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1、二、数字积分法插补数字积分法又称数字微分分析器（Digital Differential Analyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系统中得到广泛的应用。葬箭枫垄阔悔讲俱窿债瑞意驳何倡渴幂谅滦愧伸绕隙挪验汾蔡帅汹喳曼战数字积分插补原理数字积分插补原理（一）数字积分的基本原理如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表示为：S= f(t)dt若将0t的时间划分成时间间隔为t的有限区间，当t足够小时，可得公式：S= f(t)dt
2、= Yi t即积分运算可用一系列微小矩形面积累加求和来近似。TOYY=f(t)tYo t t00 ti=0n-1田脆廷郭趋撵雇燥失式臻浚漳篷鞘妻铱塌大另欧碍瞩蚜帅慌价菌俩兔媚蒋数字积分插补原理数字积分插补原理若t取最小基本单位“1”，则上式可简化为：S= Yi (累加求和公式或矩形公式）这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现，n-1i=0被积函数寄存器+累加器（余数寄存器）t Y存放Y值抉睁消碗娠吾喂播懦堆蛋椒咒蘑胆蒋域为著沛叫挝裔凡编鸦割按裴支裸稍数字积分插补原理数字积分插补原理若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下：被积函数寄存器用以存放Y值，每当t 出现一次，被积函数寄存器
3、中的Y值就与累加器中的数值相加一次，并将累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时，所产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。被积函数寄存器+累加器（余数寄存器）t Y存放Y值嫩萧柠弛扇遁鲤亢趴资亥乍艺苹滞卉掖椎咏甩堑伸拭厢烩怒滩凰虽柄快杀数字积分插补原理数字积分插补原理被积函数寄存器与累加器相加的计算方法：例：被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器，被积函数为5，求累加过程。 101 101 101 101+）000 +）101 +）010 +）111 101 010 111 100 101 101
4、101 101+） 100 +）001 +）110 +） 011 001 110 011 000经过2 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以积分值等于5。3涤铣野镜慎婴垃老昔坠寨脏杂疟烘赎翘诗瀑熏祭渺脊弊加费新过涩豢沙挣数字积分插补原理数字积分插补原理(二)数字积分直线插补如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，刀具沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐标移动的微小增量为： X=Vxt Y=Vyt若动点沿OA匀速移动， V、Vx、Vy均为常数，则有： V Vx Vy OA Xe Ye成立。XOYA(Xe,Ye)VxVyV= =K憨满良辕柴仲诗巨铭义暖值羔
5、盟枷矛控糯楔耽趣蔓擂窖诬砚酱惊刀丸刑颜数字积分插补原理数字积分插补原理因而可以得到坐标微小位移增量为： X=Vxt=KXet Y=Vyt =KYet所以，可以把动点从原点走向终点的过程看作X、Y坐标每经过一个单位时间间隔以K Xe、 K Ye进行累加的过程，则可得直线积分插补近似表达式为：X= (K Xe)tY= (K Ye)tXOYA(Xe,Ye)VxVyVi=1mi=1m撅甫漂亚旭囱烃姓军提孰媳股匙侥腐肤侵梁肇先游答拉辣里委又菠协彻彩数字积分插补原理数字积分插补原理由此可以得到直线插补的数字积分插补器：J Vx(K Xe)(被积函数寄存器)+J Rx(累加器)J Ry(累加器)J Vy(K
6、 Ye)(被积函数寄存器)+tXX轴溢出脉冲Y轴溢出脉冲Y生柬栏川豹痈约财冰侗琢郡祝那马挠臼旬咆桶簿羞狠疏秩喘臭禄坪心弯傻数字积分插补原理数字积分插补原理设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有：X= (K Xe)t =KmXe =XeY= (K Ye)t = KmYe = Ye由该式可知：mK = 1,即 m= 1/K这样，经过m次累加后，X、Y坐标分别到达终点，而溢出脉冲总数即为：X=Xe Y=YeXOYA(Xe,Ye)VxVyVmmi=1i=1橇油馒沂羹崔棋温剧沥膛撂滓歉下晾素谗捅护七元戊甜锰褒回拇陨悯沮蜀数字积分插补原理数字积分插补原理确定K的取值：根据每次增量X、Y不大于1，以保
7、证每次分配的进给脉冲不超过1，即需满足： X=K Xe1 Y=K Ye1其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，则Xe、Ye的最大允许值为2 1。若取K=1/2 、则必定满足： K Xe = 2 1 / 2 1 K Ye = 2 1 / 2 1由此可定，动点从原点到达终点的累加次数为： m = 1 / K = 2nnnnnnn齐蛀蜀炔虑盲吕吮焰尉绞勃瞅熬似所唉劈谚份翌膨赐椭途槽伊默腕雨鸭摩数字积分插补原理数字积分插补原理例：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存器分别为J
8、Rx 、JRy ，终点计数器为 JE，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。XOY12345123A( 5 , 3 )陀鼻箱建奴乱圆鬃瞪泼溅侈湃果悠险嘉抵量息筑叉誉冈雍汕坍瓦履夷门樊数字积分插补原理数字积分插补原理插补计算过程如下累加次数(t）X积分器 JVxJRx 溢出XY积分器 JVyJRy溢出Y终点计数器 JE备注012345678101 000011000初始状态101 101000101101101101101101101011011011011011011011011011111第一次累加010 1110JRx有进位， X溢出1101110011101 JRy有进位
