量子力学第2章周世勋

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1、 2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation 2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理 The principle of superposition 2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程 The Schrdinger equation 2.4 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 The current density of particles and conservation laws 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 Time independent Sch

2、rdinger equation 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱 The infinite potential well 2.7 2.7 线性谐振子线性谐振子 The linear harmonic oscillator 2.8 2.8 势垒贯穿势垒贯穿 The transmission of potential barrier 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来

3、描述。理量来描述。 这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像中截然不同的物理图像。2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释一、微观粒子状态的描述一、微观粒子状态的描述 德德布布罗罗意意指指出出：微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态可可用用一一个个复复函数函数 来描述，来描述，函数函数 称为称为波函数。波函数。 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波dedeBroglie Broglie 波波

4、如果粒子处于随时间和位置变化的力场如果粒子处于随时间和位置变化的力场 中中 运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：波描写，一般记为：描写粒子状态的描写粒子状态的波函数，它通常波函数，它通常是一个是一个复函数复函数。 三个问题三个问题？ (1) (1) 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？(2) (2) 如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3) (3) 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？I I0 0

5、 1 1XP P电子单缝衍射实验电子单缝衍射实验电子源电子源感感光光屏屏PPQQO电子小孔衍射实验电子小孔衍射实验二、波函数的统计解释二、波函数的统计解释l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ;2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念经典概念中粒子意中粒子意味着味着 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的实在的物理量的空间分布作周期性的 变化变化; ; 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠

6、加性。经典概经典概念中波念中波意味着意味着 电子既不是经典的粒子也不是经典的波。电子既不是经典的粒子也不是经典的波。粒子性：只是经典粒子概念中的“原子性”或“颗粒性”，即：具有一定质量、电荷等属性的客体。 波动性：波动性中最本质的东西，即：波的相干叠加性。电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ 电子的衍射实验电子的衍射实验 玻恩的解释：玻恩的解释：OPP电子源电子源感感光光屏屏QQ衍射实验事实：衍射实验事实：（1 1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示

7、衍射图样性，长时间亦显示衍射图样; ;（2 2） 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. .19261926年年, ,玻恩玻恩(M.Born)(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：首先提出了波函数的统计解释： 波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率成比例。方）与粒子在该点出现的概率成比例。 可见，波函数模的平方可见，波函数模的平方 与粒子与粒子 时刻在时刻在 处附近出现的概率成正比。处附近出现的概率成正比。 波波 动动 观观 点点 粒粒 子子 观观 点点明纹处明纹处: : (x,y,z,t

8、)(x,y,z,t) 2 2大大 电子出现的概率大电子出现的概率大暗纹处暗纹处: : (x,y,z,t)(x,y,z,t) 2 2小小 电子出现的概率小电子出现的概率小 设粒子状态由波函数设粒子状态由波函数 描述，波的强度是描述，波的强度是则则微微观观粒粒子子在在t t 时时刻刻出出现现在在 处处体体积积元元d d内内的的几率几率 这表明描写粒子的波是几率波这表明描写粒子的波是几率波( (概率波概率波) ), ,反映微观反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数客体运动的一种统计规律性，波函数 也称为几也称为几率幅。率幅。 称为几率密度称为几率密度( (概率密度概率密度) ) 按按BornBor

9、n提出的波函数的统计解释提出的波函数的统计解释, ,粒子在空间中粒子在空间中某一点某一点 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的处出现的概率与粒子的波函数在该点模的平方成比例平方成比例令令 时刻，时刻，在在空间任意两点空间任意两点 和和 处找到粒子的处找到粒子的相对几率是：相对几率是： 和和 所描写状态的相对几率是相同的。所描写状态的相对几率是相同的。粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小。各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小。可见，可见， 和和 描述的是同一几率波，所描述的是同一几率波，所以波

10、函数有一常数因子不定性。以波函数有一常数因子不定性。这里的这里的 是常数是常数 为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函数的归一化条件：数的归一化条件： 和和 描述同一状态描述同一状态 这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的一倍（原来的 2 2 倍）时，则相应的波动能量将为原倍）时，则相应的波动能量将为原来的来的 4 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。倍，因而代表完全不同的波动状态。非相对论量子力

