竞赛课件11：天体运动种种

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1、开普勒三定律开普勒三定律 面积定律面积定律 轨道定律轨道定律 周期定律周期定律万有引力定律万有引力定律牛顿运动定律牛顿运动定律t3t4Bt2t1A行星行星太阳太阳ba机械能守恒机械能守恒赤道平面轨道赤道平面轨道极地轨道极地轨道其它轨道其它轨道角速度角速度周期周期速度速度加速度加速度与与轨道半径关系道半径关系轨道半径道半径R中心天体半径中心天体半径R0F引引mF向向mF引引F向向地面上物体随地球自转所需向心力只是地心引力极小一部分地面上物体随地球自转所需向心力只是地心引力极小一部分天上卫星绕地球转动所需向心力由全部地心引力提供！天上卫星绕地球转动所需向心力由全部地心引力提供！模型特征：模型特征：

2、故有故有之二：之二：角速度相同，即角速度相同，即之三：之三：两天体做圆周运动的向心力大小相等，两天体做圆周运动的向心力大小相等，之四：之四：之一：两天体做圆周运动的向心力均为两天体间的万有引两天体做圆周运动的向心力均为两天体间的万有引力，大小相等，即力，大小相等，即模型规律：模型规律：ORmmMRMvMvm两两颗相近的天体相近的天体绕它它们连线上的某上的某点（点（质心心）以共同的角速度做匀速）以共同的角速度做匀速圆周运周运动 .之五：之五：双星系统动量守恒双星系统动量守恒地球公转轨道平面地球公转轨道平面日DXQCh对北半球而言对北半球而言, ,在冬季过近日点在冬季过近日点, ,夏季过远日点夏季

3、过远日点t3t4Bt2t1A行星行星太阳太阳ba 如图所示为地球绕太阳运行示意图，图中椭圆表示地球公如图所示为地球绕太阳运行示意图，图中椭圆表示地球公转轨道，转轨道，Ch、Q、X、D分别表示中国农历节气中的春分、秋分、夏至、冬至时分别表示中国农历节气中的春分、秋分、夏至、冬至时地球所在的位置试说明，一年之内秋冬两季比春夏两季要少几天的原因地球所在的位置试说明，一年之内秋冬两季比春夏两季要少几天的原因 地球公转轨道平面地球公转轨道平面日日DXQCh由面积定律由面积定律: :同步轨道半径设为同步轨道半径设为R1同步卫星轨道在影区的弧所对圆心角同步卫星轨道在影区的弧所对圆心角2，有有因卫星在影区、不

4、反射阳光而看不到的时间为因卫星在影区、不反射阳光而看不到的时间为2R 某颗地球同步卫星正下方的地球某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速，地球表面处的重力加速度为度为g,地球自转周期为地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射，不考虑大气对光的折射R1极地卫星周期为极地卫星周期为每昼夜卫星

5、经日照下的赤道的次数为每昼夜卫星经日照下的赤道的次数为每次应拍摄每次应拍摄 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的全部情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道赤道各处在日照条件下的全部情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为？设地球半径为R，地面重力加速度为，地面重力加速度为g，地球自转的周期为，地球自

6、转的周期为T.由由卫星下方地面处于卫星下方地面处于东经东经0180移动卫星经半周期又通过赤道上空，此间地移动卫星经半周期又通过赤道上空，此间地球自转了球自转了角，有角，有 电视转播用的电视转播用的“地球同步卫星地球同步卫星”的轨道高度为的轨道高度为h，转动周期为，转动周期为T0；卫星定位系统用的某；卫星定位系统用的某“移动卫星移动卫星”沿通过地球的沿通过地球的南北两极的圆形轨道运行，离地面高度为南北两极的圆形轨道运行，离地面高度为H，地球半径为，地球半径为R0 该该移动卫星连续两次通过地球北极点上空的时间间隔是多少？移动卫星连续两次通过地球北极点上空的时间间隔是多少？该移该移动卫星某时刻恰位于

7、经度为动卫星某时刻恰位于经度为0度的赤道上空，那么它下一次通过赤道度的赤道上空，那么它下一次通过赤道上空时，下方地面的经度是多少？上空时，下方地面的经度是多少？ 要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东经盖赤道上东经75.0到东经到东经135.0之间的区域，则卫星应定位在哪个之间的区域，则卫星应定位在哪个经度范围内的上空？地球半径经度范围内的上空？地球半径R = 6.37106m地球表面处的重力加地球表面处的重力加速度速度g = 9. 80m/s2 解答解答同步轨道半径设为同步轨道半径设为R R同步同步, ,其覆盖经度范围的几何关系如图其覆盖经

