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1、第第4.34.3节节 齐次线性方程齐次线性方程 组解的结构组解的结构主要内容主要内容一、齐次线性方程组非零解的存在性一、齐次线性方程组非零解的存在性二、齐次线性方程组解的性质二、齐次线性方程组解的性质三、基础解系及其求法三、基础解系及其求法四、思考与练习四、思考与练习一、齐次线性方程组非零解的存在性一、齐次线性方程组非零解的存在性定理定理1. AX=0有非零解的充要条件是系数矩阵有非零解的充要条件是系数矩阵A的秩的秩r(A)n推论推论1. AX=0只有零解的充要条件是只有零解的充要条件是r(A)=n推论推论2. 方程个数方程个数m小于未知量个数小于未知量个数n时时,AX=0必有非零解必有非零解
2、;当当m=n时时,AX=0有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是|A|=0.推论推论3. 当当m=n时时,AX=0只有零解的充要条件是只有零解的充要条件是|A|0.二、齐次线性方程组解的性质二、齐次线性方程组解的性质定理定理4.3:4.3:证证: :注注:的所有解向量的集合，对加法和数乘的所有解向量的集合，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的线性方程组的解空间解空间。基础解系的定义基础解系的定义三、基础解系及其求法三、基础解系及其求法即即(*)(*)式称为方程组的式称为方程组的通解公式通解公式设齐次线性方程组的系数矩阵为
3、设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关于是于是 可化为可化为定理定理4.4:4.4:依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的n-r个解个解 所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线性方程组解空间的一个基.注注: 解空间的基不是唯一的任意解空间的基不是唯一的任意n-r(A) 个线性无个线性无 关的解都是基础解系关的解都是基础解系2 若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 例例1 求下列齐次方程组的通解。求下列齐次方程组的通解。解解：初等行变换初等行变换行最简形矩阵对应的方程组为行最简形矩阵对应的方程组为法法
4、1：先求通解，再求基础解系先求通解，再求基础解系即即是自由是自由未知量。未知量。令令则则即即为任意常数。为任意常数。法法2：先求基础解系，再求通解。先求基础解系，再求通解。由由令令得得令令得得则通解为则通解为为任意常数）为任意常数）解：解：初等行变换初等行变换所以只有零解。所以只有零解。例例2 2 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.解解 对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行标准形，有作初等行变换，变为行标准形，有例例3 3证证:思考题思考题: :四、思考与练习四、思考与练习解解: :课堂练习：课堂练习： 答案：答案： 1、D ；2、D；3、k1,1,.,1T
