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1、2.3.1直线与平面垂直的判定 生活中有很多生活中有很多直线与平面垂直的直线与平面垂直的实例，你能举出实例，你能举出几个吗？几个吗？实例引入实例引入旗杆与底面垂直旗杆与底面垂直思考思考. .阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系有何位置关系. .AB1.1.旗杆所在的直线始终与旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直影子所在的直线垂直.C1B1C 2. 2. 直线直线ABAB垂直于平面垂直于平面内的任意一条直线内的任意一条直线 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的内的任意一条直线任意一条直线都垂直，都垂直，我们说我们说直线直线 l 与平面与平
2、面 互相垂直互相垂直，记作记作 平面平面 的垂线的垂线直线直线 l 的垂面的垂面垂足垂足直线与平面垂直直线与平面垂直线面垂直线面垂直的定义常这样使用的定义常这样使用简记：线面垂直，则简记：线面垂直，则线线垂直线线垂直l a 如果一条直线垂直于一个如果一条直线垂直于一个平面内的平面内的一条一条直线，那么直线，那么这条这条直线是否与这个平面垂直？直线是否与这个平面垂直？不一定不一定两条呢？两条呢？ 无数条呢？直线与平面垂直直线与平面垂直 除定义外，如何除定义外，如何判断判断一条直线与平面垂直一条直线与平面垂直呢？呢？准备一块三角形纸片准备一块三角形纸片, ,过过ABCABC的顶点的顶点A A翻折纸
3、片，翻折纸片，得到得到折痕折痕ADAD，将翻折后的纸片，将翻折后的纸片竖起竖起放置在桌上放置在桌上（BDBD、DCDC与桌面接触与桌面接触）. .A ABCD思考思考 (1)(1)折痕折痕ADAD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？(2)(2)如何翻折才能保证折痕如何翻折才能保证折痕ADAD与桌面所在平面垂直？与桌面所在平面垂直？BDCABD,CDBD,CD都在桌面内，都在桌面内，ADCD,ADBDADCD,ADBD, , BDCD=D，直线直线ADAD所在的直线与桌面垂直所在的直线与桌面垂直mnP判定定理判定定理判定定理判定定理: :一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，一条直线与一个平面内的两
4、条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直则该直线与此平面垂直作用：作用：判定直线与平面垂直判定直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直判定定理判定定理判定定理判定定理简记为：简记为：线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直例例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 已知：已知：a/b，a 求证求证: b a ab b证明：证明：设设m m是是 内的任意一条内的任意一条直线直线m m可作定理使用可作定理使用 如图，如图，直四棱柱直四棱柱 （侧棱与底面垂（侧棱与底面
5、垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足什满足什么条件时，么条件时， ？ 底面四边形底面四边形 对对角线相互垂直角线相互垂直随堂练习随堂练习线面垂直判定定理的应用例 1：已知：如图 1，空间四边形 ABCD 中，ABAC，DBDC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，求证：BC平面 AED.图 1证明：ABAC，DBDC，E 为BC 中点，AEBC，DEBC.又AE DE =E，BC平面AED.PABCO2.如图，圆如图，圆O所在一平面为所在一平面为 ，AB是圆是圆O 的直径，的直径，C 在圆周上在圆周上, 且且PA AC, PA AB,求证：（求证：（1
6、）PA BC （2）BC 平面平面PAC证明：PA O 所在平面，BCO 所在平面，PA BC，AB 为O 直径， ACBC，又 PA ACA， BC平面 PAC，又 AE平面 PAC，BCAE，AEPC, PCBCC，AE平面 PBC.例 3：如图 6，已知 PA O 所在平面，AB 为O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AEPC 于 E，求证：AE平面 PBC. 图 6VABC.DVA= VC，AB=BC,ABCV-求证求证: : VB AC. .中，中，在三棱锥在三棱锥1. 1. 如图，如图，提示：提示：找找ACAC中点中点D,D,连接连接VD,BDVD,BD 2. 2. 已知：
7、正方体中，已知：正方体中，ACAC是面对角线，是面对角线，BDBD是与是与AC AC 异面的体对角线异面的体对角线. .求证：求证：ACBDACBDABDCA B CD正方体正方体ABCD-ABCD ABCD-ABCD DDDD正方形正方形ABCD ABCD DD AC证明：连接证明：连接BDBDABDCABCDACAC、BD BD 为对角线为对角线ACBDACBDDDDDBD=DBD=D ACAC平面平面DDBDDB 且且BDBD 面面DDBDDB ACBDACBD OPA斜线斜线斜足斜足线面所成角线面所成角（锐角（锐角PAOPAO）射影射影关键：关键：过斜线上一点作平面的过斜线上一点作平面
