《高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（1）2 新人教A版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（1）2 新人教A版必修4（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数(一)【知识提炼知识提炼】1.1.任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义前前提提如如图图，设设是一个任是一个任意角，它的意角，它的终边终边与与单单位位圆圆交于点交于点P(xP(x，y)y)定定义义正弦正弦_叫做叫做的正弦，的正弦，记记作作sinsin，即，即sinsin=_=_；余弦余弦_叫做叫做的余弦，的余弦，记记作作coscos，即，即coscos=_=_；正切正切_叫做叫做的正切，的正切，记记作作tantan，即，即tantan=_(x0).=_(x0).三角三角函数函数正弦、余弦、正切都是以角正弦、余弦、正切都是以角为为自自变变量，
2、以量，以单单位位圆圆上的点上的点的坐的坐标标或坐或坐标标的比的比值为值为函数函数值值的函数，将它的函数，将它们统们统称称为为三三角函数角函数. .yyxx2.2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数三角函数定定义义域域sinsin_coscos_tantan_RR3.3.三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号4.4.诱导公式一诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数的值即终边相同的角的同一三角函数的值_._.sincostan相等【即时小测即时小测】1.1.判断判断. .(1)(1)相等的角正弦值相等，反之正弦值相等的两个角也相等相等的角
3、正弦值相等，反之正弦值相等的两个角也相等.(.() )(2)(2)已知已知是三角形的内角，则必有是三角形的内角，则必有sinsin00，cos0.(cos0.() )(3)(3)对于任意角对于任意角，sinsin，coscos，tantan都有意义都有意义.(.() )【解析解析】(1)错误.相等的角正弦相等的角正弦值相等，但是正弦相等，但是正弦值相等的两个角未相等的两个角未必相等必相等.(2)错误.因因为是三角形的内角，所以是三角形的内角，所以 (0，)，所以，所以sin0，cos大于零、小于零或等于零都有可能大于零、小于零或等于零都有可能.(3)错误.对于任意角于任意角，sin，cos都有
4、意都有意义，但是，但是终边落在落在y轴上的上的角角tan无意无意义.答案：答案：(1)(2)(3)2.2.若若sinsin00，且，且tantan00，则角，则角是是( () )A.A.第一象限角第一象限角 B.B.第二象限角第二象限角C.C.第三象限角第三象限角 D.D.第四象限角第四象限角【解析解析】选D.D.由由sinsin00知角知角的的终边落在第三、四象限或落在第三、四象限或y y轴的非正的非正半半轴上，由上，由tantan00)0)，如图所示，如图所示则则知识点知识点2 2 三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问
5、题：问题问题1 1：判断三角函数值在各象限的符号的依据和关键分别是什么？：判断三角函数值在各象限的符号的依据和关键分别是什么？问题问题2 2：三角函数值在各象限的符号有什么规律吗？：三角函数值在各象限的符号有什么规律吗？【总结提升总结提升】对正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号的两点说明对正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号的两点说明(1)(1)由三角函数的定义知由三角函数的定义知 (r0) (r0)，可知角的，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点三角函数值的符号是由角终边上任一点P(xP(x，y)y)的坐标确定的，则准确的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关
6、键确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键. .(2)(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律，三角函数值在各象限的符要熟记三角函数值在各象限的符号规律，三角函数值在各象限的符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦. .知识点知识点3 3 诱导公式一诱导公式一观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：诱导公式一的作用是什么？：诱导公式一的作用是什么？问题问题2 2：诱导公式一的结构特征是什么？：诱导公式一的结构特征是什么？【总结提升总结提升】对诱导公式一的三点说明对诱导公式一的三点说明(1)(1
7、)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等. .(2)(2)公式一的结构特征：公式一的结构特征：左、右为同一三角函数；左、右为同一三角函数；公式左边的角为公式左边的角为+k+k22，右边的角为，右边的角为.注意公式一中的条件注意公式一中的条件kZkZ不可遗漏不可遗漏. .(3)(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0 02(2(或或0 0360360) )角的三角函数值角的三角函数值. .【题型探究题型探究】类型一类型一 任意角三角函数的定义及应用任意角三角函数的定义及应用【典例典例】已知角已知