11、学仅研究低能粒子，实物粒子不会非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间产生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的几率等于一。出现的几率等于一。1波函数的归一化条件波函数的归一化条件满足此条件的波函数满足此条件的波函数 称为称为归一化波函数归一化波函数。又因又因其中其中称为称为归一化常数归一化常数于是于是归一化条件消除了波函数归一化条件消除了波函数常数因子常数因子的一种不确定性的一种不确定性。2.单值条件单值条件任意时刻概率密度是唯一的。任意时刻概率密度是唯一的。有限、连续和单值称为波函数的标准化条件。有限、连续和单值称为波函数的标准化条件

12、。3.连续性条件连续性条件任一点处波函数及其一任一点处波函数及其一阶导数连续阶导数连续必必 须须 注注 意意 （1 1）“微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态用用波波函函数数描描述述，描描写写粒粒子子的的波波是是几几率率波波”，这这是是量量子子力力学学的的一一个个基基本本假假设设（基本原理）基本原理）。 知知道道了了描描述述微微观观粒粒子子状状态态的的波波函函数数，就就可可知知道道粒粒子子在在空空间间各各点点处处出出现现的的几几率率，以以后后的的讨讨论论进进一一步步知知道道，波波函函数数给给出出体体系系的的一一切切性性质质，因因此此说说波波函函数数描描写写体体系系的量子状态（简称状态或态）的量

13、子状态（简称状态或态）（2 2）波函数一般用复函数表示。）波函数一般用复函数表示。（3 3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。Ex.1 已知一维粒子状态波函数为已知一维粒子状态波函数为求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率最大。出现的几率最大。 归一化常数归一化常数Solve: 归一化的波函数归一化的波函数(1).求求归一化的波函数归一化的波函数（2 2）几率分布）几率分布： （3 3）由几率密度的极值条件）由几率密度的极值条件 由于由于 故故 处，粒子出现几率最大。处，粒子出现几率最大。l

14、微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于和衍射的本质在于波的叠加性波的叠加性，即可相加性，两，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。个相加波的干涉的结果产生衍射。l因此，同光学中波的叠加原理一样，因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中量子力学中也存在波叠加原理也存在波叠加原理。l因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为原理称为态叠加原理态叠加原理。2.2 2.2 态叠加原理态叠加原理开开

15、1 1闭闭2 2，衍射花样（兰曲线），衍射花样（兰曲线）开开2 2闭闭1 1，衍射花样（紫红曲线），衍射花样（紫红曲线）同时开同时开1 1，2 2，衍射花样（黑曲线），衍射花样（黑曲线）实实 验验 事事 实实显然显然一一. .电子双缝衍射实验电子双缝衍射实验 1 12 2 表明表明几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅）遵几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅）遵守迭加原则：守迭加原则：物物 理理 意意 义义 当两个缝都开着时，电子既可能处在当两个缝都开着时，电子既可能处在 态，也态，也可能处在可能处在 态，也可处在态，也可处在 和和 的线性迭加态的线性迭加态 。可见，。可见， 若若 和和 是电子

16、的可能状态，是电子的可能状态，则则 也是电子的可能状态也是电子的可能状态。 反言之，电子经双缝衍射后处于反言之，电子经双缝衍射后处于 态，则态，则电子部分地既可处于电子部分地既可处于 态，也可部分地处在态，也可部分地处在 态。态。迭加态的概率迭加态的概率: : 干干 涉涉 项项电子穿过狭缝出现电子穿过狭缝出现在点的几率密度在点的几率密度电子穿过狭缝出现电子穿过狭缝出现在点的几率密度在点的几率密度 当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态称时，迭加态 , ,其概率为其概率为干干 涉涉 项项 态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的态的迭加

17、原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。正确性也依赖于实验的证实。 1. 1. 若若 是粒子的可能状态，则粒子是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态也可处在它们的线性迭加态二、态迭加原理二、态迭加原理 2.2.当体系处于当体系处于 态时，发现体系处于态时，发现体系处于 态的几率态的几率是是 ，并且，并且Ex: Ex: 电子在晶体表面的衍射，动量空间的波函数电子在晶体表面的衍射，动量空间的波函数 d 电子从晶体表面出射后，既可能处在电子从晶体表面出射后，既可能处在 态，也态，也可能处在可能处在 、 等状态，按态迭加原等状态，按态迭加原理，在晶体表面反射后，电子的状态

