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1、3.3.1 3.3.1 二元一次不等式（组）二元一次不等式（组）与平面区域与平面区域观察下列式子观察下列式子: 1、 2、 3、 4、 5、问题：问题：你能试着给出你能试着给出二元一次不等式二元一次不等式和和二元一二元一次不等式组次不等式组的定义吗？的定义吗？一、新课引入一、新课引入 （1）二元一次不等式：）二元一次不等式： 含有两个未知数，并且未知数的最高次数含有两个未知数，并且未知数的最高次数是是1的不等式；的不等式； （2）二元一次不等式组）二元一次不等式组： 由几个二元一次不等式组成的不等式组；由几个二元一次不等式组成的不等式组； （3）二元一次不等式（组）的解集：）二元一次不等式（组
2、）的解集： 二元一次不等式（组）和二元一次不等式（组）解集定义二元一次不等式（组）和二元一次不等式（组）解集定义 满足二元一次不等式（组）的满足二元一次不等式（组）的x和和y的取值构成有的取值构成有序实数对（序实数对（x, ,y），），所有这样的有序实数对所有这样的有序实数对（x, ,y）构成的）构成的集合集合称为二元一次不等式（组）称为二元一次不等式（组）的解集。的解集。此解集可以看成是此解集可以看成是直角坐标系内的直角坐标系内的点点构成的集合构成的集合。一家银行的信贷部计划年初投入一家银行的信贷部计划年初投入2500万用于企业万用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少带来和个人贷款，希望这笔资
3、金至少带来3万元的收益，万元的收益，其中从企业贷款中获益其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益，从个人贷款中获益10%.那么，信贷部应该如何分配资金呢；那么，信贷部应该如何分配资金呢； 问题：问题：你能列出题目中所存在的你能列出题目中所存在的不等关系不等关系吗？吗？ 解：解： 设用于企业贷款的资金为设用于企业贷款的资金为x万元，用于个人贷款的资金为万元，用于个人贷款的资金为y万元万元抽象出数学模型，分配资金应满足的条件：抽象出数学模型，分配资金应满足的条件： 二、创设情景二、创设情景你知道不等式你知道不等式组组的解集的解集所表示所表示图图形形吗吗？x x4 40 0-3-3思考思考: :
4、那么，在直角坐标系内，那么，在直角坐标系内，二元一次不等式二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？（组）的解集表示什么图形呢？一元一次不等式一元一次不等式( (组组) )的解集所表示的图形的解集所表示的图形-数轴上的区间数轴上的区间回忆回忆: : 探究：二元一次不等式（组）的解集表示的图形探究：二元一次不等式（组）的解集表示的图形 二元一次不等式二元一次不等式x y 6的解集所表示的图形。的解集所表示的图形。 作出作出xy = 6 = 6 的图象的图象 一条直线，一条直线，直线把平面分成三部分。直线把平面分成三部分。 Oxyx y = 6左上方左上方区域区域右下方区域右下方区域直线上直线上三
5、、新知探究三、新知探究 验证：设点验证：设点P（x，y 1）是直）是直线线x y = 6上的点，选取点上的点，选取点A（x，y 2），使它的坐标满），使它的坐标满足不等式足不等式x y - 9- 9- 8- 8-6-6-7-7-5-5 -4-4 -3-3新知探究：新知探究：Oxyx y = 6新知探究：新知探究： 当点当点A与点与点P有相同的横坐标有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关时，它们的纵坐标有什么关系？系？直线直线x y = 6左上方点左上方点的的坐标坐标与不等式与不等式x y 6有什么关系有什么关系？直线直线x y = 6右下方点的坐标右下方点的坐标呢？呢？ Oxyx y = 6
6、( A ( A点纵坐标大于点纵坐标大于P P点纵坐标点纵坐标) )（左上方点的坐标满足不等式）（左上方点的坐标满足不等式）（右下方点的坐标不满足不等式）（右下方点的坐标不满足不等式）结论结论 不等式不等式x y 6表示表示直线直线x y = 6右下方右下方的平面区域；的平面区域； 直线叫做这两个区域的直线叫做这两个区域的边界边界新知探究：新知探究： 从特殊到一般情况：从特殊到一般情况： 二元一次不等式二元一次不等式Ax + By + C0在平面直角坐在平面直角坐标系中表示标系中表示直线直线Ax + By + C = 0某一侧所有点某一侧所有点组成的平面区域。组成的平面区域。（虚线表示区域不包括