8、度范围的几何关系如图: :RR同步同步751350 180恰能覆盖东经恰能覆盖东经75的卫星定位的卫星定位:恰能覆盖东经恰能覆盖东经135的卫星定位的卫星定位:读题读题同步轨道半径设为同步轨道半径设为R0：得得卫星在同步轨道的引力势能为卫星在同步轨道的引力势能为动能：动能：卫星在空间站的引力势能为卫星在空间站的引力势能为由机械能守恒：由机械能守恒： 地球质量为地球质量为M，半径为，半径为R，自转角速度为，自转角速度为，万有引力恒，万有引力恒量为量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为，则质量为m的物体离地心距离的物体离地心距离为为r时，具有的万

9、有引力势能可表示为可供航天员居住与进行科学实验的空间航时，具有的万有引力势能可表示为可供航天员居住与进行科学实验的空间航天站离地面高度为天站离地面高度为h，若在该空间站上直接发射一颗质量为，若在该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到的小卫星，使其能到达地球同步轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有多大达地球同步轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？的动能？ LMM 根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是个星体的质量都是M,两者间相距两者间相距L，它们正围绕两者连线

10、的中点做圆周运动，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动试计算该双星系统的运动周期；试计算该双星系统的运动周期；若实验上观测到运动周期为，且若实验上观测到运动周期为，且 ,为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在暗物质为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在暗物质作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观察结果确定该种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观察结果确定该星系间这种暗物质

11、的密度星系间这种暗物质的密度 天文学家根据观察宣布了下列研究成果，银河天文学家根据观察宣布了下列研究成果，银河系中可能存在一个大系中可能存在一个大“黑洞黑洞”，距黑洞，距黑洞60亿千米的星体以亿千米的星体以2000km/s的速度绕其旋转，接近的速度绕其旋转，接近“黑洞黑洞”的所有物质即使速度等于光速也被的所有物质即使速度等于光速也被“黑洞黑洞”吸入，试计算吸入，试计算“黑洞黑洞”的质量和最大半径的质量和最大半径 “大爆炸学说大爆炸学说”认为：宇宙是很久以前发生的认为：宇宙是很久以前发生的一次大爆炸使聚集于某处的物质分离开来而成的，直到现在，这大一次大爆炸使聚集于某处的物质分离开来而成的，直到现

12、在，这大爆炸的爆炸的“碎片碎片”宇宙中的各星系仍在以不同的相对速率相互远宇宙中的各星系仍在以不同的相对速率相互远离观察表明：离我们越远的星系远离我们飞去的速度越大例如，离观察表明：离我们越远的星系远离我们飞去的速度越大例如，牧夫座内一星云离我们银河系的距离为牧夫座内一星云离我们银河系的距离为2.74109Ly(Ly为为“光年光年”，而，而1 Ly=9.461015 m)，它正以，它正以3.93107 m/s的速率飞离银河系若的速率飞离银河系若大爆炸后形成的各星系分别是以不同的速率从大爆炸前物质的聚集大爆炸后形成的各星系分别是以不同的速率从大爆炸前物质的聚集处沿各个方向匀速飞离，则在下列两种情况

13、下求宇宙的年龄处沿各个方向匀速飞离，则在下列两种情况下求宇宙的年龄T 假设大爆炸后银河系与牧夫座的那个星云分别以速率假设大爆炸后银河系与牧夫座的那个星云分别以速率V1和和V2沿相反沿相反方向飞离大爆炸前物质的聚集处；方向飞离大爆炸前物质的聚集处；假设大爆炸后银河系与牧夫座假设大爆炸后银河系与牧夫座的那个星云分别以速率的那个星云分别以速率V1和和V2沿夹角为沿夹角为的两个方向飞离在大爆炸前的两个方向飞离在大爆炸前物质的聚集处物质的聚集处 两天体分离速度成角度时，两天体分离速度成角度时，相对速度情况如图所示相对速度情况如图所示v1v2v相对相对M1M2CR6060 地、月在相互间的万有引力作用下，

14、绕它们的地、月在相互间的万有引力作用下，绕它们的连线上的一点连线上的一点C做等角速度的转动太空城的首选位置在月球轨道上做等角速度的转动太空城的首选位置在月球轨道上与月球及地球等距的地方，如图所示这里，太空城在地、月引力与月球及地球等距的地方，如图所示这里，太空城在地、月引力共同作用下，相对于地、月均处于平衡试证明，太空城在这里所共同作用下，相对于地、月均处于平衡试证明，太空城在这里所受地、月引力的合力作用线指向受地、月引力的合力作用线指向 地球地球月球月球太空城太空城C设地球质量为设地球质量为M M1 1，月球质量为，月球质量为M M2 2 ，地，地球与月球间距离为球与月球间距离为R R，如图

