D、DD点点点点 连接连接连接连接D D、DD，确定，确定，确定，确定C CABA AB B以以以以C C为圆心画出应力圆为圆心画出应力圆为圆心画出应力圆为圆心画出应力圆 应力圆的画法应力圆的画法 那么，为
27、什么这那么，为什么这那么，为什么这那么，为什么这样画出的就是应样画出的就是应样画出的就是应样画出的就是应力圆呢？力圆呢？力圆呢？力圆呢？C CaA 应力圆的应用应力圆的应用 点面对应点面对应点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元应力圆上某一点的坐标值对应着微元应力圆上某一点的坐标值对应着微元应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力；某一方向面上的正应力和剪应力；某一方向面上的正应力和剪应力；某一方向面上的正应力和剪应力；那么这种对应那么这种对应那么这种对应那么这种对应关系是如何产关系是如何产关系是如何产关系是如何产生的呢？生的呢？生的呢？生的呢？C CaDn dx
28、A2 转向对应转向对应转向对应转向对应二倍角对应二倍角对应二倍角对应二倍角对应& & 在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。的工具，而不是计算工具。的工具，而不是计算工具。的工具，而不是计算工具。o xy x245245 y x BEDA A d(0,- )Ca (0, )eb 纯剪切应力状态下的最大正应力纯剪切应力状态下的最大正应力 y x BEDA A y x BE 在在在在纯纯纯纯剪剪剪剪应应应应力力力力状状状状态态态态下下下下
29、，4545方方方方向向向向面面面面上上上上只只只只有有有有正正正正应应应应力力力力没没没没有剪应力，而且正应力为最大值。有剪应力，而且正应力为最大值。有剪应力，而且正应力为最大值。有剪应力，而且正应力为最大值。 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。件受扭时的破坏现象。 xy x y yx xy xoadA AD主平面：主平面：主平面：主平面： = 0= 0，与应力圆上和横轴交点对应的面，与应力圆上和横轴交点对应的面，与应力圆上和横轴交点对应的面，与应力圆上和横轴交点对应的面cbe PB PE2 p 主应力和主平面的确定主应力和主平面的
30、确定 x y yxA AD xy PE PB xy xoadcbe2 p 主应力：主应力：主应力：主应力：主平面上的正应力主平面上的正应力主平面上的正应力主平面上的正应力。 对应应力圆上的最高对应应力圆上的最高对应应力圆上的最高对应应力圆上的最高点的面上剪应力最大，称点的面上剪应力最大，称点的面上剪应力最大，称点的面上剪应力最大，称为为为为“ “ 面内最大剪应力面内最大剪应力面内最大剪应力面内最大剪应力” ” xy xoc 是否可由应力圆得到最是否可由应力圆得到最是否可由应力圆得到最是否可由应力圆得到最大面内剪应力面与主平面大面内剪应力面与主平面大面内剪应力面与主平面大面内剪应力面与主平面之间
31、的关系？之间的关系？之间的关系？之间的关系？例题：例题：例题：例题：用图解法求图示单元体用图解法求图示单元体用图解法求图示单元体用图解法求图示单元体 (1)(1)指定斜截面上的正应力和剪应力指定斜截面上的正应力和剪应力指定斜截面上的正应力和剪应力指定斜截面上的正应力和剪应力; ; (2) (2)主应力值及主方向，并画在单元体上；主应力值及主方向，并画在单元体上；主应力值及主方向，并画在单元体上；主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)(3)最大剪应力值。最大剪应力值。最大剪应力值。最大剪应力值。单位：单位：MPa40806060作应力圆，从应力圆上可量出：作应力圆，从应力圆上可量出：作应力圆
