《高考数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和课件 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和课件 理 苏教版（99页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.3等比数列及其前n项和第六章数列数学数学 苏苏（理）（理）基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.等比数列的定义如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示. 从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)公比 q 2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an .3.等比中项若 ，那么G叫做a与b的等比中项.a1qn1G2ab (ab0)4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam (n，mN*).(2)若an为等比数列，且k
2、lmn (k，l，m，nN*)，则 .qnmakalaman5.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；6.等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为. qn u思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列.()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.()(5)等比
3、数列an的首项为a，公比为1，前n项和为Sn，则S2n0，S2n1a.()题号答案解析1234 247422n12解析设等比数列的公比为q，由a2a420，a3a540.得20q40，且a1qa1q320，解得q2，且a12.例1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已 知 a2a4 1， S3 7， 则 S5 .题型一等比数列基本量的运算题型一等比数列基本量的运算解析答案思维升华解析答案思维升华显然公比q1，例1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已 知 a2a4 1， S3 7， 则 S5 .题型一等比数列基本量的运算题型一等比数列基本量的运算解析答案
4、思维升华例1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已 知 a2a4 1， S3 7， 则 S5 .题型一等比数列基本量的运算题型一等比数列基本量的运算解析答案思维升华例1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已 知 a2a4 1， S3 7， 则 S5 .题型一等比数列基本量的运算题型一等比数列基本量的运算等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.解析答案思维升华例1 (1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已 知 a2a4 1， S3 7， 则 S
5、5 .题型一等比数列基本量的运算题型一等比数列基本量的运算解析答案思维升华例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3 .解析答案思维升华设等比数列an的公比为q(q0)，即2q25q20，例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3 .解析答案思维升华故a34或a34.例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3 .解析答案思维升华例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3 .故a34或a34.4或4解析答案思维升华例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3 .4或4等比数列基本量的运算是等比数列中
6、的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.跟踪训练1(1)已知正项数列an为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a22，则该数列的前5项的和为 .解析设an的公比为q，q0.由已知得a43a325a2，即a2q23a2q10a2，q23q100，解得q2或q5(舍去)，又a22，则a11，31(2)(2014天津)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 .所以S1，S2，S4分别为a1,2a11,4a16.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a11)2a1
7、(4a16)，解方程得a1 .例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8 .题型二等比数列的性质及应用题型二等比数列的性质及应用解析答案思维升华解析答案思维升华例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8 .题型二等比数列的性质及应用题型二等比数列的性质及应用解析答案思维升华例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8 .题型二等比数列的性质及应用题型二等比数列的性质及应用解析答案思维升华(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别
8、是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8 .题型二等比数列的性质及应用题型二等比数列的性质及应用解析答案思维升华(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8 .题型二等比数列的性质及应用题型二等比数列的性质及应用解析答案思维升华解析答案思维升华由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为
9、q5，解析答案思维升华解析答案思维升华解析答案思维升华(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.解析答案思维升华(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.跟踪训练2 (1)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3 .解析 由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，34解析 方法一a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3a13a14a15a16a1q12a1q1
10、3a1q14a1q15(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44 .又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44 .(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44 .设T1a1a2a3a41，T4a13a14a15a168，T4T1p31p38p2.T11a41a42a43a44T1p102101 024.1 024(3)设数列an、bn都是正项等比数列，Sn、T
11、n分别为数列lg an与lg bn的前n项和，且 ，则logb5a5 .解析题型三等比数列的判定与证明题型三等比数列的判定与证明例3已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；思维升华解析思维升华证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，题型三等比数列的判定与证明题型三等比数列的判定与证明例3已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；解析思维升华题型三等比数列的判定与证明题型三等比数列的判定与证明例3已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cna
12、n1，求证：cn是等比数列；an1是等比数列.cnan1，首项c1a11，解析思维升华题型三等比数列的判定与证明题型三等比数列的判定与证明例3已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.解析思维升华题型三等比数列的判定与证明题型三等比数列的判定与证明例3已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；例3 (2)求数列a
13、n的通项公式.解析思维升华解析思维升华例3 (2)求数列an的通项公式.解析思维升华例3 (2)求数列an的通项公式.(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.跟踪训练3设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；证明由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.跟踪训练3设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12