18、理，在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成可表示成 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即 电子沿垂直方向射到电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后将以各单晶表面，出射后将以各种不同的动量运动，出射种不同的动量运动，出射后的电子为自由电子，其后的电子为自由电子，其状态波函数为平面波。状态波函数为平面波。考虑到电子的动量可以连续变化考虑到电子的动量可以连续变化衍射图样正是这些平衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果面波叠加干涉的结果 因此因此即即显然显然, ,二式互为二式互为FourerFourer变换式变换式, ,所以所以 与与 一一对应一一对应, ,是同一量子态的两种

19、不同描述方式。是同一量子态的两种不同描述方式。以坐标以坐标 为自变量的波函数，为自变量的波函数，坐标空间（坐标表象）波函坐标空间（坐标表象）波函数数以动量以动量 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 动量空间（动量表象）波函动量空间（动量表象）波函数数 给出给出t t 时刻粒子处在时刻粒子处在 位置位置 处的几率处的几率 给出给出t t 时刻粒子动量时刻粒子动量 为为 的几率的几率 二者描写同一量子状态二者描写同一量子状态一维情况下，一维情况下， 与与 的的FourerFourer变换变换关系：关系：2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程一、微观粒子运动方程应具有的特点一、微观粒子运动方程应具有

20、的特点（1）含有波函数对时间的一阶导数）含有波函数对时间的一阶导数（2）方程必为线性的）方程必为线性的（3）质量为）质量为 的非相对性粒子的非相对性粒子(即低速运动的即低速运动的粒子粒子), 其总能为其总能为 本节研究量子力学的动力学问题，建立量子力学的动力学方程 Schrdinger方程 又又（2） （3）（1） 二、自由粒子的运动方程二、自由粒子的运动方程将（将（1 1）和（）和（2 2）式代入（）式代入（3 3）式，得）式，得（4） （4） 满足满足运动方程应具有的运动方程应具有的三个三个特点，此特点，此即自由粒子的SchrdingerSchrdinger方程。如果将能量关系式如果将能量

21、关系式E = pE = p2 2/2/2写成如下方程形式写成如下方程形式：再做替换：再做替换：即得自由粒子的SchrdingerSchrdinger方程（4）。称为为动量算符三、势场中运动粒子的三、势场中运动粒子的SchrdingerSchrdinger方程方程设势场设势场 中运动粒子的状态波函数为中运动粒子的状态波函数为用能量关系式用能量关系式 乘以波函数乘以波函数做替换：做替换：即得即得SchrdingerSchrdinger方程方程（6） 哈密顿算符哈密顿算符（6） 将将SchrdingerSchrdinger方程（方程（6 6）写成另一形式）写成另一形式（7）四、多粒子体系的四、多粒子

22、体系的SchrdingerSchrdinger方程方程哈密顿算符哈密顿算符（8）SchrdingerSchrdinger方程方程（9） 注注 意意 （1 1）SchrdingerSchrdinger作为一个作为一个基本假设基本假设提出来，它提出来，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而得到证实得到证实。 （2 2）SchrdingerSchrdinger方程在非相对论量子力学中的方程在非相对论量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿, ,只要给只要给出粒子在初始时刻的波函数，由方程即可求得粒出粒子在

23、初始时刻的波函数，由方程即可求得粒子在以后任一时刻的波函数。子在以后任一时刻的波函数。2.42.4粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律一、概率守恒定律一、概率守恒定律由由Schrdinger方程方程 （1） 则则设设 是粒子状态的归一化波函数是粒子状态的归一化波函数 取复共取复共轭轭 讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化间变化代入（代入（1 1）式后，有）式后，有 （2）令令称为概率流密度称为概率流密度概率连续性方程概率连续性方程（3）（2 2） 几率连续性方程与经典电动力学中的电荷守恒方几率连续性方程与经典电动力学中的