32、，从应力圆上可量出：作应力圆，从应力圆上可量出：40806060 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆考察三维主应力单元体考察三维主应力单元体考察三维主应力单元体考察三维主应力单元体n n 任一假想截面将其截开任一假想截面将其截开任一假想截面将其截开任一假想截面将其截开若若若若设设设设其其其其外外外外法法法法线线线线方方方方向向向向与与与与三三三三维维维维坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴夹夹夹夹角角角角的的的的方方方方向向向向余余余余弦弦弦弦为为为为 l l、mm和和和和n n，ABCABC的的的的面面面面积积积积为为为为d dA A，则，则，则，则C CA AB BOOx xy yz zC CA
33、 AB BOOx xy yz zp p 1 1设设设设斜斜斜斜截截截截面面面面上上上上的的的的应应应应力力力力矢矢矢矢量量量量为为为为p p，且且且且该该该该矢矢矢矢量量量量在在在在三三三三个个个个坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴向向向向的的的的分分分分量量量量为为为为p px x、p py y和和和和p pz z，则由，则由，则由，则由同理，有同理，有同理，有同理，有所以：所以：所以：所以：而若将矢量而若将矢量而若将矢量而若将矢量p p沿截面法线和切线方向投影，又有沿截面法线和切线方向投影，又有沿截面法线和切线方向投影，又有沿截面法线和切线方向投影，又有 n n n n根据投影关系根据投影关系根据投
34、影关系根据投影关系所以：所以：所以：所以：此外，可得此外，可得此外，可得此外，可得 1 1C CA AB BOOx xy yz zp p n n n n联列求解式联列求解式联列求解式联列求解式（a a）（）（）（）（b b）（）（）（）（c c），），），），可得可得可得可得 1 3 2O xy x可见，最大可见，最大可见，最大可见，最大剪应力剪应力剪应力剪应力 maxmax 比较上式和平比较上式和平比较上式和平比较上式和平面最大剪应力间面最大剪应力间面最大剪应力间面最大剪应力间的区别。的区别。的区别。的区别。例题：例题： 求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应求图示应力状态的主应力和最大剪应
35、力（应求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为力单位为力单位为力单位为MPaMPa）。）。）。）。20403050解：解： 广义胡克定律广义胡克定律 主要讨论各向同性材料应力和应变之间的关系主要讨论各向同性材料应力和应变之间的关系主要讨论各向同性材料应力和应变之间的关系主要讨论各向同性材料应力和应变之间的关系 在线弹性范围和小变形条件下，可以证明线应变在线弹性范围和小变形条件下，可以证明线应变在线弹性范围和小变形条件下，可以证明线应变在线弹性范围和小变形条件下，可以证明线应变只与正应力有关，剪应变只与剪应力有关。只与正应力有关，剪应变只与剪应力有关。
36、只与正应力有关，剪应变只与剪应力有关。只与正应力有关，剪应变只与剪应力有关。应力分量应力分量应力分量应力分量： x x、 y y、 z z、 xyxy、 y zy z、 zxzx应变分量应变分量应变分量应变分量： x x、 y y、 z z、 xyxy、 y zy z、 zxzx如图单元体如图单元体如图单元体如图单元体y yx xz z由由由由 x x导致导致导致导致沿沿沿沿x x的线应变的线应变的线应变的线应变同时应注意由同时应注意由同时应注意由同时应注意由 y y、 z z导致导致导致导致沿沿沿沿x x的线应变的线应变的线应变的线应变叠加可得：叠加可得：叠加可得：叠加可得：同理可得：同理可
37、得：同理可得：同理可得：而而而而剪应力和剪应变之间的关系剪应力和剪应变之间的关系剪应力和剪应变之间的关系剪应力和剪应变之间的关系 +广广义义虎虎克克定定律律对于主应力单元体对于主应力单元体对于主应力单元体对于主应力单元体广义胡克定律：广义胡克定律：广义胡克定律：广义胡克定律： 上述广义虎克定律均用应上述广义虎克定律均用应上述广义虎克定律均用应上述广义虎克定律均用应力描述应变，那如果用应力描述应变，那如果用应力描述应变，那如果用应力描述应变，那如果用应变描述应力那又如何？变描述应力那又如何？变描述应力那又如何？变描述应力那又如何？上述两种表述方式所得公上述两种表述方式所得公上述两种表述方式所得公
