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1、九年级数学(下)第二章 二次函数2.2 .结识抛物线 www.1230.org 初中数学资源网数形结合,直观感受w观察观察y=y=x x2 2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x x值值, ,并计算相应的并计算相应的y y值值, ,完成下表完成下表: :w画二次函数画二次函数y=y=x x2 2的图象的图象xy=x x2 2x-3-2-10123y=x x2 2xy=x x2 29 9 9 94 4 4 41 1 1 10 0 0 01 1 1 14 4 4 49 9 9 9有的放矢 www.1230.org 初中数学资源网做一做xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点,
2、 ,连线连线y y= =x x2 2?www.1230.org 初中数学资源网y y= =x x2 2xy0 0-4-3-2-11234108642-21观察图象,回答问题串w w(1)(1)你能描述图象的形状吗你能描述图象的形状吗? ?与同伴进行交流与同伴进行交流. . 议一议w w(2)(2)图象是轴对称图形吗？如果是图象是轴对称图形吗？如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?请你找出请你找出几对对称点几对对称点, ,并与同伴交流并与同伴交流. .w w(3)(3)图象图象 与与x x轴有交点吗？如果有轴有交点吗？如果有, ,交点坐标是什么交点坐标是什么? ?w w(4)(4)当
3、当x0x0x0呢？呢？w w(5)(5)当当x x取什么值时取什么值时,y,y的值最小的值最小? ?最小值是什么？你是如何知道的？最小值是什么？你是如何知道的？www.1230.org 初中数学资源网这条抛物线关于y轴对称,y轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.www.1230.org 初中数学资源网当x0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大. 当当x=-2x=-2时，时，y=4y=4当当x=-1x=-1时，时，y=1y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶
4、点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.www.1230.org 初中数学资源网在学中做在做中学w(1)(1)二次函数二次函数y=-y=-x x2 2的图象是什么形状？的图象是什么形状？ 做一做你能根据表格中的数据作出猜想吗？w(2)(2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象w(3)(3)它与二次函数它与二次函数y=y=x x2 2的图象有什么关系？的图象有什么关系？xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x -9-9-9-9-4-4-4-4-1-1-1-10 0 0 0-1-1-1-1-4-4-4-4-
5、9-9-9-9www.1230.org 初中数学资源网做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y y=-=-x x2 2?www.1230.org 初中数学资源网做一做做一做P406 6xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1观察图象,回答问题串（1)1)你能描述图象的形状吗你能描述图象的形状吗? ?与同伴进行交流与同伴进行交流. .（3 3) )图象图象 与与x x轴有交点吗？如果有轴有交点吗？如果有, ,交点坐标是什么交点坐标是什么? ?（4 4) )当当x0x0x0呢？呢？（5 5) )当当x x取什么值时取什么值时,y,y的值
6、最大的值最大? ?最大值是什么？你是如何知道的？最大值是什么？你是如何知道的？（2 2) )图象是轴对称图形吗？如果是图象是轴对称图形吗？如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?请你找出几请你找出几对对称点对对称点, ,并与同伴交流并与同伴交流. .y y=-=-x x2 2www.1230.org 初中数学资源网这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.二次函数二次函数y= -x2的的图象形如物体抛射图象形如物体抛射时所经过的路线时所经过的路线,我我们把它叫做们把它叫
7、做抛物线抛物线.ywww.1230.org 初中数学资源网当x0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而减小. y当当x= -2时时,y= -4当当x= -1时时,y= -1当x=1时,y= -1 当x=2时,y= -4 抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.www.1230.org 初中数学资源网函数y=ax2(a0)的图象和性质 做一做y=x2y=-x2xy0yx0?它们之间有何关系？www.1230.org 初中数学资源网二次函数y=ax2的性质.顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减性与最值抛
8、物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=xy=x2 2y= -xy= -x2 2（0 0，0 0）（0 0，0 0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小. . 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y, y随着随着x x的增大而增大的增大而增大. . 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而增大的增大而增大. . 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y, y随着随着x x的增大而减小的增大而减小. . 根据图形填表：www.1230
9、.org 初中数学资源网 做一做y=x2和y=-x2是y=ax2当a=1时的特殊例子.a的符号确定着抛物线的函数y=ax2(a0)的图象和性质: 在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象x0yy= =x2 2y=-=-x2 2www.1230.org 初中数学资源网我思，我进步1 1. .抛物线抛物线y= -x2 不具有的性质是（）不具有的性质是（） A 开口向下开口向下 B对称轴是对称轴是Y轴轴 C 与与Y轴不相交轴不相交 D最高点是原点最高点是原点2在二次函数在二次函数y=x2的图象上，与点的图象上，与点A(-5，25)对称的点的坐标对称的点的坐标是是 3点点(x1，y1)、 (x
10、2，y2)在抛物线在抛物线y=-x2上，且上，且x1 x20，则则y1_y2 .4若若a1,点（点（-a-1，y1），），(a，y2)，(a+1，y3)都在函数都在函数y=x2 的图象上，则的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系是的大小关系是_ 例题欣赏?www.1230.org 初中数学资源网知道就做别客气例题欣赏5.5.设正方形的面积为设正方形的面积为s s，边长为，边长为a a，作出，作出s随随a的变化而变化的图象的变化而变化的图象. .6.6.点点A A（2 2，4 4）在二次函数）在二次函数y=xy=x2 2的图象上吗？的图象上吗？ 分别写出点分别写出点A A关于关于x x轴的对称
11、点轴的对称点B B的坐标，的坐标，点点A关于关于y轴的对称点轴的对称点C的坐标，点的坐标，点A关于原点关于原点O对称点对称点D的坐标。的坐标。 点点B、C、D在二次函数在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数的图象上吗？在二次函数y=-x2的的图象上吗图象上吗?www.1230.org 初中数学资源网回味无穷w3.当a=+1时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；当a=-1时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展；w4.当a=+1时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数
12、y的值最小等于0； 当a=-1时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大等于0。小结 拓展w1. y=y=x x2 2 、y=-y=-x x2 2 是二次函数是二次函数y=axy=ax2 2 的特殊形式，它们的图象都是抛物线；w2.这两条抛物线的顶点是原点,对称轴是y轴；n n由二次函数y=x2和y=-x2知：www.1230.org 初中数学资源网练习n1函数y= x2 的顶点坐标为 若点（a，4）在其图象上，则a的值是 n2若点A（3，m）是抛物线y=x2上一点，则m= n3函数y=x2与y=x2的图象关于 对称，也可以认为y=
13、x2是函数y=x2的图象绕 旋转得到独立独立作业作业www.1230.org 初中数学资源网练习独立独立作业作业4. 已知a1，点（a1，y1）、（a，y2）、（a1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy2y1y35. 试作出函数y=3x2 与y=-3x2 的图像，你能根据图象说出开口方向、对称轴、顶点坐标吗？ www.1230.org 初中数学资源网知识的升华独立作业1若二次函数y=ax2（a0），图象过点P（2，8），则函数表达式为 2函数y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点3点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上4求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标5若a1，点（a1，y1）、（a，y2）、（a1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？6如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段ABy轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）Ay=3 By=6 Cy=9 Dy=36www.1230.org 初中数学资源网图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）图（6）www.1230.org 初中数学资源网
