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1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法第四章第四章 拉普拉斯方程的格林函数拉普拉斯方程的格林函数法法一 拉普拉斯方程边值问题的提法1 第一边值问题（狄氏问题）2 第二边值问题（牛曼问题）3 内问题与外问题4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法二 格林公式及其结论格林公式的结论：1 调和函数的积分表达式拉普拉斯方程的基本解数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法2 牛曼内问题有解的必要条件3 平均值公式4 拉普拉斯方程解
2、的唯一性问题调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。取狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法三 格林函数原点处点电荷电量 ，点电荷密度处点电位即 处点电荷电量点电荷密度处点电位数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法纯点源产生的场（不计初始条件和边界条件的影响）自由空间的格林函数线性系统线性系统1 格林函数定义数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法对泊松问题
3、对拉普拉斯问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法2 拉普拉斯方程的格林函u，v均为调和函数v为调和函数，且满足数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法3 区域的格林函数和狄氏问题的解电象法求格林函数 在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。半空间的格林函数v为调和函数，且满足数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法例1 求解下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法例2 求解下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法四分之一空间的格林函数 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第4 4章格林函数法章格林函数法球内的格林函数 M0点处点电荷电量 ，M1点处点电荷电量