24、电荷守恒方程程 具有相同的形式具有相同的形式。几率连续性方程几率连续性方程对空间对空间V V作体积分作体积分(4)(4) (4) (4)式表明式表明: :粒子单位时间在内出现的几率的粒子单位时间在内出现的几率的增量等于单位时间内流入内的几率增量等于单位时间内流入内的几率( (负号表示流负号表示流入入) ) 。(3)(3)式是几率守恒守律的积分形式。式是几率守恒守律的积分形式。当当 时时(4)(4)式即即表明粒子的总几率不表明粒子的总几率不变变, ,即几率守恒。即几率守恒。表明波函数归一化不表明波函数归一化不随时间改变，其物理随时间改变，其物理意义是粒子既未产生意义是粒子既未产生也未消灭。也未消

25、灭。电荷密度电荷密度质量流密度质量流密度电流密度电流密度质量密度质量密度二、电荷守恒定律，粒子数守恒二、电荷守恒定律，粒子数守恒设粒子的电荷为，质量为设粒子的电荷为，质量为电荷守恒律电荷守恒律物质守恒律物质守恒律三、波函数的标准条件三、波函数的标准条件（1 1）根据）根据BornBorn统计解释，统计解释， 是粒子在是粒子在时刻出现在时刻出现在 点的几率，这是一个确定的数，所以点的几率，这是一个确定的数，所以要求应是要求应是 的单值函数且有限。的单值函数且有限。（2 2）根据粒子数守恒定律）根据粒子数守恒定律 : :此式右边含有及其对坐标一阶导数的积分，由此式右边含有及其对坐标一阶导数的积分，

26、由于积分区域是任意选取的，所以是任意闭合面。于积分区域是任意选取的，所以是任意闭合面。要是积分有意义，必须在变数的全部范围，即空要是积分有意义，必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。波函数在全空间每一点应满足波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。三个条件，该条件称为波函数的标准条件。一、定态、定态波函数一、定态、定态波函数（1） （2） 若若 与与 无关，则可以无关，则可以分离变量分离变量，令令 (2)代入代入(1) 式，两边同除式，两边同除 ，得到，得到（

27、3） 等式两边是相互无等式两边是相互无关的物理量，故应关的物理量，故应等于与等于与 无关的无关的常数常数（4） 2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（5） （6） (5)代入代入(2) 式，得到式，得到令令de Broglie能量式 可见分离变量中引入的常数可见分离变量中引入的常数 为粒子的能量，当为粒子的能量，当粒子处在由波函数粒子处在由波函数（6 6）所描述的状态时，粒子的能所描述的状态时，粒子的能量量 有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的波函数波函数（6 6）称为称为定态波函数。定态波函数。定态波函数定态波函数二、定态二、定态Schrd

28、ingerSchrdinger方程方程 当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间波函数波函数 由方程（由方程（3 3），即由），即由称为称为定态定态SchrdingerSchrdinger方程。方程。 的的本征函数本征函数能量能量本征值本征值 当体系处在能量本征波函数所描写的状态当体系处在能量本征波函数所描写的状态( (又称又称本本征态征态) )中时，粒子的能量有确定的值。中时，粒子的能量有确定的值。 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数及这些态中的能量及这些态中的能量 ；解能量算符本征方程；求定态

29、；解能量算符本征方程；求定态波函数波函数定解条件定解条件本征能量值谱：本征能量值谱：本征函数系：本征函数系：本征波函数本征波函数任意状态任意状态 四、求解定态问题的步骤四、求解定态问题的步骤（1 1）列出定态）列出定态SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根据波函数三个）根据波函数三个标准条件求解能标准条件求解能量量 的本征值问的本征值问题，得题，得：本征函数本征函数本征能量本征能量（4 4）通过归一化确定归一化系数）通过归一化确定归一化系数（3 3）写出定态波函数）写出定态波函数即得到对应第即得到对应第 个个本征值本征值 的定态的定态波函数波函数与与 无关无关五、定态

30、的性质五、定态的性质（2 2）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关（1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关与与 无关无关判别定态的方法：判别定态的方法：（1 1）能量是否为确定值）能量是否为确定值（2 2）几率与时间无关）几率与时间无关（3 3）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关2.6 2.6 一维无限深势阱一维无限深势阱 在继续阐述量子力学基本原理之前，在继续阐述量子力学基本原理之前，先用先用Schrodinger Schrodinger 方程来处理一类简单的方程来处理一类简单的问题问题 一维定态问题（一维定态问题（一维无限深势阱，线性谐振子，势垒贯