38、上述两种表述方式所得公式的适用范围有区别吗？式的适用范围有区别吗？式的适用范围有区别吗？式的适用范围有区别吗？例题：例题：已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变为为为为 1 1=24010=24010-6-6， 3 3=-16010=-16010-6-6，构件材料为构件材料为构件材料为构件材料为Q235Q235钢，钢，钢，钢，其弹性模量其弹性模量其弹性模量其弹性模量E E=210GPa=210GPa，泊松比，泊松比，泊松比，泊松比 =0.3=0.3。试求该点处的。试求该点处
39、的。试求该点处的。试求该点处的主应力数值及该点处另一主应变主应力数值及该点处另一主应变主应力数值及该点处另一主应变主应力数值及该点处另一主应变 2 2的的的的数值和方向。数值和方向。数值和方向。数值和方向。解：解：据据据据题意知该点处于平面应力状态题意知该点处于平面应力状态题意知该点处于平面应力状态题意知该点处于平面应力状态平面应力状态广义胡克定律：平面应力状态广义胡克定律：平面应力状态广义胡克定律：平面应力状态广义胡克定律：联立求联立求联立求联立求解，得解，得解，得解，得例题：例题：图示一边长为图示一边长为图示一边长为图示一边长为a a=200mm=200mm的正方体混凝土块，的正方体混凝土
40、块，的正方体混凝土块，的正方体混凝土块，无空隙地放在刚性凹座内，上表面受压力无空隙地放在刚性凹座内，上表面受压力无空隙地放在刚性凹座内，上表面受压力无空隙地放在刚性凹座内，上表面受压力P P=300KN=300KN的的的的作用，已知混凝土的泊松比作用，已知混凝土的泊松比作用，已知混凝土的泊松比作用，已知混凝土的泊松比 =1/6=1/6，试求凹座壁上所受，试求凹座壁上所受，试求凹座壁上所受，试求凹座壁上所受的压力的压力的压力的压力。P解：解：刚性凹座是不变形的刚性凹座是不变形的刚性凹座是不变形的刚性凹座是不变形的Fy yFy yFx xFx xFz zFx xFx x由受力的由受力的由受力的由受
41、力的对称性知对称性知对称性知对称性知解解解解上述方程，得上述方程，得上述方程，得上述方程，得壁所受壁所受壁所受壁所受压力为压力为压力为压力为：（压力）压力）压力）压力）（压力）压力）压力）压力）PFy yFy yFx xFx xFz zFx xFx x 体积虎克定律体积虎克定律d dy yd dx xd dz z 1 1 2 2 3 3 在主应力作用下，每边最在主应力作用下，每边最在主应力作用下，每边最在主应力作用下，每边最终长度终长度终长度终长度变形后体积变形后体积变形后体积变形后体积体积应变体积应变体积应变体积应变，即单，即单，即单，即单位体积改变量：位体积改变量：位体积改变量：位体积改变
42、量：利用广义虎克定律，上式可写为：利用广义虎克定律，上式可写为：利用广义虎克定律，上式可写为：利用广义虎克定律，上式可写为：令：令：令：令：体积虎克定律：体积虎克定律：体积虎克定律：体积虎克定律：体积弹性模量体积弹性模量体积弹性模量体积弹性模量平均主应力平均主应力平均主应力平均主应力体积虎克定律说体积虎克定律说体积虎克定律说体积虎克定律说明什么？明什么？明什么？明什么？ 应变能与应变能密度应变能与应变能密度 什么叫变形能（应变能）？什么叫变形能（应变能）？什么叫变形能（应变能）？什么叫变形能（应变能）？ 变形比能（应变能变形比能（应变能变形比能（应变能变形比能（应变能密度）密度）密度）密度）?
43、 ? 简单应力状态下的变形比能简单应力状态下的变形比能简单应力状态下的变形比能简单应力状态下的变形比能 轴向拉压杆件的变形能和比能轴向拉压杆件的变形能和比能轴向拉压杆件的变形能和比能轴向拉压杆件的变形能和比能 P P P P l ld d l lP P 简单应力状态下的变形比能简单应力状态下的变形比能简单应力状态下的变形比能简单应力状态下的变形比能 d d d dx x 可见，该结果和轴向拉压杆可见，该结果和轴向拉压杆可见，该结果和轴向拉压杆可见，该结果和轴向拉压杆件分析所得结果是一致的。件分析所得结果是一致的。件分析所得结果是一致的。件分析所得结果是一致的。 复杂应力状态下的变形比能复杂应力