15、，如图 设太空城所受合力作用线与地、月设太空城所受合力作用线与地、月连线的中垂线夹角为连线的中垂线夹角为，太空城所在位置，太空城所在位置和和C C点的连线与中垂线夹角为点的连线与中垂线夹角为，则，则F1F2 估算空间太阳能电站一昼夜间由于被估算空间太阳能电站一昼夜间由于被地球遮挡而不能发电的最长时间取地球本影长为地地球遮挡而不能发电的最长时间取地球本影长为地球半径的球半径的216倍，同步轨道高度为地球半径的倍，同步轨道高度为地球半径的5.5倍倍日日地地卫星卫星 影影 RR0nR0 估算估算从地球表面向火星发射火星控测器设地球从地球表面向火星发射火星控测器设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运

16、动，火星轨道半径约为地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径轨道半径R0的的1.5倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步倍，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足进行：第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造行够动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运动的人造行星；第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在星；第二步是在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度增加到适当值，

17、从而使短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上，如图甲当探测器脱离地球引力并沿个椭圆轨道正好射到火星上，如图甲当探测器脱离地球引力并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年地球公转轨道稳定运行后，在某年3月月1日零时测得探测器与火星之日零时测得探测器与火星之间的角距离为间的角距离为60，如图乙所示已知地球半径为：，如图乙所示已知地球半径为：Rr=6.4106 m；地球公转周期为：地球公转周期为：Te=365天，（时间计算仅需精确到天，（时间计算仅

18、需精确到日）日）求出火星的公转周期和探测器沿半个椭圆轨道运动的时间；求出火星的公转周期和探测器沿半个椭圆轨道运动的时间；通过计算说明在何年何月何日点燃探测器上火箭发动机方能使探通过计算说明在何年何月何日点燃探测器上火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面？测器恰好落在火星表面？ 解答解答飞船飞船太阳太阳地球地球火星火星地球地球探测器探测器甲甲乙乙由开三律由开三律:则探测器沿半椭圆运动时间为则探测器沿半椭圆运动时间为探测器沿半椭圆运动时间内火星通过的角度为探测器沿半椭圆运动时间内火星通过的角度为则探测器开始进入椭圆轨道的位置应与火星的角距离成则探测器开始进入椭圆轨道的位置应与火星的角距离成43!从

19、从3月月1日探测器与火星的角距离成日探测器与火星的角距离成60经经38天到天到4月月8日日时时成成 43读题读题v0bacde轨道与轨道与能量能量引力势引力势能能轨道与轨道与能量能量两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互作用的前后相对速度遵守作用的前后相对速度遵

20、守“反射定律反射定律”，如果是一维方向上的，如果是一维方向上的“弹性碰撞弹性碰撞”，则相对速度等值反向若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的动，则相对速度等值反向若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的动量守恒而机械能不守恒量守恒而机械能不守恒 角动量角动量若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保持不变，这就是质点的角动量守恒定律物体在受有心力作用而绕着中心天持不变，这就是质点的角动量守恒定律物体在受有心力作用而绕着中心天体运动，或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力体运动，或几个天体互相绕其

21、系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力心的力矩为零，故系统的角动量守恒即心的力矩为零，故系统的角动量守恒即 示例示例模型与模型与方法方法A1A2AnA3r1rnMm 物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守恒引力是保守力，引力场是势场，在平方反比力场恒引力是保守力，引力场是势场，在平方反比力场中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置在中心引力场中，在中心引力场中，m从从A A1 1移至无穷远处，引力移至无穷远处，引力做负功为：做负功为： 以无穷远处为零引力势以无穷远处为零引力势能位置，能位置，物体

22、在距中心物体在距中心天体天体r远处的引力势能为远处的引力势能为返回返回OpmO矢量矢量r称位置矢量，或称矢径称位置矢量，或称矢径绕定点圆运动质点的（线）动量为绕定点圆运动质点的（线）动量为方向总是与矢径方向总是与矢径r r垂直垂直定义定义: : 质点动量大小质点动量大小mv与矢径大小与矢径大小r的乘积为质点的乘积为质点对定点（圆心）对定点（圆心）O的角动量：的角动量：L=pr 当当p与与r方向不垂直而成角度方向不垂直而成角度： prA角动量大小角动量大小等于动量大小与等于动量大小与O点到动量矢点到动量矢量量p的垂直距离的乘积的垂直距离的乘积 ;方向方向遵守右手定则遵守右手定则,矢量定义式为矢量

23、定义式为返回返回r2r1mOM两面元质量各为两面元质量各为r两面元对壳内质点两面元对壳内质点m的引力各为的引力各为由几何关系由几何关系: :整个球壳对球壳内物质整个球壳对球壳内物质的万有引力为零的万有引力为零! 对于一个质量均匀半径为对于一个质量均匀半径为R的实心球，在距球心的实心球，在距球心r（R）处质点只受半径为处质点只受半径为r的球内质量的球内质量的万有引力，而的万有引力，而r以外球壳（即以外球壳（即R为外径为外径r为内径的球壳）则对为内径的球壳）则对质点无引力的作用质点无引力的作用 rMRm距球心距球心r处所置质点受到引力大小处所置质点受到引力大小 距球心距球心r处所置质点的引力势能处

