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1、 第一章 一、自变量趋于一、自变量趋于无穷大无穷大时函数的极限时函数的极限第四节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于二、自变量趋于有限值有限值时函数的极限时函数的极限本节内容本节内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 定义定义1 . 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限例例1. 证明注注:例例2 2定义定义2. 当时, 有或机动 目录 上页 下页 返回 结束 那么二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限定义定义3-4. 左（右）极限左（右）极限 ！左极限 :当时, 有右极限 :当时,
2、有结论：结论：( P38 题8 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明例例5. 证明例例6. 证明: 当二、函数收敛的性质二、函数收敛的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似数列极限的性质有：类似数列极限的性质有：性质性质1：极限惟一性。见定理：极限惟一性。见定理 1.12性质性质2：局部有界性。见定理：局部有界性。见定理 1.13性质性质3：局部保序性。见定理：局部保序性。见定理 1.14 推论推论1：逆否命题：逆否命题 推论推论2：g(x) 为常数函数。为常数函数。性质性质4：极限均存在，可四则运算。见定理：极限均存在，
3、可四则运算。见定理 1.15机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质 5：复合函数的极限。见定理：复合函数的极限。见定理 1.16 例如：例如：f(x) = sin sin sin x, 当当 x 趋于趋于0.性质性质 6：函数极限与数列极限的关系：函数极限与数列极限的关系.见定理见定理 1.17 例如：例如：f(n) = sin 1/n, 当当n 趋于无穷趋于无穷！Question：如何判断函数的极限不存在？：如何判断函数的极限不存在？方法：运用方法：运用2个推论（见书个推论（见书 p45）的不同数列法法1 找一个数列且使法法2 找两个趋于及使不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、 例题可见：书上例例题可见：书上例 13。1、函数极限与数列极限的关系、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则及夹逼准则三、极限存在准则及两个重要极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 2、二个重要极限、二个重要极限1. 函数极限存在的两边夹（夹逼）准则函数极限存在的两边夹（夹逼）准则（见定理（见定理 1.18与定理与定理 1.19）定理定理.且( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 圆扇形AOB的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 证证: 当即亦即时，显然有AOB 的面积AOD的面积故有注注注 目录 上页 下页 返回 结束 2.证证: 当时, 设则
5、机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 两个重要极限或注注: 代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解解: 例例3. 求解解: 令则因此原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求解解: 原式 =说明说明: 计算可利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求解解: 令则说明说明 ：若利用机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式例例6. 求解解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 判别法判别法 2： 柯西收敛准则！见柯西收敛准则！见 定理定理 1.20（自学）（自学）机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 )第七节 目录 上页 下页 返回 结束 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