44、状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能 d dy yd dx xd dz z 1 1 2 2 3 3力的力的力的力的作用点所产生的位移作用点所产生的位移作用点所产生的位移作用点所产生的位移dW =力力力力在位移上所做的功转变为微元的应变能在位移上所做的功转变为微元的应变能在位移上所做的功转变为微元的应变能在位移上所做的功转变为微元的应变能=dU变形比能变形比能变形比能变形比能利用广义虎克定律，上式可写为：利用广义虎克定律，上式可写为：利用广义虎克定律，上式可写为：利用广义虎克定律，上式可写为：+将将将将一般应力状态分解为两种特殊情形一般应力状态分解为两种特殊情形一般应
45、力状态分解为两种特殊情形一般应力状态分解为两种特殊情形 体积改变比能与形状改变比能体积改变比能与形状改变比能 不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积不改变形状，但改变体积不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状不改变体积，但改变形状uuvuf体积改体积改体积改体积改变比能变比能变比能变比能形状改形状改形状改形状改变比能变比能变比能变比能体积改变比能体积改变比能形状改变比能形状改变比能 各向同性材料各弹性常数之间的关系各向同性材料各弹性常数之间的关系 1 3 讨论纯剪切应力状态讨论纯剪切应力状态讨论纯剪切应力状态讨论纯剪切应力状态由平面应力状
46、态分析可知由平面应力状态分析可知由平面应力状态分析可知由平面应力状态分析可知由主应力可计算得到纯剪由主应力可计算得到纯剪由主应力可计算得到纯剪由主应力可计算得到纯剪切应力状态下的应变能切应力状态下的应变能切应力状态下的应变能切应力状态下的应变能再次讨论纯剪切应力状再次讨论纯剪切应力状再次讨论纯剪切应力状再次讨论纯剪切应力状态下的应变能态下的应变能态下的应变能态下的应变能 d dx x显然，应该满足显然，应该满足显然，应该满足显然，应该满足 这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中，这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中，这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中，这表明，对于各向同性材料，三个
47、弹性常数中，只有两个是独立的。只有两个是独立的。只有两个是独立的。只有两个是独立的。 强度理论概述强度理论概述 强度理论的由来强度理论的由来 强度理论特点强度理论特点 强度理论的分类强度理论的分类（1 1 1 1）材材材材料料料料之之之之所所所所以以以以按按按按某某某某种种种种方方方方式式式式失失失失效效效效，是是是是应应应应力力力力、应应应应变和变形能等因素中的一个导致的变和变形能等因素中的一个导致的变和变形能等因素中的一个导致的变和变形能等因素中的一个导致的（2 2 2 2）造成强度失效的原因与应力状态无关）造成强度失效的原因与应力状态无关）造成强度失效的原因与应力状态无关）造成强度失效的
48、原因与应力状态无关（3 3 3 3）可可可可由由由由简简简简单单单单应应应应力力力力状状状状态态态态下下下下的的的的实实实实验验验验结结结结果果果果建建建建立立立立复复复复杂杂杂杂应力状态下的强度条件（准则）应力状态下的强度条件（准则）应力状态下的强度条件（准则）应力状态下的强度条件（准则） 脆性断裂的强度理论脆性断裂的强度理论 关于断裂的强度理论有第一强度理论与第二强关于断裂的强度理论有第一强度理论与第二强关于断裂的强度理论有第一强度理论与第二强关于断裂的强度理论有第一强度理论与第二强度理论。第二强度理论只与少数材料的实验结果相度理论。第二强度理论只与少数材料的实验结果相度理论。第二强度理论