24、所置质点的引力势能返回返回理想化方法理想化方法轨道极限模型轨道极限模型矢量法与微元法矢量法与微元法 试推导地球上的第三宇宙速度试推导地球上的第三宇宙速度v3 专题专题专题专题11-11-例例例例1 1地球质量地球质量M 太阳质量太阳质量MS 地球半径地球半径R 日地距离日地距离r 物体质量物体质量m第一宇宙速度v1： (地球环绕速度地球环绕速度) 这是以日为参照物之速度，而地球对太阳的公转这是以日为参照物之速度，而地球对太阳的公转速度速度= =29.8 km/s；则以地球为参照物，这个速度为；则以地球为参照物，这个速度为第二宇宙速度v2： (地球逃逸速度地球逃逸速度)由能量守恒由能量守恒第三宇

25、宙速度v3： (太阳逃逸速度太阳逃逸速度)原处于太阳系中地球轨道位置的物体离原处于太阳系中地球轨道位置的物体离开太阳系所需开太阳系所需“逃逸速度逃逸速度” 由能量守恒：由能量守恒：RRbv0vp 要发射一台探测太阳的探测器，使其与地球具有相同的绕日运要发射一台探测太阳的探测器，使其与地球具有相同的绕日运动周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料由地球发射这样一台动周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料由地球发射这样一台探测器，应使其具有多大的绕日速度？探测器，应使其具有多大的绕日速度？ 专题专题专题专题11-11-例例例例2 2取发射时的一小段时间取发射时的一小段时间t火箭矢

26、径的火箭矢径的“面积速度面积速度”为为: :火箭飞行期间矢径扫过的面积火箭飞行期间矢径扫过的面积: :则则v1 火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射，返回火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射，返回时落回离发射场不远处空气阻力不计，试估算火箭飞行的时间，时落回离发射场不远处空气阻力不计，试估算火箭飞行的时间，地球半径取地球半径取R0=6400 km 专题专题专题专题11-11-例例例例3 3 竖直上抛运动中，以竖直上抛运动中，以T表示到达最高点所用时间，以表示到达最高点所用时间，以H表示最高点离地球表面的距离，表示最高点离地球表面的距离，R表示地球半径，表示地球半径，M表示地球质量，表示地球

27、质量，G为万有引力恒量，不计空气阻力，从考虑万有引力是为万有引力恒量，不计空气阻力，从考虑万有引力是“平方反比平方反比力力”出发，确定时间出发，确定时间T的数学表达式的数学表达式 专题专题专题专题11-11-例例例例4 4地心地心v1物体的物体的“面积速度面积速度”为为:续解续解物体的物体的“面积速度面积速度”为为:物体运动的周期与物体运动的周期与“贴地贴地”卫星周卫星周期关系由开三律：期关系由开三律：物体飞行期间矢径扫过的面积物体飞行期间矢径扫过的面积:yx由椭圆方程由椭圆方程读题读题读图读图其中其中 设想宇宙中有一由质量分别为设想宇宙中有一由质量分别为m1、m2mN的星体的星体1、2N构构

28、成的孤立星团，各星体空间位置间距离均为成的孤立星团，各星体空间位置间距离均为a，系统总质量为，系统总质量为M由于万有引力的由于万有引力的作用，作用，个星体将同时由静止开始运动试问经过多长时间各星体将会相遇？个星体将同时由静止开始运动试问经过多长时间各星体将会相遇？ 专题专题专题专题11-11-例例例例5 5设系统质心为设系统质心为O星体星体1与与i位矢如图位矢如图r1ri星体星体1与与i的万有引力大小为的万有引力大小为a同理同理系统的角动量守恒系统的角动量守恒设矢量设矢量r1大小大小r1=ka, 质点质点1在这个平方反比力作用下，在以在这个平方反比力作用下，在以O为一个焦点，以为一个焦点，以k

29、a/2为长半轴而短半轴逼近为长半轴而短半轴逼近于零的于零的“椭圆轨道椭圆轨道”运动运动 1i质心质心 远点在木星轨道而绕日运行的彗星称为木星彗星，它的形成可远点在木星轨道而绕日运行的彗星称为木星彗星，它的形成可看成是从无限远处落向太阳的天体经木星吸引偏转而成为太阳的彗星，求其近日看成是从无限远处落向太阳的天体经木星吸引偏转而成为太阳的彗星，求其近日点（已知木星的公转轨道半径为点（已知木星的公转轨道半径为R） 专题专题专题专题11-11-例例例例6 6理想化模型：理想化模型：从无限远处落向太阳的天体在木星轨道经与木从无限远处落向太阳的天体在木星轨道经与木星发生星发生“弹性碰撞弹性碰撞”改变运动方