14、an，证明：数列bn是等比数列；，得an14an4an1，an12an2(an2an1).跟踪训练3设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；bnan12an，bn2bn1，故bn是首项b13，公比为2的等比数列.(2)求数列an的通项公式解由(1)知bnan12an32n1，得an(3n1)2n2.思想与方法系列思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项
15、公式；思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；思想与方法系列思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，思想与方法系列思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2
16、013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒思想与方法系列思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；3分分 5分分 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况.等比数列中遇到求和问题要分公比
17、q1，q1讨论.思想与方法系列思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒项数的奇、偶数讨论.等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论.思想与方法系列思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公
18、式；思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.思想与方法系列思想与方法系列8分类讨论思想在等比数列中的应用分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒求出前n项和，根据函数的单调性
19、证明.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒8分分 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒10分分 12分分 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒14分分 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况.等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论.项数的奇、偶数讨论.等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项
20、，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.方 法 与 技 巧1.已知等比数列an(1)数列can(c0)，|an|，也是等比数列.(2)a1ana2an1amanm1.方 法 与 技 巧2.判断数列为等比数列的方法方 法 与 技 巧3.解题中要注意选用等比数列的性质，减少运算量.失 误 与 防 范1.注意等比数列中的分类讨论.2.由an1qan(q0)，并不能断言an是等比数列，还要验证a10.23456789101234567891011.(2014重庆改编)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是 (填序号).a1，a3，a9成等比数列 a2，a3，a6成
21、等比数列a2，a4，a8成等比数列 a3，a6，a9成等比数列所以a3，a6，a9成等比数列.2.(2014大纲全国改编)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和为 .解析数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.2345678910143.(2013课标全国改编)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1 .解析设等比数列an的公比为q，由S3a210a1得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1 .23456789101234
22、567891014.一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是 .解析设该等比数列为an，其前n项的积为Tn，则由已知得a1a2a33，an2an1an9，(a1an)33933，a1an3，又Tna1a2an1an，Tnanan1a2a1，T(a1an)n，即72923n，n12.125.设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40 .解析依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，23456789
23、101故S2020或S2030；又S200，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080.S40150.答案15023456789101345678910126.等比数列an中，Sn表示前n项和，a32S21，a42S31，则公比q为 .解析由a32S21，a42S31得a4a32(S3S2)2a3，37.等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，则对任意的nN*，都有an2an12an0，则S5 .解析利用“特殊值”法，确定公比.由题意知a3a22a10，设公比为q，则a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，3456789101211345
24、678910128.设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k .解析设等比数列an公比为q，由已知a11，a34，6又an的各项均为正数，q2.2k163，解得k6.9.已知等差数列an满足a22，a58.(1)求an的通项公式；解 设等差数列an的公差为d，34567891012ana1(n1)d2n2.(2)各项均为正数的等比数列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn.解 设等比数列bn的公比为q，则由已知得qq2a4，a46，q2或q3.等比数列bn的各项均为正数，q2.345678910122n1.10.已知数列an的前n项和为Sn，
25、且Sn4an3(nN*).(1)证明：数列an是等比数列；证明依题意Sn4an3(nN*)，n1时，a14a13，解得a11.因为Sn4an3，则Sn14an13(n2)，所以当n2时，anSnSn14an4an1，34567891012又a110，所以an是首项为1，3456789101234567891012(2)若数列bn满足bn1anbn(nN*)，且b12，求数列bn的通项公式.由bn1anbn(nN*)，可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)34567891012当n1时也满足，234511.等比数列an的前n项和为Sn，若a1a2a3a41，a5a6a7a82，Sn1
26、5，则项数n为 .由a1a2a3a41，23451qn16，又q42，n16.答案16234512.(2013福建改编)已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是 .数列bn为等差数列，公差为qm；数列bn为等比数列，公比为q2m；数列cn为等比数列，公比为；数列cn为等比数列，公比为.23451解析bnam(n1)(qq2qm)bn1bn不是常数.答案234513.已知数列an是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中
27、任何两个都不在同一列，则an (nN*).第一列第二列第三列第一行1102第二行6144第三行918823451解析观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即an是首项为2，公比为3的等比数列，an23n1.答案23n1234514.在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)证明数列ann是等比数列；证明由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列.23451(2)求数列an的前n项和Sn.解由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n，234515.已知首项为 的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；解设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，23451. .故等比数列an的通项公式为23451当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，23451当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，2345123451
