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1、3.2 3.2 立体几何中的向量方法（立体几何中的向量方法（3 3）第三章第三章 空间向量与空间向量与立体几何立体几何距离距离1立体几何中的向量方法距离问题距离问题：距离问题：若若 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则则两点间距离两点间距离2立体几何中的向量方法距离问题距离问题：距离问题：点点P与直线与直线l的距离为的距离为d , 则则点到直线的距离点到直线的距离3立体几何中的向量方法距离问题例例1 1、 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱长为中，棱长为1 1，E E为为D D1 1C C1 1的中点，求点的中
2、点，求点E E到直线到直线A A1 1B B的距离的距离. .点点E E到直线到直线A A1 1B B的距离为的距离为4立体几何中的向量方法距离问题距离问题：距离问题：点点P与平面与平面的距离为的距离为d , 则则d点到平面的距离点到平面的距离)5立体几何中的向量方法距离问题例例2 2、如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱长为中，棱长为1 1，E E为为D D1 1C C1 1的中点，求的中点，求B B1 1到面到面A A1 1BEBE的距离的距离. .6立体几何中的向量方法距离问题 例例2 2、如图，在正方体如图，在正方体ABC
3、D-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱长为中，棱长为1 1，E E为为D D1 1C C1 1的中点，求的中点，求B B1 1到面到面A A1 1BEBE的距离的距离. .等体积法等体积法解解2 27立体几何中的向量方法距离问题例例3 3、如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱长为中，棱长为1 1，E E为为D D1 1C C1 1的中点，求的中点，求D D1 1C C到面到面A A1 1BEBE的距离的距离. .DD1 1CC面面A A1 1BEBEDD1 1到面到面A A1 1BEBE的距离即为的距离
4、即为D D1 1C C到面到面A A1 1BEBE的距离的距离. . 仿上例求得仿上例求得D D1 1C C到到 面面A A1 1BEBE的距离为的距离为转换成点到转换成点到平面距离！平面距离！解解1 1：建立如图空间坐标建立如图空间坐标8立体几何中的向量方法距离问题例例3 3、如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱长为中，棱长为1 1，E E为为D D1 1C C1 1的中点，求的中点，求D D1 1C C到面到面A A1 1BEBE的距离的距离. .等体积法等体积法解解2 29立体几何中的向量方法距离问题例例4 4、如图，在正方
5、体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱长为中，棱长为1 1，求面，求面A A1 1DBDB与面与面D D1 1CBCB1 1的距离的距离. .面面D D1 1CBCB1 1面面A A1 1BDBDDD1 1到面到面A A1 1BDBD的距离即的距离即 为面为面D D1 1CBCB1 1到面到面A A1 1BDBD的距离的距离转换成点到转换成点到平面距离！平面距离！解解1 1：建立如图所示空间坐标：建立如图所示空间坐标10立体几何中的向量方法距离问题例例4 4、如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D
6、D1 1中，棱长为中，棱长为1 1，求面，求面A A1 1DBDB与面与面D D1 1CBCB1 1的距离的距离. .等体积法等体积法解解2 211立体几何中的向量方法距离问题a ab bC CD DA AB BCDCD为为a,ba,b的公垂线段的公垂线段则则d=d=B B，A A分别在直线分别在直线a,ba,b上上已知已知a,ba,b是异面直线，是异面直线，n n为为a a的的法向量法向量, ,也叫也叫两异面直线两异面直线a a与与b b的公垂向量。的公垂向量。异面直线间的距离异面直线间的距离 距离问题：距离问题：d d转换成转换成点到平面点到平面的距离的距离12立体几何中的向量方法距离问题
7、例例5 5、如图，在正方体、如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，棱长为中，棱长为1 1，E E为为D D1 1C C1 1的中点，求异面直线的中点，求异面直线D D1 1B B与与A A1 1E E的距离的距离. .13立体几何中的向量方法距离问题 例例1 1、 如图如图1 1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A A为为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是6060，那么以这，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？个顶点为端点的晶体的对角
8、线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD 图图1解：解：如图如图1 1，所以所以答答: :这个晶体的对角线这个晶体的对角线 ACAC1 1的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。巩固练习巩固练习14立体几何中的向量方法距离问题 例2、如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a 和b ,CD的长为, AB的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. ABCD图3解：如图，15立体几何中的向量方法距离问题F1 1F3 3F2 2F1 1F2 2F3 3ACBO509.8NF1 1F3 3F2 2例例3 3、如如图图,
9、 ,一一块块均均匀匀的的正正三三角角形形面面的的钢钢板板的的质质量量为为 ，在在它它的的顶顶点点处处分分别别受受力力 、 、 ，每每个个力力与与同同它它相相邻邻的的三三角角形形的的两两边边之之间间的的夹夹角角都都是是 ，且且 . .这这块块钢钢板板在在这这些些力力的的作作用用下下将将会会怎怎样样运运动动？这这三三个个力力最最小小为为多大时，才能提起这块钢板？多大时，才能提起这块钢板？ 50kg16立体几何中的向量方法距离问题zxyF1 1F2 2F3 3ACBO509.8N17立体几何中的向量方法距离问题zxyF1 1F2 2F3 3ACBO509.8N同理可得同理可得因此，要提起这块钢板，因此，要提起这块钢板，18立体几何中的向量方法距离问题19立体几何中的向量方法距离问题