31、穿）。一、定态一、定态SchrdingerSchrdinger方程方程哈密顿算符哈密顿算符无无限限深深势势阱阱-aa0U(x)(1)(2)考虑一维粒考虑一维粒子的运动，子的运动，其势能为其势能为: :因因 及及 有限，由（有限，由（2 2） （3）令令（4）（1 1）式）式 从物理考虑，粒从物理考虑，粒子不能透过无穷子不能透过无穷高的势壁。高的势壁。其通解为其通解为： （5） 利用利用 的连续性，由（的连续性，由（3 3）和（）和（5 5）得）得二、定态二、定态SchrdingerSchrdinger方程的解方程的解当当 ，有，有（n n为偶数）为偶数） (6)当当 ，有，有（n n为奇数）为

32、奇数） (7)(6)(6)和和(7)(7)两式统一写成两式统一写成（8） 本征能量：本征能量： （9） 本本征征函函数数（10） 为偶数为偶数（11） 为奇数为奇数(10)(10)和和(11)(11)两式统一写成两式统一写成由归一化条件求得归一化常数由归一化条件求得归一化常数推导推导:（取实数）（取实数）（12） 归一化归一化的本征的本征函数函数or 由此可见：粒子的每个定态波函数由此可见：粒子的每个定态波函数 是由两是由两个沿相反方向传播的个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波平面波叠加而成的驻波。三、粒子的定态波函数三、粒子的定态波函数四、几率幅与几率密度曲线图四、几率幅与几率密度曲线图五

33、、宇称五、宇称空间反射：空间矢量反向的操作。空间反射：空间矢量反向的操作。称波函数具有称波函数具有正宇称正宇称（或偶宇称）（或偶宇称）称波函数具有称波函数具有负宇称负宇称（或奇宇称）（或奇宇称）（3 3）在空间反射下，如果）在空间反射下，如果则则称称波函数没有确定的宇称。波函数没有确定的宇称。（1 1）在空间反射下，如果有：）在空间反射下，如果有： 则称波函数有则称波函数有确定的宇称。确定的宇称。讨讨论论基态基态能量能量（3 3） 取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。 （1 1）能量）能量 取分离谱，即能量是量子化取分离谱，即能量是量子化的。的。(2)(2)粒子能量最低

34、的态粒子能量最低的态 称为基态称为基态与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为表现，因为“静止的波静止的波”是没有意义的，亦即是没有意义的，亦即 的态不存在，无意义。的态不存在，无意义。本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称：本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： 而导致的。而导致的。（5 5）束缚态束缚态通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。（4 4）当）当 为偶数时，为偶数时， ，即，即 具有具有负宇称负宇称（奇宇称）。（奇宇称）。 当当 为奇数时，为奇数时， ，即，即 具有具有正宇称正宇称（偶宇称（偶宇称) )。2

35、.7 2.7 线性谐振子线性谐振子 在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力的粒子，受弹性力 作作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：其解为其解为 。这种运动称为简谐振动，作这种运。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子称为（线性）谐振子。动的粒子称为（线性）谐振子。经典允许的振动范围经典允许的振动范围谐振子在运动中能量守恒。谐振子在运动中能量守恒。其能量是振幅的连续函数其能量是振幅的连续函数。 1.经经 典典 谐谐 振振 子子 谐振子哈密顿量：谐振子哈密顿量：引引 言言 谐振子能量：谐振子能量： 量子力学中的线性谐振子是指在势场量

36、子力学中的线性谐振子是指在势场 中运动的质量为中运动的质量为 的粒子的粒子 2.2.量子谐振子量子谐振子 例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势 是二者相对距离是二者相对距离 的函的函数，如图所示。数，如图所示。 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的简谐

