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1、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版知识点回顾知识点回顾 刚体上各点都绕同一转轴作半径不同的圆周运动， 在相同时间内转过相同的角度。刚体的定轴转动特点： 刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动；(2) 刚体上各点的 均相同。q、二二、定轴转动的描述定轴转动的描述 参考平面参考平面 与转轴相垂直的平面。与转轴相垂直的平面。 2. 2. 运动方程运动方程 位矢与位矢与 Ox 轴夹角。轴夹角。 规定：规定： 定轴转动只有定轴转动只有定轴转动只有定轴转动只有两个转动方向两个转动方向两个转动方向两个转动方向 位矢沿位矢沿Ox 轴轴 逆时逆时针针方向转动时角位置方向转动时角位置 为正
2、，为正， 反之为负。反之为负。1. 1. 角坐标角坐标参考参考 方向方向参考平面参考平面5. 5. 角加速度角加速度6. 6. 角量与线量的关系角量与线量的关系4. 4. 角速度角速度 3. 3. 角位移角位移 xO xO由由有：有：两边积分两边积分2.匀变速转动公式匀变速转动公式（1）由由有：有：两边积分两边积分1.特点：特点：1.角加速度为一常量角加速度为一常量2.定轴转动。定轴转动。3.初始条件：初始条件：（2）三三. .匀变速转动的计算公式匀变速转动的计算公式第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版5与匀变速直线运动计算公式有对应关系：与匀变速直线运动计算公式有对应关
3、系：（2）由（由（1）、（）、（2）式消）式消 t得：得：（3）（1）4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版7 对参考点对参考点O的力矩的力矩 一力矩一力矩 用来描述力对刚体的转动作用用来描述力对刚体的转动作用力的三要素：力的三要素：大小，方向，大小，方向，作用点作用点r 作用点作用点与参考点的相对位矢与参考点的相对位矢！4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版8其中，其中，d为为力臂力臂：物体：物体绕定轴或定点转动时，绕定轴或定点转动时，由力的作用线至
4、由力的作用线至转轴或转轴或定点间定点间的垂直距离。的垂直距离。力矩的大小力矩的大小P*O为矢径和力的夹角。为矢径和力的夹角。4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版9力矩方向力矩方向：垂直垂直于于r和和F决定的平面决定的平面右手螺旋法则右手螺旋法则：伸出手掌，四指先指向矢径：伸出手掌，四指先指向矢径r方向，方向，沿小于沿小于180度度转向作用力转向作用力F的方向，的方向，则拇指所指方向就是力矩则拇指所指方向就是力矩M的方向的方向4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学
5、第五版第五版10注意注意：r不是作用点的位置矢量，而是作用点不是作用点的位置矢量，而是作用点与参考点与参考点的相对位矢的相对位矢！只有当参考系原点与参考点只有当参考系原点与参考点O重合时，重合时，r与作用与作用点的位置矢量相等。点的位置矢量相等。r 由参考点由参考点O指向力的作用点。指向力的作用点。4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版16O讨论讨论 （1）若力若力 不在转动平面内，把力分不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 其中其中 对转轴的对转轴的力矩为零，故力矩为
6、零，故 对转对转轴的力矩轴的力矩4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版17对对Z轴上各轴上各点点的力矩相同的力矩相同对对Z轴轴的力矩为零的力矩为零4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版18对对Z轴上各点的力矩不同轴上各点的力矩不同但其在但其在Z轴上的投影相同，轴上的投影相同，为力对为力对Z轴的力矩轴的力矩4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版19O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合
7、力矩等于各分力矩的矢量和 （3）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版20 （4）合力为零，力矩不一定为零合力为零，力矩不一定为零 （5）力与转轴平行时，力矩为零力与转轴平行时，力矩为零 （6）力的作用线或作用线延长线与支点力的作用线或作用线延长线与支点或转轴相交时，力臂为零，力矩也为零或转轴相交时，力臂为零，力矩也为零4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版21POFFxFyO当力
8、的作用线与当力的作用线与转轴相交，则转轴相交，则4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版22 例例1 一质量为一质量为m、长为、长为L的均匀细棒，的均匀细棒，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的摩擦因素为轴转动，已知细棒与桌面的摩擦因素为,求棒转动时受到的摩擦力矩的大小求棒转动时受到的摩擦力矩的大小xodxx第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版23如图，距如图，距O点为点为x，长为，长为dx的质元的质元dm的质量的质
9、量解解其所受阻力矩其所受阻力矩xodxx4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版24O二二 转动定律转动定律 （1）单个质点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版25（2）刚体刚体 质量元受质量元受外外力力 ，内内力力外外力矩力矩内内力矩力矩O 刚体内力矩互相抵消刚体内力矩互相抵消4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版26 刚体定轴转动的角加速度
