第十五章比较与类比

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1、第十五章第十五章比较与类比比较与类比第一节第一节 比较概述与类型比较概述与类型1 1、比较概述比较概述 比较是人类认识客观事物的一种最基比较是人类认识客观事物的一种最基本的思维方法。本的思维方法。 比如，对事物集合量的最初的认识，比如，对事物集合量的最初的认识，正是通过比较认识到事物集合量的正是通过比较认识到事物集合量的“多多”或或“少少”或或“同样多同样多”，从而形成等价集，从而形成等价集合类的概念，最终得到自然数的概念。合类的概念，最终得到自然数的概念。 比较还使我们发现某类事物不同于它比较还使我们发现某类事物不同于它类事物的共同的本质属性，从而形成概念，类事物的共同的本质属性，从而形成概

2、念，达到对事物更达到对事物更深深刻的认识。刻的认识。 无论是区分事物的质，还是区分事物无论是区分事物的质，还是区分事物的量，都要通过比较这一思维方法才能达的量，都要通过比较这一思维方法才能达到。到。 区分事物的客观基础，就是事物本身区分事物的客观基础，就是事物本身所具有的同一性和相异性。因此，我们可所具有的同一性和相异性。因此，我们可以说，比较就是在认识事物的过程中，确以说，比较就是在认识事物的过程中，确定思维对象的相同点和不同点的思维方法，定思维对象的相同点和不同点的思维方法，它是其他思维方法如分析综合、抽象概括、它是其他思维方法如分析综合、抽象概括、归纳演绎等的基础。归纳演绎等的基础。 因

3、此，要有意识地学会比较这一思维因此，要有意识地学会比较这一思维方法，把它作为方法，把它作为数学思维数学思维的重点之一。的重点之一。2 2、比较比较类型类型 相同点的比较相同点的比较 就是要确定我们的思维对象的共同属性。就是要确定我们的思维对象的共同属性。有些貌似不同的事物，也可能存在一些共有些貌似不同的事物，也可能存在一些共同点，这些共同之处往往联系着它们的规同点，这些共同之处往往联系着它们的规律。律。 因此，通过比较寻找相异事物的共同点，因此，通过比较寻找相异事物的共同点，可以开拓思路，探索规律，更深刻地认识可以开拓思路，探索规律，更深刻地认识事物事物及其及其相互关系，相互关系， 这类比较方

4、法可以概括为这类比较方法可以概括为“异中见同异中见同”。【例】将四个分数【例】将四个分数按照由小到大的按照由小到大的顺序排列。顺序排列。【分析】这四个分数互不相同，若作通分后比较，将【分析】这四个分数互不相同，若作通分后比较，将非常麻烦。但经观察比较，得到一个共同特点是，非常麻烦。但经观察比较，得到一个共同特点是，分子总比分母小分子总比分母小1 1。其中：。其中：分子相同的分数仅比较分母即可，即由分子相同的分数仅比较分母即可，即由可得到可得到【例】用一条直线将一个长方形分为两等分，有几种画【例】用一条直线将一个长方形分为两等分，有几种画法？法？【分析】分法是很多的，画出几种并不难，难在需要【分

5、析】分法是很多的，画出几种并不难，难在需要确定有几种画法。确定有几种画法。 在多种画法中，比较下面这种最特殊的一种画法：在多种画法中，比较下面这种最特殊的一种画法：即经过矩形两对角线交点即经过矩形两对角线交点矩形的中心，所画的直矩形的中心，所画的直线都平分矩形；线都平分矩形； 而且容易由平行截割定理证明其正确性；而且容易由平行截割定理证明其正确性； 因此，用一条直线将一个长方形分为两等分，有无因此，用一条直线将一个长方形分为两等分，有无数种画法。数种画法。 而经过矩形两对角线交点可作无数条直线；而经过矩形两对角线交点可作无数条直线； 不不同点的比较同点的比较 不同点的比较就是要确定思维对象的不