30、向进入绕日轨道，如图改变运动方向进入绕日轨道，如图木星轨道木星轨道太阳太阳v0vVv1得木星得木星“碰撞碰撞”前速度为前速度为由机械能守恒，从无限远处被由机械能守恒，从无限远处被太阳吸引到木星轨道附近时速太阳吸引到木星轨道附近时速度度v满足满足 与木星与木星 “完全弹性碰撞完全弹性碰撞” 过程速度矢量关系如图：过程速度矢量关系如图： 续解续解v0vV接近接近V分离分离V“完全弹性碰撞完全弹性碰撞”接近速接近速度与分离速度大小相等！度与分离速度大小相等！天体进入太阳彗星轨道，设其绕日轨道近日点距太阳天体进入太阳彗星轨道，设其绕日轨道近日点距太阳r，过近日，过近日点时速度为点时速度为v1 1读图读

31、图由机械能守恒有由机械能守恒有 由角动量守恒有由角动量守恒有 yx 如图所示，地球沿半径为如图所示，地球沿半径为R0的圆轨道绕太阳运动，彗星绕太阳的圆轨道绕太阳运动，彗星绕太阳沿抛物线轨道运动已知此抛物线与地球圆轨道一直径的两端相交，不计地球与沿抛物线轨道运动已知此抛物线与地球圆轨道一直径的两端相交，不计地球与彗星之间的引力，试求彗星在地球轨道内的运行时间彗星之间的引力，试求彗星在地球轨道内的运行时间 专题专题专题专题11-11-例例例例7 7准线准线v0vOxyy=R0ABCC0S续解续解太阳、彗星、地球质量依次为太阳、彗星、地球质量依次为M、m、m0解题方向解题方向比较两天体比较两天体矢径

32、扫过的矢径扫过的面积，比较面积，比较两天体两天体“面面积速度积速度”，可得两天体可得两天体运行时间关运行时间关系！系！彗星轨迹为抛物线，由机械能守恒，有关系式彗星轨迹为抛物线，由机械能守恒，有关系式而地球绕日运行有关系式而地球绕日运行有关系式 设彗星以速率设彗星以速率v通过其轨道顶点通过其轨道顶点C历时历时t（ t 0）读图读图地球以速率地球以速率v0通过其轨道顶点通过其轨道顶点C0历时历时t 0（ t0 0）两者的两者的“面积面积速度速度”相同！相同！ 一卫星在半径为一卫星在半径为r的圆形轨道上运动，旋转周期为，如果给卫的圆形轨道上运动，旋转周期为，如果给卫星一个附加的径向速度星一个附加的径

33、向速度un或一个附加的切向速度或一个附加的切向速度ut，卫星都将沿一个椭圆轨道运，卫星都将沿一个椭圆轨道运动动 确定在上述二种情况中卫星的旋转周期确定在上述二种情况中卫星的旋转周期 所附加的径向速度所附加的径向速度un和切向速和切向速度度ut必须满足什么关系，才能使两种情况下，卫星旋转周期相等？必须满足什么关系，才能使两种情况下，卫星旋转周期相等？专题专题专题专题11-11-例例例例8 8卫星在半径卫星在半径r轨道圆运动速度为轨道圆运动速度为中心天体质量为中心天体质量为M、“远远(近近)地点地点”速度为速度为V、矢径为、矢径为rn（t）卫星附加速度卫星附加速度u为径向时为径向时读图读图机械能守

34、恒机械能守恒角动量守恒角动量守恒对同一环绕中心，两轨道周期满足对同一环绕中心，两轨道周期满足卫星附加速度卫星附加速度u为切向时为切向时要使要使Tn=T，根据开普勒第三定律，必有，根据开普勒第三定律，必有an=at，即有，即有 小试小试原轨道原轨道原轨道原轨道vur变轨道变轨道rnV2an续解续解vu变轨道变轨道2atVrt卫星附加速度卫星附加速度u为径向时为径向时卫星附加速度卫星附加速度u为切向时为切向时 设设有有两两个个地地球球人人造造卫卫星星M和和N沿沿同同一一椭椭圆圆轨轨道道运运动动，地地球球中中心心在在这这椭椭圆圆的的一一个个焦焦点点F上上，又又设设M和和N相相距距不不远远，因因此此可

35、可将将椭椭圆圆弧弧看看作作直直线线已已知知MN的的中中点点经经近近地地点点时时MN=a，近近地地点点到到地地心心的的距距离离为为r，远远地地点点到到地地心心的的距距离离为为R，求求M、N的的中中点点经经远远地地点点时时两两颗颗卫卫星星间的距离间的距离 设在远地点时两卫星距离设在远地点时两卫星距离lFNMMNrR在同一轨道上，卫星面积速度相同在同一轨道上，卫星面积速度相同al 空空间间两两质质点点的的质质量量分分别别为为m1和和m2，彼彼此此以以万万有有引引力力相相互互作作用用开开始始时时两两质质点点静静止止，相相距距r0，在在引引力力作作用用下下彼彼此此接接近并相碰，试求两质点从开始运动到相碰

