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1、1.一般地一般地,函数函数y=xa叫做叫做 ，其中，其中x是自变量是自变量,a是常数是常数.2.幂函数幂函数y=xa具有下面性质：具有下面性质：（1）所有的幂函数在区间）所有的幂函数在区间 上都有定义，并且上都有定义，并且函数图象都通过函数图象都通过 点点.（2）如果）如果a0，则幂函数的图象都通过点，则幂函数的图象都通过点 ，并且，并且在区间在区间 上是增函数上是增函数.（3）如果）如果a0,即即k2-2k-30,-1k3,又又kZ,k=0,1,2.当当k=0时时,f(x)= 不是偶函不是偶函数；当数；当k=1时，时，f(x)=x2是偶函数；当是偶函数；当k=2时，时，f(x)= 不是偶函数
2、不是偶函数,f(x)=x2.学点二学点二 比较大小比较大小比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：（1） 和和 ;（2） 和和 ;（3） 和和 .【分析分析】依据幂函数的图象和性质比较大小依据幂函数的图象和性质比较大小.【解析解析】（1）函数）函数y= 3 在在(0,+)上为减函数，上为减函数，又又 3b0）; (4)（1） , 且且 1,6.36.2, 与与 实际上是幂函数实际上是幂函数y=x 在在x=6.3与与x=6.2的函的函数值，根据幂函数的性质知函数数值，根据幂函数的性质知函数y=x (x0)是增函数，即是增函数，即(6.3) (6.2), (-6.3) (-6.2) .（2）
3、，而，而 ，则则 ,（3）0,而而(a-1)=a-,(b)-1=b-,a-b-,即即(a-1)0,定义域定义域(0,+)不关于原点对称，为非奇非偶函数不关于原点对称，为非奇非偶函数.（3）y= ,xR,满足满足f(-x)=f(x),f(x)为为R上的偶函数上的偶函数.学点四学点四 幂函数的单调性幂函数的单调性证明：幂函数证明：幂函数f(x)= 在在0,+)上是增函数上是增函数.【分析分析】由函数单调性定义作出证明由函数单调性定义作出证明.【证明证明】任取任取x1,x20,+)，且，且x1x2,则则f(x1)-f(x2)=因为因为x1-x20,所以所以f(x1)f(x2)，即幂函数，即幂函数f(
4、x)=x在在0,+)上是增函数上是增函数.【评析评析】在证明函数的单调性时，既可以用作差的方法，在证明函数的单调性时，既可以用作差的方法，也可以用作商的方法，都可以证明函数也可以用作商的方法，都可以证明函数f(x)=x在在0,+)上上是增函数是增函数.已知函数已知函数f(x)= - xm,且且f(4)=- .（1）求）求m的值；的值； （2）判断）判断f(x)在在(0,+)上的单调性上的单调性.(1)f(4)= -4m=-72,即即4m=4,m=1.f(x)= -x.(2)任取任取x1,x2(0,+),且且x10,x1x20,f(x1)-f(x2)0,即函数即函数f(x)在在(0,+)上单调递
5、减上单调递减.学点五学点五 幂函数的简单应用幂函数的简单应用（1）已知）已知(0.71.3)mx ，求，求x的取值范围的取值范围.【分析分析】根据幂函数图象、单调性比较大小根据幂函数图象、单调性比较大小.【解析解析】（1）根据幂函数根据幂函数y=x1.3的图象知当的图象知当0x1时，时，0y1,00.71.31时时,y1，1.30.71,于是有于是有0.71.31.30.7,考查幂函数考查幂函数y=xm，由，由(0.71.3)m0时，随时，随着着x增大，函数值也增大，增大，函数值也增大，m0.（2）函数函数y=x 与与y=x 的定义域都是的定义域都是R，y=x 的图的图象分布在第一、二象限；象
6、分布在第一、二象限；y=x 的图象分布在第一、三的图象分布在第一、三象限象限.当当x(-,0)时，时，x x ;当当x=0时，显然不合题意；时，显然不合题意；当当x(0,+)时，时，x 0,x 0, =x 1, x1.即即x1时，时，x x .综上所述，满足条件的综上所述，满足条件的x的取值范围为的取值范围为x|x1.【评析评析】由幂函数不等式求变量范围，实质上仍是对图象由幂函数不等式求变量范围，实质上仍是对图象与单调性的考查与单调性的考查.已知幂函数已知幂函数y= (mN*)的图象关于的图象关于y轴对称，轴对称，且在且在(0,+)上上,函数值随函数值随x的增大而减小，求满足的增大而减小，求满
7、足 的的a的取值范围的取值范围.根据条件确定根据条件确定m的值，再利用幂函数的增减性求的值，再利用幂函数的增减性求a的取值的取值范围范围.函数在函数在(0,+)上递减，上递减，m2-2m-30,解得解得-1m3.又又mN*,m=1,2.又又函数图象关于函数图象关于y轴对称，轴对称，m2-2m-3为偶数，故为偶数，故m=1,有有(a+1) 3-2a0或或0a+13-2a或或3-2a0a+1,解解得得 a 或或a11时，在第一象限为下凹的；时，在第一象限为下凹的；（2 2）当）当0101时，在第一象限为上凸的；时，在第一象限为上凸的；（3 3）当）当00时，在第一象限为下凹的时，在第一象限为下凹的. .4.4.幂函数的单调性与奇偶性幂函数的单调性与奇偶性（1 1）单调性要由）单调性要由的取值范围确定；的取值范围确定；（2 2）奇偶性讨论：由于我们主要研究指数为分）奇偶性讨论：由于我们主要研究指数为分数的幂函数，因而先将其化为根式，再由奇偶性数的幂函数，因而先将其化为根式，再由奇偶性定义判断定义判断. .