6、不同点的比较就是要确定思维对象的不同特性。同特性。 有些貌似相同或十分相似的事物，实际有些貌似相同或十分相似的事物，实际上总是存在着某些差异，即使是相等的事上总是存在着某些差异，即使是相等的事物，也只是彼此不相同、不同一的事物之物，也只是彼此不相同、不同一的事物之间的同一。间的同一。 通过比较寻找相同或相似事物的不同点，通过比较寻找相同或相似事物的不同点，同样可以开拓思路，探寻规律，更深刻地同样可以开拓思路，探寻规律，更深刻地理解某些概念及其相互关系。理解某些概念及其相互关系。 这类比较方法可以概括为这类比较方法可以概括为“同中求异同中求异”。【例】下面每组数中，请找出不同类的数来，并说【例】

7、下面每组数中，请找出不同类的数来，并说明理由。明理由。【解】在【解】在组数中，组数中，不是自然数不是自然数。 在在组数中，组数中， 1 1，4 4，7 7， ，1414，1717，2020， 0 0，1 1，1.51.5，3 3，6 6，8 8，1616，不是整数。不是整数。【例】比较合数与偶数的区别。【例】比较合数与偶数的区别。【解】分别从内涵和外延两方面进行比较：【解】分别从内涵和外延两方面进行比较：【区别】【区别】两概念的外延是交叉关系，合数中两概念的外延是交叉关系，合数中不含负偶数、不含负偶数、0 0和和2 2，概念概念内涵内涵外延外延合数合数能被能被1 1和它自身以外数和它自身以外数

8、整除的自然数整除的自然数4 4，6 6，8 8，9 9，1010，1212，1414，1515，1616，1818，偶数偶数能被能被2 2整除的整数整除的整数，-4-4，-2-2，0 0，2 2，4 4，6 6，8 8，1010，1212， 而偶数中不含奇合数；而偶数中不含奇合数； 两概念的内涵是交叉关系，合数规定两概念的内涵是交叉关系，合数规定能能被被1 1和它自身以外数整除和它自身以外数整除，而且是，而且是自然数自然数； 而偶数规定而偶数规定能被能被2 2整除的整数整除的整数，而且是整，而且是整数数。 上述两例都是上述两例都是“同中见异同中见异”的比较。的比较。 “异中见同异中见同”和和“

9、同中见异同中见异”两类比较方两类比较方法在实际运用过程中，往往是综合进行的，法在实际运用过程中，往往是综合进行的，并配合其他思维方法，相辅相成。并配合其他思维方法，相辅相成。3 3、比较比较方法举例方法举例 运用比较，掌握数量关系运用比较，掌握数量关系【例例1 1】小营村有耕地面积小营村有耕地面积180180亩，其中棉亩，其中棉田占总耕地面积的田占总耕地面积的3/53/5，全村棉田有多少亩，全村棉田有多少亩? ?【例例2 2】小营村有棉田面积小营村有棉田面积180180亩，棉田占亩，棉田占总耕地面积的总耕地面积的3/53/5，全村总耕地有多少亩，全村总耕地有多少亩? ?【比较】两题的数量关系都

10、没变，都是【比较】两题的数量关系都没变，都是 全村总耕地面积全村总耕地面积3/5=3/5=全村棉田面积全村棉田面积 不同的是已知条件与所求问题交换了。不同的是已知条件与所求问题交换了。 运用比较，发现规律运用比较，发现规律【例例1 1】比较一组等式：】比较一组等式： 6 63=23=2，606030=230=2，600600300=2300=2， 6000 60003000=23000=2，600006000030000=230000=2， 观察观察 6K 6K3K=2 3K=2 再考虑再考虑 (6 (60)0)(3(30)=?0)=? 总结运算规律：总结运算规律：“被除数与除数同时乘被除数与

11、除数同时乘以相同的非零数值，商不变。以相同的非零数值，商不变。” 运用比较，突出概念的内涵和外延运用比较，突出概念的内涵和外延概念学概念学习习中适当运用变式材料，借助比中适当运用变式材料，借助比较较，促进理解概念的内涵，那么这个概念促进理解概念的内涵，那么这个概念的外延也就明确了。的外延也就明确了。运用比较，辩析易混概念运用比较，辩析易混概念恰当组恰当组织正反对比织正反对比学学习习中中，从正面揭示概念、法则、公式从正面揭示概念、法则、公式等等，无疑是重要的，但仅仅这样还不够，无疑是重要的，但仅仅这样还不够，对一些重要概念对一些重要概念和和典型问题典型问题，应，应抓住本质抓住本质进行正反对比，或