8、的垂线垂线线面所成的角线面所成的角斜线和平面所成的角斜线和平面所成的角1 1、直线和平面垂直直线和平面垂直 直线和平面所成的角是直线和平面所成的角是直角直角 直线和平面平行或在平面内直线和平面平行或在平面内 直线和平面所直线和平面所成的角是成的角是0 02 2、直线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围是：的取值范围是：_ _ 1.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角。A1D1C1B1ADCB45o2、在正方体、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线中，求直线A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角O求直
9、线和平面所成的角，求直线和平面所成的角，当直线和平面斜交时，当直线和平面斜交时，常有以下步骤：常有以下步骤：作作作出或找到斜线与射影所成的角；作出或找到斜线与射影所成的角；证证论证所作或找到的角为所求的角；论证所作或找到的角为所求的角；算算常用解三角常用解三角形的方法求角；形的方法求角；结论结论说明斜线和平面所成的角值说明斜线和平面所成的角值图图 51.如图如图 5，在长方体，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，中， ABBC2，AA11，则，则 AC1 与平面与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为所成角的正弦值为( )A2.若斜线段若斜线段 AB 是它在平面是它在平面内的射影长的内的
10、射影长的 2 倍，则倍，则 AB与与所成的角为所成的角为()A60B45C30D120答案：答案：D解析：解析：如图如图22 ，连接，连接 A1C1 ，则，则AC1A1 为为 AC1 与平面与平面A1B1C1D1 所成角所成角图图 22 (1) (1)若两直线若两直线a a与与b b异面，则过异面，则过a a且与且与b b垂直的平垂直的平面（面（ ）A A有且只有一个有且只有一个 B B可能存在也可能不存在可能存在也可能不存在 C C有无数多个有无数多个 D D定不存在定不存在 (2)(2)正方形正方形ABCDABCD，P P是正方形平面外的一点，且是正方形平面外的一点，且PAPA平面平面AB
11、CDABCD，则在，则在PABPAB、 PBCPBC、PCDPCD、PADPAD、 PACPAC及及PBDPBD中，中， 为直角三角形有为直角三角形有_个个B 课堂练习课堂练习5 1 1直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念（1 1）利用定义；）利用定义；（2 2）利用判定定理）利用判定定理3 3数学思想方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想空间问题空间问题平面问题平面问题知识小结知识小结2 2直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直垂直与平面内任意一条直线垂直与平面内任意一条直线（3 3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同如果两条
12、平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面一个平面4 4直线与平面所成的角直线与平面所成的角. .P 为ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的射影(2)若 PA PBPC，则 O 是ABC 的_；(3)若 PA BC，PBAC，则 O 是ABC 的_；(4)若 P 到ABC 三边的距离相等，且 O 在ABC 内部，则O 是ABC 的_；(5)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是ABC 的_外心垂心内心垂心中中解析：(2)如图 23，PO平面 ABC，PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC.又PA PBPC，OAOBO
13、C. O 是 ABC 的外心图 23图 24(3)如图 24，PO平面 ABC，PA 在平面 ABC 上的射影是 OA.BCPA ，BCOA. 同理可证 ACOB，O是 ABC 的垂心(4)如图 25，图 25P到 ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF，则 PDPEPF.PO平面 ABC，PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影分别是 OD、OE、OF.ODOEOF，且 ODAB，OEBC，OFAC.O是 ABC 的内心PO平面 ABC，OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影又PA PB，PA PC，PA 平面 PBC.又BC平面 PBC，PA BC.OABC.同理可证 OBAC.O是 ABC 的垂心(5)如图 26，图 26例 1：如图 ，在四面体 PABC 中，若 PA BC，PBAC， 求证：PCAB.PABC思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义得出线线垂直证明：过 P 作 PH平面 ABC，垂足为 H，连接 AH、BH和 CH.PA BC, PHBC，PA PHP，BC平面 PAH.又 AH平面 PAH ，BCAH.同理 ACBH，即 H 为ABC 的垂心，ABCH.PHAB，CHPHH，AB平面 PCH.PC平面 PCH，PCAB.点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用