8、角终边经过点终边经过点P(xP(x， )(x0) )(x0)，且，且coscos= x.= x.求求sinsin+ + 的值的值. .【解题探究解题探究】本例中计算本例中计算sinsin、coscos、tantan的依据是什么？的依据是什么？提示：提示：依据任意角三角函数的定依据任意角三角函数的定义，即，即若角若角的的终边上任一点上任一点P(x，y)，OP=r(r0)，则【解析解析】因因为P(x，) (x0)，所以点所以点P到原点的距离到原点的距离又又cos = ，所以，所以cos =因因为x0，所以，所以x= ，所以，所以当当x= 时，P点坐点坐标为( )，由三角函数的定由三角函数的定义，有
9、，有sin =- ，所以所以当当x=- 时，同同样可求得可求得【延伸探究延伸探究】1.1.（变换条件）本题中点（变换条件）本题中点P P的坐标改为的坐标改为(- (- ，x)x)，x0x0，且，且sin sin = x= x，结果又是什么？，结果又是什么？【解析解析】因因为P(- ，x) (x0)，所以点所以点P到原点的距离到原点的距离又又sin = x，所以，所以因因为x0，所以，所以x= ，所以，所以当当x= 时，P点坐点坐标为( ），），由三角函数的定由三角函数的定义，有，有所以所以当当x=- 时，同同样可求得可求得2.2.（变换条件、改变问法）若角（变换条件、改变问法）若角 的终边经过
10、点的终边经过点P P1 1，且点，且点P P1 1到原点的到原点的距离与本题中距离与本题中P P到原点的距离相等，试求点到原点的距离相等，试求点P P1 1的坐标的坐标. .【解析解析】角角的的终边与与单位位圆的交点坐的交点坐标为( )，所以，所以由已知得由已知得|OP1|=由三角函数的定由三角函数的定义，知点，知点P1的坐的坐标为( )，即，即(-3，）.【方法技巧方法技巧】由角由角终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤(1)(1)已知角已知角的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相
11、交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值数的定义求出相应三角函数值在在的终边上任选一点的终边上任选一点P(xP(x，y)y)，P P到原点的距离为到原点的距离为r(rr(r0)0)则则sin = sin = ，coscos = . = .已知已知的终边求的终边求的三角函数值时，用这几的三角函数值时，用这几个公式更方便个公式更方便(2)(2)当角当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论情况对参数进行分类讨论【补偿训练补偿训练】(2
12、015(2015临沂高一检测临沂高一检测) )已知角已知角的终边过点的终边过点P(-3aP(-3a，4a)(a0)4a)(a0)，求，求2sin 2sin +cos+cos 的值的值【解析解析】（1）若）若a0，则r=5a，角，角在第二象限在第二象限所以所以2 sin +cos =（2）若）若a0，则r=-5a，角，角在第四象限，在第四象限，所以所以2 sin +cos =【延伸探究延伸探究】1.1.（变换条件）将本题中点（变换条件）将本题中点P P的坐标改为的坐标改为(12a(12a，5a)(a0)5a)(a0)，其他条件，其他条件不变，结果又如何？不变，结果又如何？【解析解析】（1）若）若
13、a0，则r=13a，角，角是第一象限角，是第一象限角，所以所以所以所以（2）若）若a0，则r=-13a，角，角是第三象限角，是第三象限角，所以所以所以所以2.2.（改变条件和问法）点（改变条件和问法）点P P的坐标改为的坐标改为(-8m(-8m，-6 sin 30-6 sin 30) )，且，且coscos = = ，求，求m m的值的值. .【解析解析】因因为点点P的坐的坐标为(-8m，-3)，所以所以所以所以cos = ，所以，所以m0，所以所以，解得，解得m= ，又，又m0.所以所以m= .类型二类型二 三角函数在各象限的符号问题三角函数在各象限的符号问题【典例典例】1.1.已知角已知角
14、=2k- (=2k- (kZkZ) )，若角，若角与角与角的终边相同，则的终边相同，则y= y= 的值为（的值为（ ）A A1 B1 B-1 -1 C C3 3 D D-3-32.2.（20152015南通高一检测）已知南通高一检测）已知sin sin tantan 0 0，那么，那么是第是第_象限角象限角. .3.3.如果如果|sin x|=sin x|sin x|=sin x，那么角，那么角x x的取值集合是的取值集合是_【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，角中，角的终边在第几象限？该象限内正弦、余的终边在第几象限？该象限内正弦、余弦、正切函数值的符号分别是什么？弦、正切函数值的
15、符号分别是什么？提示：提示：角角的的终边与与的的终边相同，是第四象限角相同，是第四象限角.第四象限内正弦、第四象限内正弦、正切函数正切函数值为负，余弦函数，余弦函数值为正正.2.2.典例典例2 2中，中，sin sin tantan 0 0包括哪些情况？正弦、正切函数值在各包括哪些情况？正弦、正切函数值在各象限的符号有什么规律？象限的符号有什么规律？提示：提示：sin tan 0包括包括sin 0，tan 0和和sin 0，tan 0两两种情况种情况.正弦函数正弦函数值在第一、二象限在第一、二象限为正，在第三、四象限正，在第三、四象限为负；正切函；正切函数数值在第一、三象限在第一、三象限为正，