12、从反面提出一些问题，进行正反对比，或从反面提出一些问题，进行进行思索判断，思索判断，加深理解。加深理解。适时归纳已学过的相关概念适时归纳已学过的相关概念数学概念体系中，数学概念体系中，有一些相似概念有一些相似概念（如数位和位数、质数与互质数、如数位和位数、质数与互质数、比和比例、求比值与化简比、方程的解与解方程比和比例、求比值与化简比、方程的解与解方程等等），还有一些相近概念还有一些相近概念（如除尽与整除、数与数字、如除尽与整除、数与数字、质数与质因数、计数与记数等质数与质因数、计数与记数等），），还有一些相反概念还有一些相反概念（如约数与倍数、扩大与缩小、如约数与倍数、扩大与缩小、化法与聚法

13、、正比例与反比例等化法与聚法、正比例与反比例等），），都是容易混淆的概念，都是容易混淆的概念， 在复习阶段把这些易混概念放在一起进行对在复习阶段把这些易混概念放在一起进行对比辩析，归纳注意点，有利于使学比辩析，归纳注意点，有利于使学习习形成分化，形成分化，达到深化理解的目的。达到深化理解的目的。 运用比较，开拓解题思路运用比较，开拓解题思路 通过比较、沟通联系，变换思考角度通过比较、沟通联系，变换思考角度【例例】一堆煤用去一堆煤用去12001200吨，比余下的多吨，比余下的多1/31/3，这堆，这堆煤原有多少吨煤原有多少吨? ?【分析】若按题目的思路进行思考，计算量大：【分析】若按题目的思路进

14、行思考，计算量大： 设设这堆煤原有这堆煤原有x x吨吨，用去用去12001200吨吨，余下余下x-x-12001200，按题意，用去的与余下的比较，得按题意，用去的与余下的比较，得解得解得 若换个角度进行思考，将余下的与用去的比较：若换个角度进行思考，将余下的与用去的比较： 设设这堆煤原有这堆煤原有x x吨吨，用去用去12001200吨吨，余下余下x-x-12001200，为，为亦即亦即同样解得同样解得 通过比较通过比较，寻找解题的关键寻找解题的关键【例例】一次测验，老师出了十道是非判断题，一次测验，老师出了十道是非判断题，每题每题1010分，如果学生认为是正确的，则以分，如果学生认为是正确的

15、，则以“”表示；反之，以表示；反之，以“”表示。表示。下下表中表中有甲、乙、丙、丁四个学生的答案和老师对有甲、乙、丙、丁四个学生的答案和老师对甲、乙、丙三个学生的评分，你能根据此表甲、乙、丙三个学生的评分，你能根据此表来评定学生丁的成绩吗来评定学生丁的成绩吗? ?【分析】解答本题的关键是确定标准答案。【分析】解答本题的关键是确定标准答案。 运用比较的方法，先观察对比分数差异最大的甲、乙的运用比较的方法，先观察对比分数差异最大的甲、乙的答案：答案： 由于两人的由于两人的1、2、4、6、7、10这六道题判断相反，而这六道题判断相反，而甲比乙刚好多得甲比乙刚好多得60分，显然这六题甲都答对了而乙都答

16、错分，显然这六题甲都答对了而乙都答错了；了； 再对比观察甲、丙的答案：再对比观察甲、丙的答案： 由于两人只有第由于两人只有第3、5、9三题的判断相反，三题的判断相反，而甲比丙只多得而甲比丙只多得10分，可知这三题中，甲的有二分，可知这三题中，甲的有二对一错，而丙二错一对。对一错，而丙二错一对。 至此，甲的答案中，已经确定第至此，甲的答案中，已经确定第1，2，3，4，5，6，7，9，10这这9题中有题中有8题正确，题正确，恰好对应恰好对应80分，分， 因此第因此第8题甲应答错，从而第题甲应答错，从而第8题与甲相同题与甲相同答案的丙也是第答案的丙也是第8题答错。题答错。 于是，得到于是，得到1、2