49、只与少数材料的实验结果相度理论。第二强度理论只与少数材料的实验结果相吻合，工程上相对较少应用。吻合，工程上相对较少应用。吻合，工程上相对较少应用。吻合，工程上相对较少应用。 第一强度理论第一强度理论第一强度理论第一强度理论( ( ( (最大拉应力准则最大拉应力准则最大拉应力准则最大拉应力准则) ) ) ) 第第第第一一一一强强强强度度度度理理理理论论论论认认认认为为为为引引引引起起起起材材材材料料料料断断断断裂裂裂裂破破破破坏坏坏坏的的的的原原原原因因因因是是是是由由由由于于于于最最最最大大大大正正正正应力达到某个极限值。应力达到某个极限值。应力达到某个极限值。应力达到某个极限值。简单应力状态
50、下简单应力状态下简单应力状态下简单应力状态下断裂准则：断裂准则：断裂准则：断裂准则： 根据第一强度理论，无论应力状态，材料发生脆性根据第一强度理论，无论应力状态，材料发生脆性根据第一强度理论，无论应力状态，材料发生脆性根据第一强度理论，无论应力状态，材料发生脆性断裂的共同原因都是由于微元内的最大拉应力达到了断裂的共同原因都是由于微元内的最大拉应力达到了断裂的共同原因都是由于微元内的最大拉应力达到了断裂的共同原因都是由于微元内的最大拉应力达到了共同的极限值共同的极限值共同的极限值共同的极限值复杂应力状态下复杂应力状态下复杂应力状态下复杂应力状态下123断裂准则：断裂准则：断裂准则：断裂准则：失效
51、判据失效判据失效判据失效判据强度条件强度条件强度条件强度条件应用范围：应用范围：应用范围：应用范围： 没有考虑没有考虑没有考虑没有考虑 其他两个主应力的影响，其他两个主应力的影响，其他两个主应力的影响，其他两个主应力的影响，且对没有拉应力的状态（单向压、三向且对没有拉应力的状态（单向压、三向且对没有拉应力的状态（单向压、三向且对没有拉应力的状态（单向压、三向压）无法应用压）无法应用压）无法应用压）无法应用 铸铁等脆性材料在单向拉伸下，铸铁等脆性材料在单向拉伸下，铸铁等脆性材料在单向拉伸下，铸铁等脆性材料在单向拉伸下，断裂发生在拉应力最大的横截面。断裂发生在拉应力最大的横截面。断裂发生在拉应力最
52、大的横截面。断裂发生在拉应力最大的横截面。 脆性材料圆轴的扭转也沿最大脆性材料圆轴的扭转也沿最大脆性材料圆轴的扭转也沿最大脆性材料圆轴的扭转也沿最大拉应力的斜面断裂拉应力的斜面断裂拉应力的斜面断裂拉应力的斜面断裂 第二强度理论第二强度理论第二强度理论第二强度理论( ( ( (最大拉应变准则最大拉应变准则最大拉应变准则最大拉应变准则) ) ) ) 根据第根据第根据第根据第二强度理论，二强度理论，二强度理论，二强度理论，无论应力状无论应力状无论应力状无论应力状态，材料发态，材料发态，材料发态，材料发生脆性断裂生脆性断裂生脆性断裂生脆性断裂的共同原因的共同原因的共同原因的共同原因都是由于微都是由于微
53、都是由于微都是由于微元内的最大元内的最大元内的最大元内的最大拉应变达到拉应变达到拉应变达到拉应变达到了共同的极了共同的极了共同的极了共同的极限值限值限值限值 第二强度理论认为，导致材料发生脆性断裂的第二强度理论认为，导致材料发生脆性断裂的第二强度理论认为，导致材料发生脆性断裂的第二强度理论认为，导致材料发生脆性断裂的原因是最大拉应变达到了某个极限值。原因是最大拉应变达到了某个极限值。原因是最大拉应变达到了某个极限值。原因是最大拉应变达到了某个极限值。 = b简单应力状态下简单应力状态下简单应力状态下简单应力状态下复杂应力状态下复杂应力状态下复杂应力状态下复杂应力状态下123断裂准则：断裂准则：
54、断裂准则：断裂准则：断裂准则：断裂准则：断裂准则：断裂准则：失效判据失效判据失效判据失效判据强度条件强度条件强度条件强度条件123应用范围：应用范围：应用范围：应用范围：对没有拉应变的状态（两向压、三向压）对没有拉应变的状态（两向压、三向压）对没有拉应变的状态（两向压、三向压）对没有拉应变的状态（两向压、三向压）结果有一定差距结果有一定差距结果有一定差距结果有一定差距 石料、混凝土等脆性材料在单向石料、混凝土等脆性材料在单向石料、混凝土等脆性材料在单向石料、混凝土等脆性材料在单向压缩下，试块沿垂直于压力的方向压缩下，试块沿垂直于压力的方向压缩下，试块沿垂直于压力的方向压缩下，试块沿垂直于压力的