7、边界（虚线表示区域不包括边界直线）直线） OxyAx + By + C = 0结论一 二元一次不等式表示相二元一次不等式表示相应直线的某一侧区域应直线的某一侧区域二元一次不等式表示直线的哪一侧平面区域的二元一次不等式表示直线的哪一侧平面区域的判断方法判断方法？ 由于直线由于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点同一侧的所有点( (x,y) )代代入入Ax+By+C所得实数的符号都所得实数的符号都相同相同( (同侧同号同侧同号) )，所以只需在直线的某一侧取一个所以只需在直线的某一侧取一个特殊点特殊点( (x0,y0),),根根据据Ax+By+C的正负即可判断的正负即可判断Ax+By+C0 0表示
8、直线表示直线的哪一侧区域。的哪一侧区域。结论二直线定界，特殊点定域。直线定界，特殊点定域。 例例1 1：画出不等式画出不等式 x + 4y 4表示的平面区域表示的平面区域 x+4y4=04=0解：解：(1) 先画直线先画直线x + 4y 4 = 0 （画成虚线）（画成虚线） (2) 取取原点（原点（0，0）， 代入代入x + 4y 4， 0 + 40 4 = 4 0原点在原点在x + 4y 4 0表示的平表示的平面区域内，不等式面区域内，不等式x + 4y 4 0表示的区域如图所示。表示的区域如图所示。xy14直线定界直线定界特殊点定域特殊点定域例题分析例题分析1.1.线定界线定界2.2.点定
9、域点定域分别在坐标系画出下列不等式表示的平面区域分别在坐标系画出下列不等式表示的平面区域(1) x-y+50(2) x+y0(3) x 30xyx-y+5=0-550xyx+y=00xyx=3课堂练习课堂练习1例例2 2：画出不等式组画出不等式组 表示的平面区域表示的平面区域OXYx+y=0x=3x=3x-y+5=0x-y+5=0注：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平注：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的面区域的公共部分。公共部分。-5 55 51.1.线定界线定界2.2.点定域点定域3.3.交定区交定区 画出不等式组画出不等式组 表示的平面区域表示的平面区域y0 1 2
10、3 x 2 112所以黄色阴影部分即所以黄色阴影部分即为所求。为所求。课堂练习课堂练习23.3.1 3.3.1 二元一次不等式（组）二元一次不等式（组）与平面区域与平面区域(2)(2) 一般地：一般地： 二元一次不等式二元一次不等式Ax + By + C0( (或或0)0)在平面直在平面直角坐标系中表示直线角坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有某一侧所有点组成的平面区域点组成的平面区域.（虚线虚线表示区域不包括边界表示区域不包括边界直线）直线） 注注1 1：OxyAx + By + C = 0 直线定界，特殊点定域直线定界，特殊点定域. . 若若直线不过原点（即直线不过原点
11、（即C C00 ），常把，常把原点（原点（0,00,0）作为特殊点作为特殊点. .若直线经过原点（即若直线经过原点（即C=0 ），常选），常选（1，0）、（）、（-1，0）、）、（0，1）、）、(0, -1)等特殊点代入判断等特殊点代入判断.-特殊点法特殊点法. .例例3.3.要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成、三种、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：数如下表所示：A A规格规格规格规格规格规格第一种钢板第一种钢板2 21 11 1第二种钢板第二种钢板1 12 23 3今需要三种规格的成品分别为今需要三种
12、规格的成品分别为1515，1818，2727块，用数学关系式和图形表示上述要求。块，用数学关系式和图形表示上述要求。解：解：设需要截第一种钢板设需要截第一种钢板x x张，第二种钢板张，第二种钢板y y张，则张，则2x+y 2x+y 1515X+2y X+2y 18 18X+3y X+3y 27 27x 0x 0y 0y 0x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=182 4 61812827246810152x+y2x+y 15 15X+2y X+2y 1818X+3y X+3y 2727x 0x 0y 0y 0例例4.4.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥
13、料，生产1 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,4t,硝酸盐硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t，硝酸盐，硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t,10t,硝酸盐硝酸盐66t,66t,在此在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。的数学关系式，并画出相应的平面区域。18x+15y =6618x+15y =661 12 23 34 4x x0 05 5 10104x+y=104x+y=10解：解：