17、、4、6、7、8、10这这7题题的标准答案如下：的标准答案如下：此时，丁在此时，丁在2、6、8三题得分，三题得分， 而而1、4、7、10四题失分，四题失分， 这这7题的得分可计算为题的得分可计算为30分。分。下面只要确定丁在下面只要确定丁在3，5，9这三道题上的得分即这三道题上的得分即可。可。由前分析知，这三题中，由前分析知，这三题中， 甲二对一错，甲二对一错， 而丙二错一对，而丙二错一对， 而由上见，丁的答案与丙相同，所以也应为二而由上见，丁的答案与丙相同，所以也应为二错一对，这三题得分也应为错一对，这三题得分也应为10分。分。 综上，综上，丁的总得分为丁的总得分为40分。分。第二节第二节

18、类比概述与类型类比概述与类型1 1、类、类比概述比概述类比是根据两个或两类事物具有某些相类比是根据两个或两类事物具有某些相同或相似的属同或相似的属性性，其中一个，其中一个( (类类) )事物已知事物已知还具有另一属性，从而推出另一个还具有另一属性，从而推出另一个( (类类) )事事物也可能具有这一相同属性或相似的属性。物也可能具有这一相同属性或相似的属性。可见，类比是用以进行推理的一种思维可见，类比是用以进行推理的一种思维方法，用这样的思维方法进行推理通常就方法，用这样的思维方法进行推理通常就叫类比推理，有时简称类比或类推。叫类比推理，有时简称类比或类推。类比是理性思维的一种本能，它使人预类比

19、是理性思维的一种本能，它使人预感到经验所发现的某种事物具有某种特性，感到经验所发现的某种事物具有某种特性，可以推论到同类的别的事物也具有同样的可以推论到同类的别的事物也具有同样的特性。特性。 因此，类比是一种从已知到未知，探求因此，类比是一种从已知到未知，探求和发现新知识的富有成效的思维方法。和发现新知识的富有成效的思维方法。在数学学在数学学习习中，有意识地培养以至强化中，有意识地培养以至强化类比思维能力，类比思维能力，可以可以体验到发现和创新的体验到发现和创新的快乐，发展智能，激发学习数学的兴趣快乐，发展智能，激发学习数学的兴趣，是很有意义的。是很有意义的。2 2、类、类比比条件条件 类比要

20、以比较作为基础类比要以比较作为基础在进行类比推理时，首先要在思维对象在进行类比推理时，首先要在思维对象间进行比较，尽可能多地找出它们的相同间进行比较，尽可能多地找出它们的相同点或相似点，从而确定两个点或相似点，从而确定两个( (类类) )思维对象思维对象赖以进行类比的方向，然后以此为依据，赖以进行类比的方向，然后以此为依据，把其中把其中一一个个( (类类) )对象在这一方向上的已知对象在这一方向上的已知性质，推移到另性质，推移到另一一个个( (类类) )对象上去。对象上去。 这是一个由特殊到特殊、由一般到一般这是一个由特殊到特殊、由一般到一般的推理过程。它以比较作为基础，同时也的推理过程。它以

21、比较作为基础，同时也和抽象概括、归纳演绎等思维方法紧密相和抽象概括、归纳演绎等思维方法紧密相关，交叉应用。关，交叉应用。必须明确，类比推理得出的结论具有或必须明确，类比推理得出的结论具有或然性，它的真实性应经过论证和检验，以免然性，它的真实性应经过论证和检验，以免造成失误或差错。造成失误或差错。【例例】将将100100增加增加2020，然后再减少，然后再减少2020，结果，结果等于等于100100。 如果将此整数运算规律类比到百分数的如果将此整数运算规律类比到百分数的运算，得出运算，得出“100100增加增加2020，然后再减少，然后再减少2020，结果仍为，结果仍为100100”，就成为一个

