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1、 我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿的牙齿, ,发明了发明了锯锯；人们；人们仿照鱼类的外型和它仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理们在水中沉浮的原理,发明了发明了潜水艇潜水艇.仿生学仿生学中许多发明的最初构想中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的都是类比生物机制得到的. 苍蝇的楫翅（又叫平衡棒）是苍蝇的楫翅（又叫平衡棒）是“天然导航仪天然导航仪”，人们模仿它制成了人们模仿它制成了“振动陀螺仪振动陀螺仪”.这种仪器目前已这种仪器目前已经应用在火箭和高速飞机上，实现了自动驾驶。经应用在火箭和高速飞机上，实现了自动驾驶。 苍蝇的眼睛是一种苍蝇的眼睛是一
2、种“复眼复眼”，由，由3000多只小眼多只小眼组成，人们模仿它制成了组成，人们模仿它制成了“蝇眼透镜蝇眼透镜” ，一次就能，一次就能照出千百张相同的相片。照出千百张相同的相片。 火星上是否有生命？火星上是否有生命？探索新知探索新知2.1.12.1.1合情推理合情推理类比推理类比推理球与圆在都具有球与圆在都具有完美的对称性完美的对称性，都是，都是到定点的距离等于到定点的距离等于定长的点的集合定长的点的集合.类比圆的性质，球会有怎样的性质呢？类比圆的性质，球会有怎样的性质呢？圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两
3、弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-y+(y-y0 0) )2 2 = r= r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与截面球心与截面( (不过球心的不过球心的圆面圆面) )的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等, ,距球心较近的面
4、积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心, r, r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积 由两类对象具有某些类似特征和其中由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类对象也具有这些特征的推理称为类类比推理
5、（简称类比）比推理（简称类比）简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理一、类比推理的概念一、类比推理的概念等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式前前n项和项和例例1、利用等差数列性质类比等比数列性质、利用等差数列性质类比等比数列性质等差数列等差数列等比数列等比数列中项中项性质性质n+m=p+q时时,am+an= ap+aqn+m=p+q时时,aman= apaq任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项 ，为，为当且仅当当且仅当a、b同号时同号时才才有等比中项有等比中项 ，为，为成等差数列成等差数列成等比数列成等比数列下标等差下标等差,项等
6、差项等差下标等差下标等差,项等比项等比例例2、类比、类比平面内平面内的的三角形三角形的性质猜想的性质猜想 空间中空间中的的四面体四面体(三棱锥三棱锥)的性质的性质练习练习1（2004广东，广东，15） 由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:图图(1)图图(2)直角三角形直角三角形3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体C903个边的长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边cPDFPDEEDF90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面” S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面” S练习练习2：类比平面
7、内直角三角形的勾股定理：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想思考：这个结论是正确的吗？思考：这个结论是正确的吗？ 类比角度类比角度实数的加法实数的加法实数的乘法实数的乘法 运算结果运算结果 运算律运算律(交换、结合律交换、结合律) 逆运算逆运算 单位元单位元例例3 3、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质分析分析：实数的加法和乘法都是两个数参与的运算，都满足一定的：实数的加法和乘法都是两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且运算律，都存在逆运算，而且“0”和和“1”分别在加
8、法和乘法中分别在加法和乘法中占有特殊的地位，所以可从这占有特殊的地位，所以可从这4方面进行类比。方面进行类比。二、类比推理的一般步骤：二、类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象用一类对象的已知特征去推测另一类对象 的特征，从而得出一个猜想；的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。检验猜想。三、类比推理的几个特点：三、类比推理的几个特点：1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性, ,推测推测正在研究的事物的属性正在研究的事物的属性, ,是以是以旧旧有的认识为基础
9、有的认识为基础, ,类比出类比出新新的结果的结果. .2.2.类比是从一种事物的类比是从一种事物的特殊特殊属性推测另一种事物属性推测另一种事物的的特殊特殊属性属性. .3.3.类比的结果是猜测性的类比的结果是猜测性的不一定可靠不一定可靠, ,但它却有但它却有发现的功能发现的功能. .四、归纳推理和类比推理的共同点四、归纳推理和类比推理的共同点 归纳推理归纳推理和和类比推理类比推理都是根据已有的事实都是根据已有的事实,经经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推合情推理理
10、.从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想合情推理合情推理通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。 合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论情推理常常能帮助我们猜测和发现结论. . 证明一个数学结论之前，合情推理常常证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向能为我们提供证明的思路和方向. .(2005年全国年全国)计算机中常用的十六进位制是逢计算机中常用的十六进位制是逢16进进
11、1的计算制，采用数字的计算制，采用数字0-9和字母和字母A-F共共16个计数符个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；十六进位十六进位十进位十进位例如用例如用16进位制表示进位制表示+1，则，则（）（）十六进位十六进位9十进位十进位9101112131415E E平面向量平面向量空间向量空间向量若若 ， 则则 若若 ， 则则 利用利用平面向量平面向量的性质类比得的性质类比得空间向量空间向量的性质的性质发现发现行星三大行星三大运动运动定律的定律的开开普勒普勒曾说：曾说：“我珍视类比胜过任何别的东西，我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。揭示自然界的秘密。” 数学家波利亚曾指出数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路人类比是一个伟大的引路人, ,求求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题. .”平面与空间中的余弦定理平面与空间中的余弦定理平面：平面：三角形三角形ABC中，中，空间：空间：四面体四面体A-BCD中，中，设二面角设二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次为的大小依次为
