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1、第二十章 曲线积分 1 第一型曲线积分 2 第二型曲线积分 第二十章第二十章 曲线积分曲线积分1 第一型曲线积分一、问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量匀质之质量匀质之质量分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.定义定义被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量2.存在条件：存在条件：3.推广推广注意：注意：4.性质性质 (4)（5）三、对弧长曲线积分的计算定理定理证略。证略。这里这里，曲线积分定积分(1) L：y=y(x), axb假设 y(x)C1(a, b). 有
2、( a b ) 计算：计算：(2) L：x=x(y), cyd假设 x(y)C1(c, d). 有( c d )例例1.1. 计算其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)的一段弧.解解1 1：0x2y2=2x022yx(3) L：x=(t), y=(t), t( )注意注意: :特殊情形特殊情形1. 曲线曲线对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的计算公式则则2. 曲线曲线3. 曲线曲线则则则则推广推广: :例例1.1. 计算其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)的一段弧.解解1 1：0x2y2=2x022yx解解2 2：0y2022yx例例2.2. 计算L: 连
3、接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的闭折线OABO.解解：L分段光滑 ds=dxOA: y=0, 0x1O2AByx1AB: y=22x, 0x1BO: x=0, 0y2 ds=dy=2O2AByx1例例3.3. 计算其中L: x2+y2=a2.L: x=acos t, y=asin t, 0t2(4) 空间R3中的曲线：x=(t), y=(t), z=(t), txyzO( )例例4.4. 计算其中：从点A(3, 2, 1)到点O(0, 0, 0)的直线段.解解：直线段 AO 方程：化成参数方程：x=3t, y=2t, z=t, 0t1.例例5解解例例6解解例例7解解 由对
4、称性由对称性, 知知例例8解解例例9解解(1) L：(2) L：例例10解解例例11解解于是，于是，四、几何与物理意义 对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用 例例9 解解: 如图设置坐标系如图设置坐标系xy1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用作业 : P201:1,(1)(7),2,3.五五 小结与思考判断题小结与思考判断题思考判断题思考判断题（1） 对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？的符号可能为负吗？（2） 对弧长的曲线积分是否与曲线方对弧长的曲线积分是否与曲线方向有关？向有关？思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？思考题解答思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.
