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1、6.56.5角平分线角平分线2 2l知知:AOB,如如图.l求作求作:射射线OC,使使AOC=BOC.l作法作法:l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.l1.在在OAT和和OB上截取上截取OD,OE,使使OD=OE.l2.分分别以点以点D和和E为圆心心,以大于以大于DE/2长为半径作弧半径作弧,两弧在两弧在 AOB内交于点内交于点C.l3.作射作射线OC.请他他阐明明OC为什么是什么是AOB的平分的平分线,并与同伴并与同伴进展交流展交流.ABOCl那么射那么射线OC就是就是AOB的平分的平分线.DE尺规作图角平分线的作法尺规作图角平分线的作法w定理定理 角平分角平分线上的点到上的点到这个角的
2、两个角的两边间隔相等隔相等.w如如图,wOC是是AOB的平分的平分线,P是是OC上恣意一点上恣意一点, PDOA,wPEOB,垂足分垂足分别是是D, E(知知)PD=PE(角平分角平分线上的点到上的点到这个角的两个角的两边间隔相等隔相等).OCB1A2PDE回想与思索回想与思索w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两且到角的两边间隔相等隔相等的点的点,在在这个角的平分个角的平分线上上.w如如图,wPA=PB, PDOA,PEOB,垂垂足分足分别是是D,E(知知),w点点P在在AOB的平分的平分线上上.(在一在一个角的内部个角的内部,且到角的两且到角的两边间隔相隔相等的点等的点,
3、在在这个角的平分个角的平分线上上).OCB1A2PDE回想与思索回想与思索w剪一个三角形剪一个三角形纸片片经过折叠折叠找出每个角的平分找出每个角的平分线. .结论:三角形三个角的平分线相交于一点.教师期望:他能写出规范的证明过程.他想证明这个命题吗?w察看这三条角平分线,他发现了什么?做一做做一做命命题:三角形三个角的平分三角形三个角的平分线相交于一点相交于一点.如如图,设ABC的角平分的角平分线BM,CN相交于点相交于点P,过点点P分分别作作BC,AC,AB的垂的垂线,垂足分垂足分别是是E,F,D.BM是是ABC的角平分的角平分线,点点P在在BM上上,ABC的三条角平分的三条角平分线相交于一
4、点相交于一点P.怎样证三条直线交于一点怎样证三条直线交于一点w根本想法是根本想法是这样的的:我我们知道知道,两条直两条直线相相交只需一个交点交只需一个交点.要想要想证明三条直明三条直线相交于相交于一点一点,只需能只需能证明两条直明两条直线的交点在第三条的交点在第三条直直线上即可上即可.这时可以思索前面可以思索前面刚刚学到的学到的逆定理逆定理.ABCPMNDEFPD=PE(角平分角平分线上的点到上的点到这个角的两个角的两边间隔相等隔相等).同理同理,PE=PF.PD=PF.点点P在在BAC的平分的平分线上上(在一个角的内部在一个角的内部,且到且到角的两角的两边间隔相等的点隔相等的点,在在这个角的
5、平分个角的平分线上上).定理定理:三角形的三条角平分三角形的三条角平分线相交于一点相交于一点,并且并且这一点一点到三到三边的的间隔相等隔相等.如如图,在在ABC中中,BM,CN,AH分分别是是ABC的三的三条角平分条角平分线,且且PDAB,PEBC,PFAC(知知),BM,CN,AH相交于一点相交于一点P,且且PD=PE=PF(三角形的三条角平分三角形的三条角平分线相交于一点相交于一点,并且并且这一点到三一点到三边的的间隔相等隔相等).教教师提示提示:这又是一个又是一个证明三条直明三条直线交于一点的根交于一点的根据之一据之一这个交点叫做三角形的内心个交点叫做三角形的内心.ABCPMNDEF做一
6、做做一做l如如图,在在ABC中中,知知AC=BC,C=900,AD是是ABC的角平分的角平分线,DEAB,垂足垂足为E.l(1)假假设CD=4cm,AC的的长;l(2)求求证:AB=AC+CD.EDABC课内练习课内练习1.如如图,知知ABC,作作ABC一个内角和与它不相一个内角和与它不相邻的的两个外角的平分两个外角的平分线,看它看它们能否交于一点能否交于一点?这样的点有的点有几个几个?假假设以以这个点个点为圆心心,这一点到三角形一一点到三角形一边的的间隔隔为半径作半径作圆,他能作出他能作出这个个图形形吗?ABC教教师提示提示:三角形一个内角和与它不相三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分
7、的两个外角的平分线交于一点交于一点, 这个的点叫做三角形的旁心个的点叫做三角形的旁心.这样点有三个点有三个.试一试试一试w定理定理 角平分角平分线上的点到上的点到这个角的个角的两两边间隔相等隔相等. . w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角且到角的两的两边间隔相等的点隔相等的点, ,在在这个角个角的平分的平分线上上. .w定理定理: :三角形的三条角平分三角形的三条角平分线相相交于一点交于一点, ,并且并且这一点到三一点到三边的的间隔相等隔相等( (这个交点叫做三角形个交点叫做三角形的内心的内心).).w三角形一个内角和与它不相三角形一个内角和与它不相邻的的两个外角的平分两
8、个外角的平分线交于一点交于一点, , 这个的点叫做三角形的旁心个的点叫做三角形的旁心. .这样点有三个点有三个. .OCB1A2PDE小结拓展小结拓展w1.知知:如如图,C=900, B=300,AD是是RtABC的角平分的角平分线.w求求证:BD=2CD. ABCD课后作业课后作业w2.知知:如如图,ABC的外角的外角CBD和和BCE的角的角平分平分线相交于点相交于点F.w求求证:点点F在在DAE的平分的平分线上上. ABCFDE课后作业课后作业w3.知知:如如图,P是是AOB平分平分线上的一点上的一点,PCOA,PDOB,垂足分垂足分别C,D.w求求证:w(1)OC=OD;w(2)OP是是CD的垂直平分的垂直平分线. BAPDCO课后作业课后作业