36、所经历的时间近并相碰，试求两质点从开始运动到相碰所经历的时间 r1r2r0m1m2质心质心O O设系统质心为设系统质心为O 质点质点1与与2位矢如图位矢如图质点质点1与与2的万有引力大小为的万有引力大小为令矢量令矢量r1大小大小r1=kr0,等效于中心质量等效于中心质量k3 (m1+m2 )，两质点，两质点各在以中心为焦点、到中心距离为各在以中心为焦点、到中心距离为长轴的退化为直线的扁椭圆上向中长轴的退化为直线的扁椭圆上向中心运动，经半周期相遇，故心运动，经半周期相遇，故 一质点受一与距离一质点受一与距离3/2次反比引力作用而在一直线次反比引力作用而在一直线上运动试证此质点自无穷远处到达距力心

37、上运动试证此质点自无穷远处到达距力心a处时的速率与从处时的速率与从a处由处由静止出发，到达静止出发，到达a/4处时的速率相同处时的速率相同 导出此力场中的势能公式：导出此力场中的势能公式： BAri-ri+1rAMrB在引力作用下质点从在引力作用下质点从A A点点向力心移到向力心移到B B点点 引力做元功为：引力做元功为： 由从由从A A移至移至B B，引力做功为：，引力做功为： 由机械能守恒，由机械能守恒，质点从无穷远处到达距力心质点从无穷远处到达距力心a处时处时a处由静止出发，到达处由静止出发，到达/4处时处时 有一个质量大而体积小的星球，一个物体离这个有一个质量大而体积小的星球，一个物体

38、离这个星球的距离为星球的距离为r，物体从静止出发自由落向此星球，求物体落到这个，物体从静止出发自由落向此星球，求物体落到这个星球上经历多少时间？（已知星球的质量为星球上经历多少时间？（已知星球的质量为M） 将此星球视作质点，落向此星球的物体的轨将此星球视作质点，落向此星球的物体的轨道视作退化为直线的椭圆，其半长轴为道视作退化为直线的椭圆，其半长轴为若周期为若周期为T，则自由下落到星球历时，则自由下落到星球历时设想同一环绕系统另有一物体在半径为设想同一环绕系统另有一物体在半径为r的圆轨道运动，其周期的圆轨道运动，其周期圆轨道圆轨道星球星球根据开普勒第三定律根据开普勒第三定律 根据某种假设，星球是

39、由星际物质（宇宙尘埃）根据某种假设，星球是由星际物质（宇宙尘埃）在万有引力的作用下经压缩而成的试估算由密度在万有引力的作用下经压缩而成的试估算由密度=210-20g/cm3的的宇宙尘埃组成的巨大的云团到生成一颗星球需要多长时间？宇宙尘埃组成的巨大的云团到生成一颗星球需要多长时间？ 取理想化模型：认为尘埃组成的巨大云取理想化模型：认为尘埃组成的巨大云团是密度均匀分布的质点，每个质点自由团是密度均匀分布的质点，每个质点自由落向云团中心，最后密集成一颗星球，星落向云团中心，最后密集成一颗星球，星球形成所需时间即是最外层尘埃落至中心球形成所需时间即是最外层尘埃落至中心的时间即的时间即 如行星突然在其轨

40、道上某处停止运动（假如行星突然在其轨道上某处停止运动（假定轨道为圆形）则将被吸引而至太阳，试求其所需时间，定轨道为圆形）则将被吸引而至太阳，试求其所需时间，设太阳的高斯常数（设太阳的高斯常数（GM）为）为k，行星质量为，行星质量为m 设行星原在力设行星原在力 作用下绕日做半径为作用下绕日做半径为r匀速圆周运动，则有匀速圆周运动，则有 从距日为从距日为r处突然停止而被吸引向太阳的行星，其轨处突然停止而被吸引向太阳的行星，其轨道可视作退化为直线的椭圆，出发于远日点，经半个道可视作退化为直线的椭圆，出发于远日点，经半个周期周期(T/2)到近日点，其半长轴为到近日点，其半长轴为根据开普勒第三定律根据开

41、普勒第三定律 某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨道（假定为圆轨道）半径的道（假定为圆轨道）半径的1/n，求此彗星运行时，在地球轨道内停，求此彗星运行时，在地球轨道内停留的时间留的时间 解题方向解题方向比较两天体矢径扫过的面积，比较两天体比较两天体矢径扫过的面积，比较两天体“面面积速度积速度”，可得两天体运行时间关系！，可得两天体运行时间关系！太阳、彗星、地球质量依次为太阳、彗星、地球质量依次为M、m、m0读图读图地球绕日运行有关系式地球绕日运行有关系式 彗星轨迹为抛物线，由机械能守恒，有关系式彗星轨迹为抛物线，由机械能守恒，有关系式设彗星、地球

