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1、2.3.2 方形共焦腔中自在方形共焦腔中自在现模式的近似解现模式的近似解由于大多数中、小功率的激光器都采用稳定球面腔，故它的模式理论具有更广泛和更重要的实践意义。首先介绍方形镜共焦腔共焦腔自再现模积分方程的解析解，讨论它们的自再现模以及自再现模而激发的行波场的特征。1.1 方形镜对称共焦腔方形镜对称共焦腔的两个凹面反射镜的孔径是方形的，故镜面坐标采用直角坐标。由图可见：由图可见：(2.3.11)(2.3.10)2.而P1P1与P2P2可近似认为等于图示中的1与2，利用球面镜的几何关系，可推出的计算公式为：近似条件为Rr，将表达式用于方形镜共焦腔，并注意到RlR2L有：(2.3.12)(2.3.
2、12)3.将将( (2.3.11)2.3.11)式和式和( (2.3.12)2.3.12)式代入式代入( (2.3.10)2.3.10)式中，可得式中，可得再将此式代入积分方程再将此式代入积分方程(2.3.5)中，便有线度中，便有线度为为2a2a的方形镜对称共焦腔的积分方程为：的方形镜对称共焦腔的积分方程为：(2.3.14)4.按博伊德和戈登的方法进行变数代换，取 并做如下变量分离：将积分方程积分方程变成两个一维的积分方程N5.由于两个方程的形式相同，故只需求解其中一个就可以。当c值为有限大小时，该方程本征函数的精确解析解为：角向长椭球函数；(2.3.20)ll6.本征值的精确解析解为这些椭球
3、函数都为实函数。当c1时上述本征函数与本征值的精确解都可用近似解析解表示，其中本征函数的解在用x、y代回X、Y后为： (2.3.22)径向长椭球函数7.式中Cm,l与模式有关的常数； Hm()第m阶厄米多项式。 下边写出几个低阶厄米多项式(2.3.23)本征值的近似解为H0()=1 H1()=2 H2()=42-2 H3()=83-12(2.3.27)8.一、自再现模的特征令(2.3.23)式中m=l=0，得到基模TEM00的振幅分布函数为：( (一一) )镜面光场分布镜面光场分布1振幅分布(2.3.24)振幅降至最大值的1/e所对应的半径r定义为基模光斑光斑半径9.共焦腔镜面镜面的基模光斑半
4、径0s:(2.3.25)此式说明，镜面光斑大小与镜面线度无关，利用(2.3.25)式可将(2.3.23)式重新改写如下：(2.3.26)10.TEM00TEM10TEM20TEM3011. 高阶模的光斑半径须分别沿不同坐标来计算，通常定义沿x、y方向的光斑半径分别为：可见，阶次越高，光斑半径越大，光强分布越偏离中心。2 2相位分布相位分布由于uml(x,y)为实函数，说明镜面各点的光场相位相同，共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。12.(二)单程衍射损耗讨论单程衍射损耗，ml必须用精确解(2.3.22)式。ml与N有关，说明ml也与N有关。ml与N关系的计算曲线如图所示。=013.方形镜
5、共焦腔ml与N关系曲线(1)对同一模式，ml随N的增大急剧减小。(2)N相同时，基模的最小，阶次越高越大。(3)与平行平面腔比较，共焦腔的单程衍射损耗要小好几个数量级。N14.(三) 单程相移与谐振腔可得方形镜共焦腔单程附加相移为(2.3.27)单程相移可见其附加相位超前，其超前量随横模阶数而变，但与N无关，这一点与平面腔有所不同。15.由式（2.3.27）可得：可得方形镜共焦腔的谐振频率：共焦腔对谐振频率出现了高度简并的现象。即所有2q+m+l相等的模式都将具有相同的谐振频率。16.(四)、方形镜共焦腔的行波场求出镜面上的光场以后，利用菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式可求出腔内任一点的光场。博伊
