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1、MATLAB及其应用第三讲 数据处理授课人：鲍文退出退出在此幻灯片插入公司的徽标在此幻灯片插入公司的徽标从从“插入插入”菜单菜单选择图片选择图片找到徽标文件找到徽标文件单击单击“确定确定”重新设置徽标大小重新设置徽标大小单击徽标内任意位置。徽标外部单击徽标内任意位置。徽标外部出现的方框是出现的方框是“调整控点调整控点”使用这些重新设置对象大小使用这些重新设置对象大小如果在使用尺寸调整控点前按下如果在使用尺寸调整控点前按下 shift 键，则对象改变大小但维键，则对象改变大小但维持原比例。持原比例。2024/9/4哈尔滨工业大学动力工程控制与仿真研究所目录1 矩阵分析2 数据分析函数3 多项式处
2、理4 曲线拟和与插值5 数据分析6 微分方程数值解退出退出主菜单主菜单2024/9/4哈尔滨工业大学动力工程控制与仿真研究所1 矩阵分析一、特征值分解对于方阵a特征值问题：ax=rx，求取a阵的特征值和特征向量使用下面的方法：v,d=eig(a)使用 v,d=eig(a,nobalance)“平衡” 的作用减少计算误差，不平衡用于A阵大小悬殊的时候。广义特征值问题：ax=rbx，求解的方式为：v,d=eig(a,b)2024/9/二、三角分解二、三角分解三角分解把矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵，又称为LU分解或者。计算中使用高斯变量消去法。这一分解使用l,u=lu(a)实现。2024/9/三
3、、奇异值分解u,s,v=svd(a)实现奇异值分解。分解得到的三个因数有如下关系a=u*s*v其中u矩阵和v矩阵是正交矩阵，s矩阵是对角矩阵，它的对角元素是a矩阵的奇异值。奇异值分解的稳定性很好。2024/9/2 数据分析函数函数名 含义max最大值min最小值mean均值std标准方差median 中值2024/9/分析函数函数名 含义sum元素的总和prod元素的乘积cumrod 元素的累积cumsum元素的累加和diff 差分函数:少了一个元素2024/9/例题求出y=x*sin(x) 在0x100的每个峰值思路： 1、数学上峰值就是导数为零的点 2、导数在matlab中可以使用差分代替
4、 3、差分后怎么求过零点呢？2024/9/3 多项式处理一、多项式表示多项式在MATLAB中使用降幂系数的行向量表示。表示中需要包含零系数的项。poly2str：control toolbox中的函数使用函数roots可找出多项式等于零的根。规定：多项式用行向量，根用列向量。给出多项式的根，使用poly函数也可以构造出相应的多项式。2024/9/二、多项式运算函数conv进行乘法运算，deconv进行除法运算。MATLAB没有提供特别的多项式加减法运算。多项式除法并不一定能够除尽，很多时候需要有余数多项式。多项式微分使用polyder(p)函数，估计值使用polyval(p,at)函数。202
5、4/9/4 曲线拟和与插值在分析试验数据中，常常要面临将试验数据作解析描述的任务，这个问题有曲线拟合和插值两种方法。在曲线拟合中，假定已知曲线的规律，作曲线的最佳逼近，但不需要经过所有的数据点；在插值中，认为数据是准确的，求取其中描述点之间的数据。2024/9/一、曲线拟合1、多项式的最小二乘曲线拟合使用polyfit，它需要曲线的x、y值，以及曲线的阶数。曲线的阶数：如果曲线的阶数选择的过小，拟合效果不好；如果曲线的阶数过高，虽然数据点上看到效果好，数据点之间会出现有数据振荡的问题，阶数不宜过高，小于5阶。灵活使用拟合2024/9/2、直接最小二乘数据规律并不是多项式形式，直接最小二乘来拟合
6、。最小二乘函数为k=nnls(fx,y)计算结果将使得|fx*k-y|2范数下最小在计算中，fx可以为x的函数。例子：拟合matlab2024/9/二、插值函数1、曲线插值函数interp1方法 t=interp1(x,y,x0,method)x、y：原始数据点，x0为进行插值的数组，method为插值算法:线性插值(linear)，三次样 条 插 值 (spline),三 次 多 项 式 插 值(cubic).如果x0出界，则对应值为NaN 例程：ex42.mmatlab2024/9/2、曲面插值插值函数： interp2，基本形式：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method