55、方向断裂。断裂。断裂。断裂。 铸铁在拉铸铁在拉铸铁在拉铸铁在拉- -压两向应力状态下，压两向应力状态下，压两向应力状态下，压两向应力状态下，当压应力较大时也与其相符当压应力较大时也与其相符当压应力较大时也与其相符当压应力较大时也与其相符 关于屈服的强度理论关于屈服的强度理论 关于塑性屈服的强度理论有第三强度理论与第关于塑性屈服的强度理论有第三强度理论与第关于塑性屈服的强度理论有第三强度理论与第关于塑性屈服的强度理论有第三强度理论与第四强度理论。两者在工程上得到了广泛的应用。四强度理论。两者在工程上得到了广泛的应用。四强度理论。两者在工程上得到了广泛的应用。四强度理论。两者在工程上得到了广泛的应
56、用。 第三强度理论第三强度理论第三强度理论第三强度理论( ( ( (最大剪应力最大剪应力最大剪应力最大剪应力准则准则准则准则) ) ) ) 第三强度理论认为，塑性材料的屈服是由于最大第三强度理论认为，塑性材料的屈服是由于最大第三强度理论认为，塑性材料的屈服是由于最大第三强度理论认为，塑性材料的屈服是由于最大剪应力达到了某一极限值导致的剪应力达到了某一极限值导致的剪应力达到了某一极限值导致的剪应力达到了某一极限值导致的简单应力状态下简单应力状态下简单应力状态下简单应力状态下 根据这一理论，由拉伸实验得到屈根据这一理论，由拉伸实验得到屈根据这一理论，由拉伸实验得到屈根据这一理论，由拉伸实验得到屈服
57、应力，即可确定各种应力状态下发生服应力，即可确定各种应力状态下发生服应力，即可确定各种应力状态下发生服应力，即可确定各种应力状态下发生屈服时最大剪应力的极限值屈服时最大剪应力的极限值屈服时最大剪应力的极限值屈服时最大剪应力的极限值 123复杂应力状态下复杂应力状态下复杂应力状态下复杂应力状态下断裂准则：断裂准则：断裂准则：断裂准则：失效判据失效判据失效判据失效判据强度条件强度条件强度条件强度条件应用范围：应用范围：应用范围：应用范围：与实际情况较为吻合，但偏于安全，特与实际情况较为吻合，但偏于安全，特与实际情况较为吻合，但偏于安全，特与实际情况较为吻合，但偏于安全，特别是对薄壁圆筒的扭转实验别
58、是对薄壁圆筒的扭转实验别是对薄壁圆筒的扭转实验别是对薄壁圆筒的扭转实验 对平面应力状态，对平面应力状态，对平面应力状态，对平面应力状态，无论无论无论无论 1 1和和和和 2 2的的的的大小，将第三强度理论的失效准则画大小，将第三强度理论的失效准则画大小，将第三强度理论的失效准则画大小，将第三强度理论的失效准则画在如图坐标系中在如图坐标系中在如图坐标系中在如图坐标系中 12120ssss 当当当当 1 1与与与与 2 2符号相同时，由于符号相同时，由于符号相同时，由于符号相同时，由于 3 3为为为为0 0，可知，可知，可知，可知失失失失效效效效准则为准则为准则为准则为或或或或 当当当当 1 1与
59、与与与 2 2符符符符号号号号相相相相反反反反时时时时，由由由由于于于于 3 3为为为为0 0，可可可可知知知知失失失失效效效效准准准准则则则则为为为为可知安全域为平内六边形内的部分可知安全域为平内六边形内的部分可知安全域为平内六边形内的部分可知安全域为平内六边形内的部分特雷斯特雷斯卡准则卡准则 第四强度理论第四强度理论第四强度理论第四强度理论( ( ( (形状改变比能准则形状改变比能准则形状改变比能准则形状改变比能准则) ) ) ) 第四强度理论认为，塑性材料的屈服是由于最大第四强度理论认为，塑性材料的屈服是由于最大第四强度理论认为，塑性材料的屈服是由于最大第四强度理论认为，塑性材料的屈服是
60、由于最大形状改变比能达到了某一极限值导致的形状改变比能达到了某一极限值导致的形状改变比能达到了某一极限值导致的形状改变比能达到了某一极限值导致的简单应力状态下简单应力状态下简单应力状态下简单应力状态下 根据这一理论，由轴向拉伸屈服试根据这一理论，由轴向拉伸屈服试根据这一理论，由轴向拉伸屈服试根据这一理论，由轴向拉伸屈服试验结果，即可确定各种应力状态下发生验结果，即可确定各种应力状态下发生验结果，即可确定各种应力状态下发生验结果，即可确定各种应力状态下发生屈服时形状改变比能的极限值。屈服时形状改变比能的极限值。屈服时形状改变比能的极限值。屈服时形状改变比能的极限值。 123复杂应力状态下复杂应力