22、错误的结，就成为一个错误的结论。论。 掌握类比的两个要领掌握类比的两个要领要善于观察要善于观察进行类比推理所依据的两种对象间的相同进行类比推理所依据的两种对象间的相同属性数量越多，结论的可靠程度越大。属性数量越多，结论的可靠程度越大。 因此，要善于观察事物的特点，注意发现因此，要善于观察事物的特点，注意发现对象间的共同点或相似之处。对象间的共同点或相似之处。 要善于联想要善于联想联想就是从一事物联想到与它性质相似的其他联想就是从一事物联想到与它性质相似的其他事物；从一种方式方法联想到与其作用类似的其他事物；从一种方式方法联想到与其作用类似的其他方式方法；从一个概念联想到与它关系密切的一串方式方

23、法；从一个概念联想到与它关系密切的一串其他概念。其他概念。数学中有关联想的分类大致有以下几种数学中有关联想的分类大致有以下几种：定向联想：定向联想：【例】【例】由长方形面积公式推出平行四边形面积公式。由长方形面积公式推出平行四边形面积公式。双向联想：双向联想：【例】【例】乘法分配律的正用、反用、变用。乘法分配律的正用、反用、变用。 接近联想：接近联想：【例】【例】由由“下半年的产量是上半年的下半年的产量是上半年的3 3倍倍”，可形成以下联想：，可形成以下联想： 下半年产量比上半年多下半年产量比上半年多2 2倍倍， 下半年产量是全年产量的下半年产量是全年产量的3/43/4， 下半年产量与上半年产

24、量的比是下半年产量与上半年产量的比是3 3: :1 1， 上半年产量是下半年的上半年产量是下半年的1/31/3， 上半年产量比下半年少上半年产量比下半年少2/32/3，等。等。类比联想：类比联想：【例】【例】如从等差数列求和公式如从等差数列求和公式 想到梯形面积公式想到梯形面积公式 对比联想：对比联想：【例】【例】如圆周长公式如圆周长公式 与圆面积公式的对比与圆面积公式的对比关系联想：关系联想：【例】【例】由由“求一个数的几倍用乘法求一个数的几倍用乘法”联想具有因果联想具有因果关系的关系的：“求一个数是另一个数的几倍用除法求一个数是另一个数的几倍用除法”； 建立建立“梯形梯形”的概念后可联系前

25、面学过的四边的概念后可联系前面学过的四边形，联想它们之间的关系是从属关系等。形，联想它们之间的关系是从属关系等。第三节第三节 3 3、类比方法应用举例、类比方法应用举例运用类比，激发学习兴趣运用类比，激发学习兴趣【例例】写出下面的奇妙得数：写出下面的奇妙得数： 2+1 2+19=9= 3+12 3+129 9= = 4+123 4+1239=9= 5+12345+12349=9= 6+12345 6+123459=9=11 11 -计算得结果计算得结果111 111 -计算得结果计算得结果1111 1111 -计算得结果计算得结果11111 11111 -猜想并核算猜想并核算111111 11

26、1111 -猜想并核算猜想并核算 这类题组是训练从这类题组是训练从“类比类比”前面几道算前面几道算式中的运算符号、数值变化规律，推测写式中的运算符号、数值变化规律，推测写出后面几道算式的得数，然后分组核对结出后面几道算式的得数，然后分组核对结果是否正确。果是否正确。它既巩固四则混合运算的顺序、运算技它既巩固四则混合运算的顺序、运算技能，培养类比推理的能力，诱发猜想，并能，培养类比推理的能力，诱发猜想，并从中欣赏到从中欣赏到“数学美数学美”，从而激发学习数，从而激发学习数学的兴趣，唤起强烈的求知欲。学的兴趣，唤起强烈的求知欲。2 2、运用类比，运用类比，加深理解加深理解【例例】对】对“一个数乘以