7、)method包括 linear:线性 cubic:三次多项式 nearest：粗略估计数据例程：ex432024/9/三、三次样条1、使用的原因 高阶多项式插值出现病态问题，三次样条使用分段多项式，各点上的三次导数相等。它光滑、导数连续。2、插值 yi=spline(x,y,xi); pp=spline(x,y); 分段多项式形式例程：ex442024/9/三次样条pp形式可以和三次多项式形式转化：break,coef,np,nc=unmkpp(pp)断点、三次多项式、多项式数量、系数数量 pp=mkpp(break,coef);由于转化为了多项式形式，可以方便的进行积分和微分运算。2024
8、/9/四、滤波和平滑1、插值和拟合的问题：噪声2、滤波: 滞后,filter y=filter(b,a,x)a,b:滤波器的分子分母,x输入 a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + . + b(nb+1)*x(n-nb) - a(2)*y(n-1) - . - a(na+1)*y(n-na)例程:ex462024/9/3、平滑 yi=csaps(x,y,P,xi) yi=csaps(x,y,P)其中P为平滑因子010: 最小二乘 1:平滑近似ex46ex452024/9/5 数据分析1、极小化极小化MATLAB提供了fmin和fmins两个函数来求极值，它们
9、分别寻找一维和n维函数的极值。它使用的单纯性法搜索。函数计算量大，或搜索区内有多极值，搜索的过程较长，也可能找不到极值。如找不到极值，将停止运行并提供解释。寻找极大值点，重定义函数为-f(x)即可。2024/9/2、求零点函数fzero可以寻找一维函数的过零点。应用：使用bode图判断控制系统稳定性，要看幅频特性过零点和相频特性过1800点。fzero函数也可以寻找函数值等于常值点，只要重新定于函数为f(x)-c即可2024/9/3、积分有限区域内积分函数：trapz、quad和quad8。函数trapz通过计算梯形面积的和近似函数的积分，函数的分割是人为地。quad使 用 Simpson递
10、归 方 法 ， quad8使 用Newton-costes递归方法进行数值积分。为了获得更精确的结果，它们在所需的区间都计算被积函数。quad8比quad更精确。2024/9/4、微分微分描述了函数在一点处的斜率，是函数的微观性质，它对函数的微小变化十分敏感，函数的很小的变化，容易产生相邻点斜率的巨大变化。尽量避免使用数值微分，尤其是试验数据的微分。如果迫切需要，最好先将试验数据进行最小二乘拟合伙这三次样条拟合，然后对拟合函数进行微分。2024/9/5、FFT变换FFT即快速傅立叶变换，是数据分析的基本方法，是x由基2的快速变换算法来计算。如x长度不是精确的2次幂则后面使用0填充，ifft(x
11、)是向量x的离散傅立叶变换的逆变换。在频率轴上绘制FFT曲线，要明确FFT结果与实际频率点的关系。设n个数据点，采样频率为fs，则Nyquist频率或n=N/2+1点与实际频率的关系：f=(num-1)*fs/n2024/9/FFT需要注意的是fft结果为复数矩阵，为了得到幅频特性，可使用abs函数，使用atan2得到相角，由于有的系统的相角可能大于1800，而相角函数值域在-18001800之间，需要使用unwrap函数展开折叠的相角，从而得到相频特性。2024/9/6 微分方程数值解常微分方程数值解用逐步积分方法实现，Runge-Kutta法是应用最多的微分方程数值解的方法。两种Runge
12、-Kutta法函数：t,x=ode23(xfun,t0,tf,x0,tol,trace)t,x=ode45(xfun, ,t0,tf,x0,tol,trace)这两种方法格式相同。其中xfun为定义的常微分方程函数名，该函数必须以为输出，以t、x为输入。2024/9/微分方程输入变量t0、tf为积分的启始和中止时间，单位是秒。x0为初始的状态向量。tol控制结果的精度，可以缺省。一般来说，ode45比ode23运算速度快一些。Var der Pol微分方程重新定义变量，令 x1=x x2=dx/dt则 dx1/dt=x2 dx2/dt=u(1-x12)x2-x12024/9/ 应用举例一、特性拟合 title(string) 上标 _下标二、模型辨识的阶数确定三、数值积分：已知加速度求速度，2024/9/4