16、在第二、四象限正，在第二、四象限为负.3.3.典例典例3 3中，中，sin xsin x的符号是什么？角的符号是什么？角x x的终边所在区域是什么？的终边所在区域是什么？提示：提示：sin x0sin x0，角，角x x的的终边在第一、二象限或在第一、二象限或x x轴上或上或y y轴的非的非负半半轴上上. .【解析解析】1.选B.由由=2k- (k Z)知，角知，角的的终边在第四象限，又角在第四象限，又角与角与角的的终边相同，所以角相同，所以角的的终边在第四象限，所以在第四象限，所以sin 0，cos 0，tan 00，则实数，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解解题指南指南】先确
17、定角先确定角的的终边的位置，然后列出不等式的位置，然后列出不等式组求求a a的取的取值范范围. .【解析解析】因因为cos0，sin0，所以角所以角的的终边在第二象限或在第二象限或y轴非非负半半轴上，上，因因为终边过(3a-9，a+2)，所以所以所以所以-2a3.答案：答案：-2a3【补偿训练补偿训练】确定下列各式的符号确定下列各式的符号. .(1)sin2014(1)sin2014. .(2)cos .(2)cos .(3)sin4(3)sin4cos4.cos4.【解解题指南指南】先确定各角所在的象限，然后判断符号先确定各角所在的象限，然后判断符号. .【解析解析】(1)2014=3605
18、+214，所以所以2014为第三象限的角，第三象限的角，所以所以sin20140.(2)(2)为第四象限的角，第四象限的角，所以所以(3)4 所以所以4 rad为第三象限的角第三象限的角.所以所以cos 40，sin40.类型三类型三 诱导公式一的应用诱导公式一的应用【典例典例】1.(20151.(2015武汉高一检测武汉高一检测)sin(-660)sin(-660)=()=() )2.2.已知已知P(2P(2，-3)-3)是角是角终边上一点，则终边上一点，则tan(2+)tan(2+)等于等于( () )【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，在中，在0 0360360内与内与-660
19、-660终边相同的角是终边相同的角是什么？什么？提示：提示：因因为-660-660=-720=-720+60+60，所以，所以6060与与-660-660终边相同相同. .2.2.典例典例2 2中，如何计算中，如何计算tantan？tan(2+)tan(2+)与与tantan有什么关系？有什么关系？提示：提示：依据任意角的正切函数的定依据任意角的正切函数的定义计算算tantan. .tan(2+)=tan(2+)=tantan. .【解析解析】1.选B.sin（-660）=sin（-720+60）=sin 60=2.选C.因因为P(2，-3)是角是角终边上一点，上一点，所以所以tan = 所以
20、所以tan(2+)=tan =【方法技巧方法技巧】应用诱导公式一化简求值的步骤应用诱导公式一化简求值的步骤（1 1）将已知角化为）将已知角化为 k k360360+（k k为整数，为整数，0 0360360）或）或2k+2k+（k k为整数，为整数，0022）的形式）的形式. .（2 2）将原三角函数值化为角）将原三角函数值化为角的同名三角函数值的同名三角函数值. .（3 3）借助特殊角的三角函数值或任意角三角函数的定义达到化简求）借助特殊角的三角函数值或任意角三角函数的定义达到化简求值的目的值的目的. .【拓展延伸拓展延伸】公式一的意义公式一的意义诱导公式一体现了三角函数值诱导公式一体现了三
21、角函数值“周而复始周而复始”的变化规律，即角的变化规律，即角的终的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. .【变式训练变式训练】sin 585sin 585的值为的值为( )( )【解析解析】选A.sin 585=sin(360+225)=sin 225.由于由于225是第三象限角，且是第三象限角，且终边与与单位位圆的交点的交点为所以所以sin 225=【补偿训练补偿训练】点点A(xA(x，y)y)是是-300-300角终边与单位圆的交点，则角终边与单位圆的交点，则 的值的值为（为（ ）【解析解析】选A.x=cos(-300)=cos(-360+60)=c
22、os 60=y=sin(-300)=sin(-360+60)=sin 60= 所以所以易错案例易错案例 任意角三角函数定义的应用任意角三角函数定义的应用 【典例典例】（20152015孝感高一检测）角孝感高一检测）角的终边经过点的终边经过点P(xP(x，4)4)，且，且coscos = = ，则，则sin =_.sin =_.【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？提提示示：错误的的根根本本原原因因是是忽忽视对点点的的坐坐标中中的的参参数数进行行分分类讨论. .实际上本上本题中要分中要分x=0x=0和和x x0 0两种情况两种情况
23、讨论. .【自我自我矫正正】点点P(x，4)到原点的距离到原点的距离(1)当当x=0时，r=4.由三角函数的定由三角函数的定义，有，有(2)当当x0时，由，由cos = ，得，得所以所以=5，即，即r=5.由三角函数的定由三角函数的定义，有，有答案：答案：或或1【防范措施防范措施】1.1.理解定义明确关键量理解定义明确关键量在利用定义求三角函数值时，要用到角的终边上异于原点的任意一点在利用定义求三角函数值时，要用到角的终边上异于原点的任意一点的坐标和它到原点的距离的坐标和它到原点的距离. .解题时要首先明确有关关键量解题时要首先明确有关关键量. .2.2.注意分类讨论注意分类讨论已知终边上一点的坐标，求三角函数值已知终边上一点的坐标，求三角函数值. .若终边上的已知点的坐标确定，则三角函数值唯一若终边上的已知点的坐标确定，则三角函数值唯一. .若终边上的已知若终边上的已知点的坐标以参数形式给出，需判断角终边所在的位置，若不能确定，点的坐标以参数形式给出，需判断角终边所在的位置，若不能确定，需对参数分类讨论需对参数分类讨论. .