42、各以速率设彗星、地球各以速率v和和v0通过其轨道顶点历时各通过其轨道顶点历时各t（ t 0）和）和t 0（ t0 0）两者的两者的“面积面积速度速度”之比为之比为续解续解yxv0v返回返回续解续解慧星从慧星从A到到B时间由时间由 地球矢径扫过面积地球矢径扫过面积 读图读图 如图，从地球发射火箭到火星去进行探测，发射后火箭绕太如图，从地球发射火箭到火星去进行探测，发射后火箭绕太阳椭圆轨道运行为了节省能源，火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的阳椭圆轨道运行为了节省能源，火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的速度方向一致，并且选择适当的发射时机，使火箭椭圆轨道的远日点为火星，轨速度方向一致，并

43、且选择适当的发射时机，使火箭椭圆轨道的远日点为火星，轨道近日点为地球假定地球和火星均绕太阳做圆周运动，圆轨道半径分别为道近日点为地球假定地球和火星均绕太阳做圆周运动，圆轨道半径分别为r与与R，忽略其它行星对火箭的作用，求火箭应以多大的对地速度离开地球？火箭到达，忽略其它行星对火箭的作用，求火箭应以多大的对地速度离开地球？火箭到达火星要用多长时间？火星要用多长时间？ 日日地球轨道地球轨道火星轨道火星轨道Rr设太阳、火箭质量依次为设太阳、火箭质量依次为M、mv1v2由机械能守恒有由机械能守恒有 由角动量守恒有由角动量守恒有 对日速度对日速度! 火箭离地速度应为火箭离地速度应为到达火星的时间是到达火

44、星的时间是火箭运动半个周期火箭运动半个周期T 假设地球是一个均匀球体，现在地球的东半球北纬假设地球是一个均匀球体，现在地球的东半球北纬30的的a处处开一个穿过地轴的直线隧道直通西半球北纬开一个穿过地轴的直线隧道直通西半球北纬30的的b处，如图所示已知地球的半处，如图所示已知地球的半径是径是6370 km，地面的重力加速度，地面的重力加速度g=9.8 m/s2，第一宇宙速度，第一宇宙速度v1=7.9 km/s，假设隧，假设隧道光滑现将一个物体以道光滑现将一个物体以v=v1/3的初速度从的初速度从a处抛入隧道，问物体从处抛入隧道，问物体从b处出来后能处出来后能飞离地面的最大高度是多少？飞离地面的最

45、大高度是多少？ ab30解题方向解题方向 考虑对称性，物体从考虑对称性，物体从b处飞出的速度大小为处飞出的速度大小为v1/3，此后在地心引力作用下沿一椭圆轨道的远地椭圆弧运动；，此后在地心引力作用下沿一椭圆轨道的远地椭圆弧运动；由守恒定律求最大高度由守恒定律求最大高度.由机械能守恒有由机械能守恒有 hV由角动量守恒有由角动量守恒有 RR+h 有一航天器（不带动力装置）自远方以速度有一航天器（不带动力装置）自远方以速度v0射射向某一行星，计划在行星上着陆，如图示如以向某一行星，计划在行星上着陆，如图示如以b表示表示v0与行星的垂与行星的垂直距离（称为瞄准距离），求直距离（称为瞄准距离），求b最大

46、值为多少时，航天器可以在行星最大值为多少时，航天器可以在行星上着陆已知航天器质量为上着陆已知航天器质量为m，行星的质量为，行星的质量为M，半径为，半径为R mORb由机械能守恒有由机械能守恒有 由角动量守恒有由角动量守恒有 rbv0XAO 如图，一质量为如图，一质量为m12 t的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋转，其高度转，其高度h100 km为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在X点做一次短时点做一次短时间发动从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为间发动从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u10 km/s月球半径月球半径R1700 k

47、m，月球表面上自由落体的重力加速度为，月球表面上自由落体的重力加速度为g月月=1.7 m/s2飞船可用两种不同方式到飞船可用两种不同方式到达月球：达月球：到达月球上的到达月球上的A点，该点正好与点，该点正好与X点相对；点相对；在在X点给一指向月球中心点给一指向月球中心的动量后，与月球表面相切于的动量后，与月球表面相切于B点试计算上述两种情况下所需的燃料量点试计算上述两种情况下所需的燃料量 按此方式，飞船椭圆轨道按此方式，飞船椭圆轨道X为远月点，为远月点，A为近月点，为近月点，XA为长轴，月心为焦点为长轴，月心为焦点，vX由牛顿草图可知，由牛顿草图可知，飞船在飞船在X点是向运动方向喷气减速而成点

