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1、一、张量和并矢的运算一、张量和并矢的运算1. 定义：定义：设矢量设矢量定义定义a,b的并矢为：的并矢为：2.6 电多极矩电多极矩2.单位张量：单位张量：3.张量的运算法则：张量的运算法则：加法：加法：则则a,b的并矢是一个张量：的并矢是一个张量：同样，定义叉乘同样，定义叉乘两并矢点乘：两并矢点乘：点乘：点乘：可见可见（左点乘）（左点乘）（右点乘）（右点乘）二、电势的多极展开二、电势的多极展开在区域在区域 V 内取一点内取一点 O 作为作为坐标原点，以坐标原点，以 R 表示由原点表示由原点到场点到场点 P 的距离，有：的距离，有：在在一元函数一元函数f (x)情况下，在情况下，在原点原点x=0邻
2、邻域的泰勒域的泰勒级数为：级数为：如果在如果在x=a邻域邻域展开，泰勒级数是：展开，泰勒级数是：对于对于三元函数三元函数f (x,y,z)，在，在原点原点 x =0, y =0, z=0邻域邻域的泰勒级数是：的泰勒级数是：如果在如果在x=a, y=b, z=c 点邻域点邻域展开，则展开式为展开，则展开式为有了以上泰勒级数展开式，用有了以上泰勒级数展开式，用1/r代替代替f (x)，因，因r是是 的函数，即的函数，即。把。把场点固定不变。场点固定不变。而让源点而让源点变化，并把变化，并把在原点在原点O附近展开，有附近展开，有因为因为所以所以又因为又因为所以所以从而得到从而得到令：令：则则电荷体系
3、激发的势在远处的多极展开式：电荷体系激发的势在远处的多极展开式：p称为体系的电偶极矩，称为体系的电偶极矩，张量张量Dij称为体系的电四极矩。称为体系的电四极矩。三、各项的物理意义三、各项的物理意义（1）展开式的第一项是在原点的点电荷）展开式的第一项是在原点的点电荷Q 激发的电激发的电势，势，可以把电荷体系看作集中于原点上。可以把电荷体系看作集中于原点上。（2）展开式的第二项是电偶极矩）展开式的第二项是电偶极矩p产生的电势。产生的电势。（1）（2）如果一个体系的电荷分布对原点对称，它的电偶如果一个体系的电荷分布对原点对称，它的电偶极矩为零。只有对原点不对称的电荷分布才有电极矩为零。只有对原点不对
4、称的电荷分布才有电偶极矩。偶极矩。（3）展开式的第三项是电四极矩）展开式的第三项是电四极矩Dij产生的电势。产生的电势。6 个分量：个分量：由上式，电四极矩张量由上式，电四极矩张量Dij是对称张量，它有是对称张量，它有 （3）D11， D22， D33，D12= D21， D13= D31， D23= D32电四极矩也可以用并矢形式写为：电四极矩也可以用并矢形式写为：展开式中的第三项用并矢形式写为：展开式中的第三项用并矢形式写为：可以证明：可以证明：电四极矩只有五个独立分量电四极矩只有五个独立分量证明证明 当当时有时有引入符号引入符号我们重新定义电四极矩张量：我们重新定义电四极矩张量：则满足关
5、系：则满足关系：因而因而只有只有 5 个独立分量个独立分量。 若电荷分布有球对称性，若电荷分布有球对称性，因而因而则则而且显然有而且显然有因此因此球对称性分布电荷没有电四极矩球对称性分布电荷没有电四极矩。若电荷分布偏离球对称性，一般会出现电四极若电荷分布偏离球对称性，一般会出现电四极矩。例如沿矩。例如沿 Z 轴方向拉长了的旋转椭球体，若轴方向拉长了的旋转椭球体，若其内电荷分布均匀，则：其内电荷分布均匀，则：因而出现电四极矩因而出现电四极矩电四极矩的出现标志着对球对称的偏移，它反映电四极矩的出现标志着对球对称的偏移，它反映电荷分布的形状。电荷分布的形状。n例例 均匀带电的长形旋转椭圆球体半均匀带
6、电的长形旋转椭圆球体半长轴为长轴为a，半短轴为，半短轴为b，带总电荷，带总电荷Q，求，求它的电四极矩和远处的电势。它的电四极矩和远处的电势。 取取z轴为旋轴为旋转轴，椭转轴，椭球方程为球方程为椭球所带电荷椭球所带电荷密度为密度为电四极矩为电四极矩为由对称性由对称性解解因此因此由对称由对称性得性得 因此因此电四极矩产生的势为电四极矩产生的势为椭球的电偶极矩为零，总电荷为椭球的电偶极矩为零，总电荷为Q。在远处。在远处的势准确至四极项为的势准确至四极项为 建立的电势为建立的电势为，另一个电荷系，另一个电荷系建立的电势为建立的电势为设电荷系设电荷系四、电荷体系在外电场中的能量四、电荷体系在外电场中的能
7、量，总电荷分布为：，总电荷分布为：总电场能量为：总电场能量为：在外场在外场该式即为电荷体系该式即为电荷体系和和 第一、二项分别是第一、二项分别是 单独存在时的自作用能；单独存在时的自作用能；第三项表示两电荷系间相互作用能，因此电荷体系第三项表示两电荷系间相互作用能，因此电荷体系在外电场中的能量为在外电场中的能量为：因为：因为：所以：所以：中的能量。中的能量。在原点附近作泰勒级数展开：在原点附近作泰勒级数展开：将将表示把体系电荷集中于原点时，一个点电荷在外表示把体系电荷集中于原点时，一个点电荷在外场中的能量，作为零级近似的结果。场中的能量，作为零级近似的结果。表示把体系的电偶极矩集中到原点时，一
8、个电矩表示把体系的电偶极矩集中到原点时，一个电矩在外场中的能量，作为一级近似的结果。在外场中的能量，作为一级近似的结果。表示把体系的电四极矩集中到原点时，一个电四表示把体系的电四极矩集中到原点时，一个电四极矩在外场中的能量，作为二级近似的结果。极矩在外场中的能量，作为二级近似的结果。综上所述，综上所述，一个小区域内连续分布的电荷在外场中一个小区域内连续分布的电荷在外场中的能量等于一系列多极子在外场中的能量之和的能量等于一系列多极子在外场中的能量之和。由由五、电偶极子在外场中所受到的力和力矩电偶极子在外场中所受到的力和力矩在外场中所受的力和力矩：在外场中所受的力和力矩：可推出电偶极子可推出电偶极子