37、振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。Hamilton operator 定态定态SchrdingerSchrdinger方程：方程： 一、一、SchrdingerSchrdinger方程方程（1） 改写成改写成令令 （ 为待定常数） （2） （3） 于是方程（于是方程（2 2）可写成）可写成（4 4） 二、二、 方程的求解方程的求解当当 时，方程（时，方程（4 4）的渐近形式为）的渐近形式为 （5 5） 方程（方程（5 5）在）在 处的有限解为处的有限解为 令方程（令方程（4 4）的解）的解 （

38、6 6） 代入方程（代入方程（4 4）可得）可得 满足的微分方程满足的微分方程 (8)(8)（称为厄密方程）（称为厄密方程）(7)(7)是发散的 令 代入厄米方程，比较同幂项的系数，得：根据波函数的有限性条件：根据波函数的有限性条件：时：时：是一个只含有限项的级数是一个只含有限项的级数，级数将中断为多项式，称为厄米多项式必须满足 本征函数本征函数: : 用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（7 7）满）满足有限性条件（足有限性条件（8 8）的有限解，可得厄密方程本征）的有限解，可得厄密方程本征值问题的本征值：值问题的本征值：(9)(9)称为称为厄密多项式厄密多

39、项式厄密多项式的微分形式厄密多项式的微分形式积分公式积分公式 (10) (10)几个几个厄密多项式：厄密多项式：由归一化条件由归一化条件(11)(11)并运用积分公式：并运用积分公式： 求得归一化常数求得归一化常数(12)(12)三、三、 线性谐振子的能量本征函数线性谐振子的能量本征函数 (13) (13)归一化的本征函数归一化的本征函数本征波函数本征波函数(14)(14)四、四、 线性谐振子的本征能量线性谐振子的本征能量由由(2)(2)和和(9)(9)式式, ,即由即由 和和得本征能量得本征能量: : (15)(15)1 1 能量的本征值：能量的本征值： （1 1）能量谱为分离谱，两能级的间

40、隔为）能量谱为分离谱，两能级的间隔为 （2 2）对应一个谐振子能级只有一个本征）对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并函数，即一个状态，所以能级是非简并的，每个能级的简并度为的，每个能级的简并度为1 1（一能级对应（一能级对应的量子态数称为该能级的简并度）的量子态数称为该能级的简并度） （3 3）基态能量：）基态能量： （又称（又称零点能零点能） 零点能不等于零零点能不等于零是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的性的表现，能量为零的“静止的静止的” 波是没有意义的，零点能是波是没有意义的，零点能是量子效应，已被

41、绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实量子效应，已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实 。讨讨 论论基态能量：基态能量：基态本征函数：基态本征函数：2. 2. 基态基态在在 处的势能：处的势能：在在 范围内动能范围内动能由几率密度由几率密度看出看出, ,粒子在粒子在 处出现的几率最大；在处出现的几率最大；在 范围范围内，粒子出现的几率不为零。对其它各能级状态下的内，粒子出现的几率不为零。对其它各能级状态下的波函数可作类似的分析。波函数可作类似的分析。 在经典情形下，粒子将被限制在在经典情形下，粒子将被限制在 范围中运动。范围中运动。这是因为振子在这是因为振子在 处，其势能处，其势能 ，即势

42、能等，即势能等于总能量，动能为零，经典的粒子动能不可以小于零，于总能量，动能为零，经典的粒子动能不可以小于零，因此粒子被限制在因此粒子被限制在 内。内。可见，量子与经典情况完全不同。可见，量子与经典情况完全不同。3. 3. 具有具有 宇称宇称 上式谐振子波函数所包含的上式谐振子波函数所包含的 是是 的偶函的偶函数，所以数，所以 的宇称由厄密多项式的宇称由厄密多项式 的宇称决定。的宇称决定。由于由于 的最高次项是的最高次项是 。当。当 偶数，则厄密偶数，则厄密多项式只含多项式只含的偶次项的偶次项( (偶宇称偶宇称) )； 当当 奇数，则奇数，则厄密多项式只含厄密多项式只含的奇次项的奇次项( (奇

43、宇称奇宇称) ) 。所以。所以, , 具具有有 宇称宇称4 4本征函数与几率密度本征函数与几率密度n=10n=10时谐振子的几率密度时谐振子的几率密度 从以上本征函数与几率从以上本征函数与几率密度曲线图看出，量子力学密度曲线图看出，量子力学的谐振子波函数的谐振子波函数n n有有 n n 个个节点，在节点处找到粒子的节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐几率为零。而经典力学的谐振子在振子在 -a, a -a, a 区间每一区间每一点上都能找到粒子，没有节点上都能找到粒子，没有节点。点。势垒贯穿是能量为势垒贯穿是能量为E E的粒子入射被势场散射的问题的粒子入射被势场散射的问题2.8 2.