61、状态下复杂应力状态下复杂应力状态下123复杂应力状态下复杂应力状态下复杂应力状态下复杂应力状态下断裂准则：断裂准则：断裂准则：断裂准则：失效判据失效判据失效判据失效判据强度条件强度条件强度条件强度条件 对于碳素钢和合金钢等韧性材料，这一理论与实对于碳素钢和合金钢等韧性材料，这一理论与实对于碳素钢和合金钢等韧性材料，这一理论与实对于碳素钢和合金钢等韧性材料，这一理论与实验结果吻合得相当好。其他大量的试验结果还表明，验结果吻合得相当好。其他大量的试验结果还表明，验结果吻合得相当好。其他大量的试验结果还表明，验结果吻合得相当好。其他大量的试验结果还表明，第四强度理论能够很好地描述铜、镍、铝等大量工程
62、第四强度理论能够很好地描述铜、镍、铝等大量工程第四强度理论能够很好地描述铜、镍、铝等大量工程第四强度理论能够很好地描述铜、镍、铝等大量工程韧性材料的屈服状态。韧性材料的屈服状态。韧性材料的屈服状态。韧性材料的屈服状态。 对平面应力状态，对平面应力状态，对平面应力状态，对平面应力状态，无论无论无论无论 1 1和和和和 2 2的大小，的大小，的大小，的大小，将第四强度理论的失将第四强度理论的失将第四强度理论的失将第四强度理论的失效准则画在如图坐标效准则画在如图坐标效准则画在如图坐标效准则画在如图坐标系中系中系中系中 120ssss米赛斯米赛斯准则准则 可见，米赛斯准则的可行域要可见，米赛斯准则的可
63、行域要可见，米赛斯准则的可行域要可见，米赛斯准则的可行域要略大于特雷斯卡准则，即采用米赛略大于特雷斯卡准则，即采用米赛略大于特雷斯卡准则，即采用米赛略大于特雷斯卡准则，即采用米赛斯准则的经济性更好一些斯准则的经济性更好一些斯准则的经济性更好一些斯准则的经济性更好一些 关于计算应力与应力强度关于计算应力与应力强度 设计准则中直接与许用应力设计准则中直接与许用应力设计准则中直接与许用应力设计准则中直接与许用应力 比较的量比较的量比较的量比较的量, , 称为称为称为称为计算应力计算应力计算应力计算应力或当量应力或当量应力或当量应力或当量应力 eqeq或应力强度或应力强度或应力强度或应力强度 S Si
64、 i( (第一强度理论第一强度理论第一强度理论第一强度理论) )( (第三强度理论第三强度理论第三强度理论第三强度理论) ) ( (第四强度理论第四强度理论第四强度理论第四强度理论) )( (第二强度理论第二强度理论第二强度理论第二强度理论) ) 例题：例题：试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，并寻求许用剪应力并寻求许用剪应力并寻求许用剪应力并寻求许用剪应力 与许用正应力与许用正应力与许用正应力与许用正应力 之间之间之间之间的关系的关系的关系的关系解：解： y x
65、 对脆性材料对脆性材料对脆性材料对脆性材料由第一强度理论由第一强度理论由第一强度理论由第一强度理论对照纯剪切的强度条件对照纯剪切的强度条件对照纯剪切的强度条件对照纯剪切的强度条件可知必须满足：可知必须满足：可知必须满足：可知必须满足：由第二强度理论由第二强度理论由第二强度理论由第二强度理论若如铸铁的若如铸铁的若如铸铁的若如铸铁的 =0.25=0.25可知必须满足：可知必须满足：可知必须满足：可知必须满足： y x 对塑性材料对塑性材料对塑性材料对塑性材料由第三强度理论由第三强度理论由第三强度理论由第三强度理论对照纯剪切的强度条件对照纯剪切的强度条件对照纯剪切的强度条件对照纯剪切的强度条件可知必
66、须满足：可知必须满足：可知必须满足：可知必须满足：由第四强度理论由第四强度理论由第四强度理论由第四强度理论对照纯剪切的强度条件，可知必须满足：对照纯剪切的强度条件，可知必须满足：对照纯剪切的强度条件，可知必须满足：对照纯剪切的强度条件，可知必须满足：已知：已知：已知：已知： 和和和和 ，试写出，试写出，试写出，试写出第三强度理论和第四第三强度理论和第四第三强度理论和第四第三强度理论和第四强度理论的表达式。强度理论的表达式。强度理论的表达式。强度理论的表达式。例例 题题解：解：确定主应力确定主应力确定主应力确定主应力根据第三强度理论得到根据第三强度理论得到根据第三强度理论得到根据第三强度理论得到根据第四强度理论得到根据第四强度理论得到根据第四强度理论得到根据第四强度理论得到