27、分数一个数乘以分数”的理解。的理解。 可可设计三幅图设计三幅图( (一一桶油重桶油重100100公斤公斤) )， 第一幅图求第一幅图求3 3桶油桶油重重多少公斤多少公斤? ?-(100-(1003 3) ) 第二幅图求第二幅图求1/21/2桶油重多少公斤桶油重多少公斤? ?-(100-(1001/21/2) ) 第三幅图求第三幅图求3/43/4桶油重多少公斤桶油重多少公斤? ?-(100-(1003/43/4) )此此设计设计编排意图就是要从编排意图就是要从“类比类比”这三幅图的问这三幅图的问题、算式及运算意义之间的联系中得一个数乘以题、算式及运算意义之间的联系中得一个数乘以分数的意义。分数的

28、意义。3 3、运用类比，导出性质、运用类比，导出性质【例例】对】对“比的基本性质比的基本性质”的理解。的理解。根据比的意义，出示根据比的意义，出示3 3: :2=32=32=12=1.5.5，然后然后“类比类比”：比比较较除法和分数之间的关系，除法和分数之间的关系，再再根据分数的基本性质导出比的基本性质根据分数的基本性质导出比的基本性质： 分数性质分数性质：分子、分母同乘：分子、分母同乘( (除除) )一个非零数，分一个非零数，分数值不变；数值不变； 比的性质比的性质：比的比的两部分同乘两部分同乘( (除除) )一个非零数，比一个非零数，比值不变。值不变。4 4、运用类比，得出法则、运用类比，

29、得出法则【例例】对】对“三位数乘多位数三位数乘多位数”的掌握。的掌握。 将三位数乘多位数将三位数乘多位数，同两位数乘多位数同两位数乘多位数进行进行“类比类比”， 重点在于重点在于掌握掌握两位数乘多位数两位数乘多位数中：中：“用用乘数乘数中某一中某一位位置置上的数去乘，乘得上的数去乘，乘得结果结果的的末位就要和末位就要和该该位位置置对齐对齐”， 突破这一点，就可通过类比得出突破这一点，就可通过类比得出“三位三位数乘多位数数乘多位数”的计算的计算法则法则。5 5、运用类比，推导公式、运用类比，推导公式【例例】推导计算】推导计算圆柱体侧面积圆柱体侧面积公式。公式。 先观察、认识侧面部位；然后展开侧面

30、，使曲先观察、认识侧面部位；然后展开侧面，使曲面转化成平面，面转化成平面，可可知圆柱体侧面展开图知圆柱体侧面展开图形形是一个是一个长方形；长方形； 再分析长方形的长和宽与圆柱体相应部位的关再分析长方形的长和宽与圆柱体相应部位的关系，这是类比关键的一步。系，这是类比关键的一步。 长方形的长长方形的长a a与与圆柱体底面周长圆柱体底面周长2 2r r相等，相等，长长方形的宽方形的宽b b与与圆柱体的高圆柱体的高h h相等；相等； 从而，从而，由由长方形面积长方形面积公式公式 S S= =abab， 推得推得圆柱体侧面积圆柱体侧面积公式公式 S S=2=2r rh h。6 6、运用类比法解应用题、运

31、用类比法解应用题 运用类比方法解运用类比方法解应用应用题题，实践证明，效实践证明，效果良好。果良好。运用类比法解数学题，关键在于寻找一运用类比法解数学题，关键在于寻找一个合适的类比对象。个合适的类比对象。 一般说来，可以根据数学题的不同特点，一般说来，可以根据数学题的不同特点，从题型结构、图形特征、有关性质及解题从题型结构、图形特征、有关性质及解题方法等方面进行类比，以寻觅恰当的类比方法等方面进行类比，以寻觅恰当的类比对象。对象。【例例】从时钟指向从时钟指向4 4点开始，再经过多少分钟，时点开始，再经过多少分钟，时针正好与分针重合针正好与分针重合? ?【分析分析】钟面上的数学问题可以与行程问题