44、8 势垒贯穿势垒贯穿 一维方势垒一维方势垒方势垒是一方势垒是一种典型势垒种典型势垒一、定态薜定谔方程一、定态薜定谔方程0 aV(x) V0I II IIIE令令 EU0 EU0 情形情形则方程变为则方程变为分分区区取取解解二、二、 方程的求解方程的求解向右传播的向右传播的入射平面波入射平面波向左传播的向左传播的反射平面波反射平面波由左向右的透射波由左向右的透射波因因区无由右向左传播区无由右向左传播的平面波，故的平面波，故三三式式均均为为两两个个左左右右传传播播的的平平面面波波的的叠叠加加 可得透射波振幅可得透射波振幅 及反射波振幅及反射波振幅 与入射波与入射波振幅振幅 间间的关系的关系联立这四

45、个方程式，联立这四个方程式，消除消除 与与由由波波函函数数的的连连续续性性条条件件 （4 4）（5 5）利用几率流密度公式利用几率流密度公式: :求得入射波求得入射波 的几率流密度的几率流密度 透射波透射波 的几率流密度的几率流密度 反射波反射波 的几率流密度的几率流密度 为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。反射的几率，定义透射系数和反射系数。三、透射系数和反射系数三、透射系数和反射系数透射透射系数系数（6 6）反射反射系数系数（7 7）以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到

46、的的IIIIII区域，另一部分则被势垒反射回来。区域，另一部分则被势垒反射回来。表明粒子数守恒表明粒子数守恒 是虚数是虚数令令是实数是实数其中在在(4)(4)和和(6)(6)式中，把式中，把 换为换为 ，得到，得到透射波振幅透射波振幅: : （8 8）EU0EU0情形情形透射系数透射系数: : （9 9）隧道效应隧道效应 （tunnel effecttunnel effect） 粒子能够穿透比它粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象动能更高的势垒的现象称为称为隧道效应隧道效应. .它是粒它是粒子具有波动性的生动表子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显在一

47、定条件下才比较显著。右图给出了势垒穿著。右图给出了势垒穿透的波动图象。透的波动图象。此结果表明，即使此结果表明，即使 ，透射系数，透射系数 一般不等于零。一般不等于零。0 aV(x)V0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波x讨讨 论论于是于是（1010）式式(9)(9)化成化成1 1 . . 低低能能粒粒子子穿穿透透因因 与与 同数量级，同数量级， 则则 故故4可忽略可忽略表明表明 随垒宽随垒宽 和和垒高垒高 的增大而的增大而成指数减小。成指数减小。当当 很小，或很小，或 ，而，而 又不太小时，有又不太小时，有 ，则则 2 2 . . 任任意意形形状状的的势势垒垒可把任意形状的势垒分割成可把

48、任意形状的势垒分割成许许 多小势垒，这些小势垒可多小势垒，这些小势垒可以近以近 似用方势垒处理。似用方势垒处理。对每一小方势垒透射系数对每一小方势垒透射系数E0 a bV(x) 则贯穿整个势垒的则贯穿整个势垒的 透射系数等于贯穿这些小方透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即势垒透射系数之积，即此式的推导虽不太严此式的推导虽不太严格，但该式与严格推格，但该式与严格推导的结果一致。导的结果一致。四、应用实例四、应用实例 19621962年年,Josephson,Josephson发现了发现了JosephsonJosephson节。将两块超节。将两块超导体用一绝缘层隔开导体用一绝缘层隔开, ,