48、是向运动方向喷气减速而成设飞船做圆运动时速率为设飞船做圆运动时速率为v0 vA由机械能守恒有由机械能守恒有 由角动量守恒有由角动量守恒有 飞船喷气过程动量守恒飞船喷气过程动量守恒: 代入题给数据得代入题给数据得: : XAXAB续解续解读题读题XBOvBvR按此方式，飞船向背离月球方向喷气后获得的指向月心按此方式，飞船向背离月球方向喷气后获得的指向月心的速度的速度vR，飞船在，飞船在X点的速度变为点的速度变为 vX由机械能守恒有由机械能守恒有 由角动量守恒有由角动量守恒有 飞船喷气过程沿径向动量守恒飞船喷气过程沿径向动量守恒: 地心地心 质量为质量为M的宇航站和与其对接上的质量为的宇航站和与其

49、对接上的质量为m的飞船一起沿圆的飞船一起沿圆形轨道围绕地球运动着，其轨道半径为地球半径形轨道围绕地球运动着，其轨道半径为地球半径R的的n倍（倍（n1.25）某一瞬间，）某一瞬间，飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为8nR质量比质量比m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇？（一般认为为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇？（一般认为Mm） 在半径为在半径为5R/4绕地圆轨道时宇航站及飞船速度绕地圆轨道时宇航站及飞船速度飞船与宇航站分离时，飞船速度飞船与宇航站分离时，飞船速度vm，

50、宇航站速度，宇航站速度vMvmVmvMVM飞飞船船宇宇航航站站分离时两者动量守恒分离时两者动量守恒: 续解续解2RM读题读题飞船绕地球运行一周后正好飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇与宇航站相遇,两者周期满足两者周期满足: k可取可取10，11 质量为质量为m的人造卫星沿半径为的人造卫星沿半径为r0的圆轨道飞行，地的圆轨道飞行，地球质量为球质量为M若卫星运动中受到微弱的摩擦阻力若卫星运动中受到微弱的摩擦阻力f（大小恒定），则（大小恒定），则将缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球将每周的旋转近似处理成半径将缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球将每周的旋转近似处理成半径为为ri的圆轨道试求每旋转一周，轨道半径的

51、改变量的圆轨道试求每旋转一周，轨道半径的改变量r及卫星轨道减及卫星轨道减少一半时减少的机械能少一半时减少的机械能 Mri在第在第i圈运动时，摩擦力的功圈运动时，摩擦力的功 引力的功引力的功 由动能定理由动能定理 卫星轨道减少一半卫星轨道减少一半时减少的机械能时减少的机械能 如图，宇宙飞船沿圆轨道运行，运动速度为如图，宇宙飞船沿圆轨道运行，运动速度为v0已知火星半已知火星半径为径为R，飞船圆轨道离火星表面的高度为，飞船圆轨道离火星表面的高度为H今飞船在极短时间内，沿圆轨道径向今飞船在极短时间内，沿圆轨道径向向外侧点火喷气，使飞船获得指向火星的径向速度向外侧点火喷气，使飞船获得指向火星的径向速度a

52、v0，a是远小于是远小于1的常数因喷的常数因喷气量很小，喷气后飞船的质量可视作不变喷气后，飞船绕火星沿新的轨道运行气量很小，喷气后飞船的质量可视作不变喷气后，飞船绕火星沿新的轨道运行试求飞船椭圆轨道近火星点距火星表面的高度试求飞船椭圆轨道近火星点距火星表面的高度hA以及远火星点距火星表面的高以及远火星点距火星表面的高度度hB，以及飞船绕椭圆轨道的运行周期，以及飞船绕椭圆轨道的运行周期 HhBv0RABhAvRV0飞船进入椭圆轨道的初速度飞船进入椭圆轨道的初速度由机械能守恒有由机械能守恒有 VAVB由角动量守恒有由角动量守恒有 由开三律，由开三律，飞船前后周飞船前后周期之比为期之比为 v0 一宇

53、宙飞船环绕一行星做匀速圆周运动，轨道半一宇宙飞船环绕一行星做匀速圆周运动，轨道半径为径为R，飞船速率为，飞船速率为v0飞船上发动机突然点火，使飞船速率从飞船上发动机突然点火，使飞船速率从v0变变到到 v0，加速度方向与速度方向相同，飞船沿新轨道运动设，加速度方向与速度方向相同，飞船沿新轨道运动设为发为发动机点火时飞船速度方向与飞船在最远离行星时速度方向之间的夹动机点火时飞船速度方向与飞船在最远离行星时速度方向之间的夹角，求角角，求角 ，并画出飞船运动轨迹的图示，并画出飞船运动轨迹的图示 计算加速后飞船的总机械能计算加速后飞船的总机械能E 飞船将沿双曲线轨道远离行星飞船将沿双曲线轨道远离行星 图示图示由机械能守恒有由机械能守恒有 由角动量守恒有由角动量守恒有 由双曲线解析性质得由双曲线解析性质得 yxV续解续解