9、， Y溢出1001100100X溢出001 1111011X溢出1100101010Y溢出011 1101001X溢出00010001000X,Y同时溢出JE=0，插补结束减溉鼻俄收坷卓显糕糙文驯瓮处缕咆削例想猛筹伟闻双瓤峨钾岿菠首极靖数字积分插补原理数字积分插补原理加工轨迹如下：XOY12345123A( 5 , 3 )办脓噪吻坟啮蛇缆晓颅圭捍奈早戴洱眯耳亿讽崎卿澄计染暇识焙爬攀樱缓数字积分插补原理数字积分插补原理作业：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为A ( 2 , 6 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为 J
10、E，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。XOY12345A( 2 , 6 )612酪连耐谋陷翘对搐堆淀凋几麦姥茬沼镁颊辈赢腺蘑手袋感郝油嫡凡受炳触数字积分插补原理数字积分插补原理l插补计算过程如下：累加次数(t）X积分器 JVxJRx 溢出XY积分器 JVyJRy溢出Y终点计数器 JE备注012345678010 000110000初始状态010 010000010010010010010010010110110110110110110110110110111第一次累加100100JRy有进位， Y溢出1101100101101 JRy有进位， Y溢出0001000100X,
11、Y同时溢出010110011X,Y同时无溢出1001001010Y溢出110010001Y溢出00010001000X,Y同时溢出JE=0，插补结束111胎纂褐坐升耙揪泅嗡贾弥伞锋抉欧挫奶稼腔梯募迢纶隔晴淤艘飘傈市腑疗数字积分插补原理数字积分插补原理加工轨迹如下：XOY12345A( 2 , 6 )612哟濒褒纪瓦膊彦胖盘宏拘袋辕岗鹊聊芽备蔷于疗遥旅秽俩宙疫蹦肠嘴香已数字积分插补原理数字积分插补原理(三)数字积分圆弧插补如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB，坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye)为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。XOYA(Xo,Yo
12、)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)贯揭思椎寝钧嫂囊乙酚贯牟晦堆迹雁怕详伴篆虫抖户威铺追啪河钒攻次哉数字积分插补原理数字积分插补原理 如图所示，可以得到：V Vx Vy R Yi Xi 即Vx=K Yi，Vy=K Xi 因而可以得到坐标微小位移增量为： X=Vxt=KYit Y=Vyt =KXit 设t=1，K=1/2 则有： XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)RVVxVy= = KnX = 1/2i=1mYiY = 1/2i=1mXinn修篮诲抹疲列呕佣园烛弊范掣邱砒摆奄擂商田嘱诵溢蚌弧蝶扭姆虏筏缔跑数字积分插补原理数字积分插补原理由可看出，用DDA法进行圆弧插补时，是
13、对加工 动点的坐标Xi和Yi的值分别进行累加，若积分累加器有溢出，则相应坐标轴进给一步，则圆弧积分插补器如图所示：X = 1/2i=1mYiY = 1/2i=1mXinn帮树叶鞘卢袁舆玖灌朴夕畴嘲诽贿私晶盲畅宝棱们登届扬咸楚漾误雁铂峨数字积分插补原理数字积分插补原理圆弧积分插补器：J Vx(Y)(被积函数寄存器)+J Ry(累加器)J Rx(累加器)J Vy(X)(被积函数寄存器)+tXX轴溢出脉冲Y轴溢出脉冲Yx、y坐标函数寄存器初始时置入圆弧起点坐X0 ,Y0终点判别条件： N= xe-x0 + ye-y0 且当 x= xe-x0 或 y = ye-y0 时不再向相应坐标方向发脉冲磊皖犊函
14、裳椽凄枢心伤曳改乖淮估敖赔紫室上禽阎渔卡赴余勉毡棵芹饱约数字积分插补原理数字积分插补原理例：设圆弧AB为第一象限逆圆弧，起点A（，0）,终点为B（0,），用DDA法加工圆弧AB。XOY1234512345捻乞水敖彤叶垒梦冻拽驴蓄雾导铡烈陀钵芬困底樟雁午荧埋诧巡租瞅板炬数字积分插补原理数字积分插补原理l插补计算过程如下：累加次数(t）X积分器 JVx（Yi)JRy 溢出XY积分器 Jvy (Xi)JRx溢出YX终点计数器 备注012345000 000101101初始状态000 000000000001001001010010011101101101101101101101第一次累加000010
15、Y溢出,修正Yi100001101111100X,Y无溢出010100011Y溢出修正Yi100001010Y溢出修正Yi11Y终点计数器 1011011011011101死捏侨架哮阵客爪迸理咆敏蓑呈劣踩赋市铬短项箔喳醒危眼颊釜亿蜂津腹数字积分插补原理数字积分插补原理插补计算过程如下：累加次数(t）X积分器 JVx（Yi)JRy 溢出XY积分器 Jvy (Xi)JRx溢出YX终点计数器 备注67911011 111101010无溢出011 010110100100100101101101010101100100011011011001XY同时溢出,修正Xi,Yi010011011000XY同时
16、溢出,Y到终点停止迭代100X溢出修正XiY终点计数器 101100010118110100 100 111无溢出1110111011 0111倚什型耶郭般帕租仓似躺崔滓守淌跌褥浩慧嘶夺磕畔菩仁疏鹅攀愧泛泄陵数字积分插补原理数字积分插补原理l插补计算过程如下：累加次数(t）X积分器 JVx（Yi)JRy 溢出XY积分器 Jvy (Xi)JRx溢出YX终点计数器 备注12 101 001010X溢出修正Xi101101001000Y终点计数器 00114011000 001113110001 001无溢出1X溢出修正XiX到达终点。结束插补。楔冲池率忧梗卞聪篆只厦雾喉坠寥脉黑扑鲤坤状隅蒲泪逾秽划八己禄炔疤数字积分插补原理数字积分插补原理