14、设设x , yx , y分别为计划生产甲、乙两种混合肥分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件料的车皮数，于是满足以下条件4x+y104x+y1018x+15y 6618x+15y 66x0x0y 0y 0y y1.如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)0的点(x,y)所在区域应为：( )By12xO(C)y12xO(D)y12xO(A)y12xO(B)能力提升能力提升二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )与平面区域与平面区域解析：边界直线方程为解析：边界直线方程为 x+y-1=0 x+y-1=0 代入原点（代入原点（0 0，0)0) 得得0+0-10+0-10
15、 0 即所求不等式为即所求不等式为 x+y-10 x+y-102.2.根据平面区域写出二元一次不等式（组）根据平面区域写出二元一次不等式（组）x xy y-2-2o o1 11 1-1-1x-2y+2x-2y+20 0y-1y-1绿色区域绿色区域蓝色区域蓝色区域x-2y+2x-2y+20 0y-1y-1x+y-10x+y-10x+y-10x+y-10紫色区域紫色区域黄色区域黄色区域能力提升能力提升解析：解析：由于在异侧，则（由于在异侧，则（1 1，2 2）和（）和（1 1，1 1）代入代入3x-y+m 3x-y+m 所得数值所得数值异号异号，则有（则有（3-2+m3-2+m）（）（3-1+m3
16、-1+m） 0 0所以（所以（m+1m+1）(m+2) 0(m+2) 0即：即：-2m-1-2m-13.3.试确定试确定m的范围，使点（的范围，使点（1 1，2 2）和（）和（1 1，1 1）在）在3 3x- -y+ +m=0=0的的异侧异侧。变式变式: :若在若在同侧同侧，m m的范围又是什么呢？的范围又是什么呢？解析解析：由于在同侧，则（由于在同侧，则（1 1，2 2）和（）和（1 1，1 1）代入代入3x-y+m 3x-y+m 所得数值所得数值同号同号，则有（则有（3-2+m3-2+m）（）（3-1+m3-1+m） 0 0所以（所以（m+1m+1）(m+2)(m+2) 0 0即：即：m
17、-2m -2或或m m-1-1能力提升能力提升二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )与平面区域与平面区域求二元一次不等式组求二元一次不等式组所表示的平面区域的面积所表示的平面区域的面积4.4. x-y+50 y2 2 00x222 2x xo oy y-5-55 5D DC CB BA Ax-y+5=0x-y+5=0x=2x=2y=2y=22 2如图，平面区域为直角梯形如图，平面区域为直角梯形, ,易得易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)所以所以AD=3,AB=2,BC=5AD=3,AB=2,BC=5故所求区域的
18、面积为故所求区域的面积为S=S=解析：解析：能力提升能力提升数形结合思想数形结合思想二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )与平面区域与平面区域若二元一次不等式组若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，所表示的平面区域是一个三角形，求求a a的取值范围的取值范围变式：变式： x-y+50 ya a 00x222 2x xo oy y5 5D DC Cx-y+5=0x-y+5=0x=2x=2-5-5y=y=ay=y=ay=y=ay=y=5y=y=77 7数形结合思想数形结合思想答案答案: :5a5a 0(或或0)在平面直在平面直角坐标系中角坐标系中表示直线表示直线Ax+By+C=0某
19、一侧所有点某一侧所有点组成的组成的平面区域平面区域。2、二元一次不等式组表示平面区域：是各个二元一次不等式组表示平面区域：是各个不等式所表示平面区域的不等式所表示平面区域的公共部分公共部分小结小结3、二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域的、二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域的判断方法：判断方法：直线定界，特殊点定域。直线定界，特殊点定域。 C00时，取原点作特殊点时，取原点作特殊点; ;C0 0时，取其他特殊点。时，取其他特殊点。注意注意: :(1)(1)画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。 (2)(2)若区域若区域包括包括边界，边界， 则把边界画成则把边界画成实线实线；若区域若区域不包括不包括边界，则把边界画成边界，则把边界画成虚线。虚线。小结小结