49、如果绝缘层较厚如果绝缘层较厚, ,电流则不易通电流则不易通过绝缘层。但如果绝缘层够薄，则超导体中的也库珀过绝缘层。但如果绝缘层够薄，则超导体中的也库珀电子对按一定几率穿透绝缘层形成电流。电子对按一定几率穿透绝缘层形成电流。JosephsonJosephson节是宏观量子隧道效应的一个典型例子节是宏观量子隧道效应的一个典型例子 量子力学提出后，量子力学提出后，Gamow Gamow 首先用势垒穿透成功的首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的说明了放射性元素的衰变现象。衰变现象。 隧道效应隧道效应在固体物理学中得到广泛的应用，它已在固体物理学中得到广泛的应用，它已经用来制造一些不同种类的电子器件。

50、经用来制造一些不同种类的电子器件。 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜就是利用穿透势垒的电流对于金属就是利用穿透势垒的电流对于金属探针尖端同待测物体表面的距离很敏感的关系，可以探针尖端同待测物体表面的距离很敏感的关系，可以探测到探测到 量级高低起伏的样品表面的量级高低起伏的样品表面的“地形图地形图”例例1: 1: 入射粒子为电子。入射粒子为电子。设 E=1eV, U0 = 2eV, a = 2 10-8 cm = 2， 算得算得 D 0.51。若若a=5 10-8cm = 5 ， 则 D 0.024，可，可见 透射系数迅速减小。透射系数迅速减小。 质子与子与电子子质量比量比 p/e 1840。 对于

51、于a = 2 则 D 2 10-38。 可可见透射系数明透射系数明显的依的依赖于于 粒子的粒子的质量和量和势垒的的宽度。度。例例2: 2: 入射粒子为质子。入射粒子为质子。 由例由例1、2看出，只有粒看出，只有粒子的质量和势垒宽度比较子的质量和势垒宽度比较小时，小时，隧道效应隧道效应才显著才显著1 1波函数及其统计解释波函数及其统计解释 （2 2）坐标表象中的波函数）坐标表象中的波函数: : 第二章第二章 小结小结 （1 1）波函数又称为几率幅，它的模方给出粒子的几率。）波函数又称为几率幅，它的模方给出粒子的几率。 几率幅无直接可测的意义，其模方才有直接可测的意义。几率幅无直接可测的意义，其模

52、方才有直接可测的意义。给出给出t t 时刻粒子处在位置时刻粒子处在位置 处的几率处的几率 给出给出t t 时刻粒子动量为时刻粒子动量为 的几率的几率 动量表象中的波函数：动量表象中的波函数：互为互为FourerFourer变换与逆变换变换与逆变换(3) (3) 波函数的归一化问题波函数的归一化问题2 2态迭加原理及其实验基础态迭加原理及其实验基础3 3SchrdingerSchrdinger方程及其建立的基本思路方程及其建立的基本思路动量算符动量算符 的引入的引入4 4定态定态SchrdingerSchrdinger方程及定态的特征。方程及定态的特征。 能量算符能量算符 的引入。的引入。 Ha

53、milton Hamilton（能量）算符及本征值方程。（能量）算符及本征值方程。 能量算符的本征值与本征波函数。能量算符的本征值与本征波函数。 定态的判断。定态的判断。5 5几率流密度与守恒律。几率流密度与守恒律。6 6三个典型实例三个典型实例（一维无限深势阱，一维线性谐振（一维无限深势阱，一维线性谐振 子，一维势垒）子，一维势垒）的研究。的研究。掌握一维薛定谔方程求解。掌握一维薛定谔方程求解。对对于于求求解解一一维维薛薛定定谔谔方方程程，应应掌掌握握边边界界条条件件的的确确定定和和处理方法。关于一维定态问题要求如下：处理方法。关于一维定态问题要求如下：a a掌握一维无限深势阱的求解方法及其物理讨论；掌握一维无限深势阱的求解方法及其物理讨论；b b掌掌握握一一维维谐谐振振子子的的能能谱谱及及其其定定态态波波函函数数的的一一般般特特点；点；c c了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释。了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释。2.1证明定态概率流密度与时间无关 证明：2.2 由下列定态波函数计算概率流密度，并说明 这两个球面波的传播方向：（1） 沿着径向传播； （2） 沿着径向反向传播。 设一维运动粒子的波函数为 其中 （1）求归一化常数A； （2）写出 范围内找到粒子的几率 可能用到的公式