10、与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合合外力矩外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.转动定律转动定律定义转动惯量定义转动惯量O4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版27三转动惯量三转动惯量 J 的的意义：意义：转动惯性的量度转动惯性的量度 . 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm24-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版28v 质量离散分布质量离散分布 J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布 ：质量元
11、：质量元 ：体积元：体积元4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版29 如何选择微元，写出积分式子？如何选择微元，写出积分式子？一维：一维：二维：二维：三维：三维：1. 所选取的微元必须具有所选取的微元必须具有相同的相同的r；2. 选取微元时考虑对称性可简化问题。选取微元时考虑对称性可简化问题。4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版30OO 例例2 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心
12、并与棒垂直的轴的转动惯量 .如果转轴过如果转轴过端点垂直于棒呢？端点垂直于棒呢？OO4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版31ORO 例例3 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 .4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版32刚体的转动惯量与以下三个因素有关：刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置与转轴的位置有关有关（1）与刚体的体密度
13、与刚体的体密度 有关有关（2）与刚体的几何形状与刚体的几何形状( (及体密度及体密度 的分的分布布) )有关有关说说 明明第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版33 3 一转动惯量为一转动惯量为 J 的圆盘绕一固定轴的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为转动，起初角速度为0 ，设它所受阻力矩，设它所受阻力矩为为M=-k ( (k为常数为常数) )，求圆盘的角速度从，求圆盘的角速度从0变为变为0/2 所需的时间所需的时间解解 由由有有解得：解得：即即第四章补充例题第四章补充例题第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版34 4 电风扇在
14、开启电源后，经t1时间达到了额定转速，此时相应的角速度为0 ，当关闭电源后，经过t2时间风扇停转已知风扇转子的转动惯量为J，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，求电机的电磁力矩解解得：4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版36四四 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动惯量为惯量为 ，则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的转轴的转动惯量转轴的转动惯量CO4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理
15、学第五版第五版37刚体的一般运动可看作：刚体的一般运动可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成质心绕轴转动质心绕轴转动转转动动惯惯量量4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版38质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的JP圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量OO1d=L/2O1O2O24-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版39( (2) ) 为瞬时关系为瞬时关系 ( (3) ) 转动中转动中 与平动中
16、与平动中 地位相同地位相同( (1) ) , 与与 方方向相同向相同 说明说明 转动定律应用转动定律应用4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版40质点平动质点平动刚体转动刚体转动运动状态运动状态改变原因改变原因力力F力矩力矩M惯性惯性质量质量m转动惯量转动惯量J改变快慢改变快慢加速度加速度a角加速度角加速度公式公式F = maM = J4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版41 例例4 如如图图：一一定定滑滑轮轮两两端端分分别别悬悬挂挂质质量量都都是是
17、m的的物物块块A和和B，图图中中R和和r，已已知知滑滑轮轮的的转转动动惯惯量量为为J，求求A、B两两物物体体的的加加速速度度及滑轮的角加速度及滑轮的角加速度解解 rRFT1FT2mgmgAB由由a1a24-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版42解得解得4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版43 例例5 质量为质量为 m 长为长为 l 的均质杆，其的均质杆，其B端放在桌上，端放在桌上，A端用手支住，使杆成水平。端用手支住，使杆成水平。突然释放突然释放A端，在此瞬时，求：端，在此瞬时，求：（1） 杆质心的加速度；杆质心的加速度；（2） 杆杆B端所受的力。端所受的力。4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量第四章第四章 刚体的转动刚体的转动物理学物理学第五版第五版44