6、德和戈登证明，方形镜共焦腔的这个计算结果，也就是行波场可用以下解析式表示(坐标原点选在腔轴线的中点)腔内外任一点的光场均可以由以下解析式求解。17.式中Cml为与模式有关的常数，0/(z) 称为衰减因子，它反映出随着行波场的传播，场振幅的大小衰减的规律。(z)是z坐标处的基模光斑半径引入=2z/L=z/z0，计算公式为(2.3.29)18.0为z0处的基模光斑半径，可看出0为(z)的最小值，故又称腰斑半径。L为共焦腔腔长，z0为共焦腔凹面反射镜的焦距，大小恰好等于腔长L的一半， z0 又称共焦腔的焦参数。两个反射镜面处的z坐标为zL/2，由上式可算出镜面处基模光斑半径os与腰斑半径0的关系为：
7、19.称为横向振幅分布因子，它反映出各模式在不同z坐标处的横截面内的振幅分布。它是厄米高斯分布。第二部分(2.3.30)20.第三部分称为位相因子几何相移位相弯曲因子附加相移因子等相位面方程忽略因为z的微小变化引起的变化，有抛物面方程(2.3.34)21.在腔轴附近，可以证明上式所描述的共焦场的等相位面是个球面，在与腔轴z0坐标处的等相位面的曲率半径就是(z1)。它随z1坐标而变，计算公式为：（2.3.36）抛物面的顶点在z=z1处，焦距为（2.3.35）22.定义双曲线的两条渐近线之间的夹角为光束发射全角，则附加相移与横模模式有关。（2.3.32）由（2.3.30）得：（2.3.38）23.
8、 例如共焦腔氦氖激光器腔长L30cm，0.6328m，则2310-3rad。 高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。24.模体积模体积指的是该模式在腔内所能扩展的空间范围。模体积越大，说明对该模式的振荡有贡献的激活粒子就越多，因此可获得越大的输出功率。对称共焦腔的基模模体积通常可以用下式进行估算：高阶模模体积则为：25. 圆形镜对称共焦腔圆形镜对称共焦腔两反射镜孔径为圆形，设半径为a，镜面处坐标以极坐标为宜。它的积分方程可由方形镜积分方程(3-2-5)式出发，令 x=rcos , yrsin ，xrcos ，yrsin ，从而得到:分离变量可将
9、u(r， )写成如下形式26.可以证明，当腔菲涅耳数N时，圆形镜共焦腔积分方程的本征函数的近似解析解可表示为拉盖尔一高斯函数其中Rml所满足的积分方程可证明为：27.Llm()称为缔合拉盖尔多项式，现写出几个多项式如下：28.本征值的近似解为29.行波场的特征圆形镜共焦腔的行波场为横向振幅分布因子位相因子位相因子30.2.4.1 谐振腔往返一周变换矩阵的本征态谐振腔往返一周变换矩阵的本征态2.4 本征模式的几何光学理论、稳定球面腔稳定腔（|A+D|2本征光束是：球面波（点光束）优点：1、有很大的模体积；2、直接利用腔的衍射损耗耦合输出；3、可输出准直性很好的光束；4、横模损耗间隔比稳定腔大，易
10、进行横模选择。44.本征值稳定腔：非稳定腔解为实数，所以对应的本征态是实曲率半径R的球面波：（2.5.2）（2.5.5）（2.5.4）45.将非稳腔往返一周变换矩阵代入(2.5.4),可以得到M1处的几何自再现波型的曲率半径（2.5.9）当g1g21或者(A+D)2， 取“+”号当g1g20或者(A+D)0是正的；反之l0（2.5.10）（2.5.8）47.可解得:（2.5.11）48.2.5.2 非稳腔的几何损耗设m1是镜M1的单程放大率， m2是镜M2的单程放大率往返一周的放大率M为（2.5.15）（2.5.17）49.考虑宽度分别为2a1和2a2的两个互相平行的无限长窄条形镜的情况。从初等几何光学可知，所反射的能量比例是往返一周能量损耗是（2.5.19）（2.5.22）（2.5.23）50.如果镜面积与其线度2a1、2a2平方成正比，这时相应的公式为往返一周能量损耗是（2.5.24）51.