32、类比。钟面上的数学问题可以与行程问题类比。 以时针以时针1 1小时所走的一格为路程单位，则已知小时所走的一格为路程单位，则已知分针在时针后面分针在时针后面4 4格，分针每分钟走格，分针每分钟走1/51/5格，时针格，时针每分钟走每分钟走1/601/60格，格，分分针每分钟针每分钟追上时针的路程为追上时针的路程为1/5-1/601/5-1/60格，格，须须要追赶路程为要追赶路程为4 4格格， 不难得出不难得出追赶时间为追赶时间为4 4( (1/5-1/60)1/5-1/60)=2=21+6/111+6/11分钟。分钟。4 5 6 7 8 9【例例】甲、乙、丙、丁四人合买一物品，已知甲、乙、丙、丁

33、四人合买一物品，已知： 甲出的钱是其他三人总和的甲出的钱是其他三人总和的1/1/4 4， 乙出的钱是其他三人总和的乙出的钱是其他三人总和的7/237/23， 丙出的钱是其他人总和的丙出的钱是其他人总和的4/114/11， 丁出了丁出了9 9元。元。 问四人各出多少元问四人各出多少元? ?【分析分析】注意到甲、乙、丙三人出的钱分别都是注意到甲、乙、丙三人出的钱分别都是其他三人总和的几分之几其他三人总和的几分之几，这个共同点就是进行这个共同点就是进行类比的依据，类比的依据， 只要能求出其中只要能求出其中一一人出的钱占四人出钱总数的人出的钱占四人出钱总数的几分之几，则由此类比得几分之几，则由此类比得

34、各人各人出的钱占四人出钱出的钱占四人出钱总数的几分之几总数的几分之几，终因，终因丁出了丁出了9 9元元而得而得到解法。到解法。【解解】由甲出钱是其他三人总和的由甲出钱是其他三人总和的1/41/4，知，知若若甲出钱甲出钱1 1份，则份，则其他三人总和其他三人总和为为4 4份，于是份，于是是四人总和是四人总和为为1+4=51+4=5份，甲份，甲出钱是出钱是四四人总和的人总和的1/(1+4)=1/51/(1+4)=1/5； 同理同理，乙出钱是乙出钱是四四人总和的人总和的7/(7+23)=7/307/(7+23)=7/30； 类推，丙类推，丙出钱是出钱是四四人总和的人总和的4/(4+11)=4/154

35、/(4+11)=4/15； 于是，丁于是，丁出钱是出钱是四四人总和的人总和的 1-(1/5+7/30+4/15)=3/10 1-(1/5+7/30+4/15)=3/10；但已知丁出了但已知丁出了9 9元，即知四元，即知四人总和人总和为为 9 9(3/10)=(3/10)=30(30(元元) )，可知：可知：甲出钱甲出钱30301/51/5=6(=6(元元) ) 乙出钱乙出钱30307/307/30=7(=7(元元) ) 丙出钱丙出钱30304 4/15/15=8(=8(元元) )。【例例】把自然数中的偶数把自然数中的偶数2 2，4 4，6 6，按按下图规律下图规律依次排成依次排成5 5列，这样

36、，数列，这样，数19901990出现出现在第几列在第几列? ? 2 2 4 4 6 6 8 816 16 14 14 12 12 10 10 18 18 20 20 22 22 242432 3032 30 28 28 2626 3 34 4 3 36 6 3 38 8 40 40 . .这样，这样，19901990出现在第几列？出现在第几列？【解解】把把上上图中每个偶数都除以图中每个偶数都除以2 2，得到与，得到与上上图图对应的对应的5 5列自然数，如列自然数，如下下图图： 1 1 2 2 3 3 4 4 8 8 7 7 6 6 5 5 9 9 1 10 0 1111 12 121616 1

37、5 15 1414 13 13 17 17 18 18 1919 20 20 . .因为因为199019902=9952=995，则问题转化为：，则问题转化为：995995出现在出现在第几列？第几列？观察新图中的数列，发现：观察新图中的数列，发现： 被被8 8整除的数都在第整除的数都在第1 1列；列；类比得：类比得：被被8 8除余除余1 1和余和余7 7的数都在第的数都在第2 2列；列； 被被8 8除余除余2 2和余和余6 6的数都在第的数都在第3 3列；列； 被被8 8除余除余3 3和余和余5 5的数都在第的数都在第4 4列；列； 被被8 8除余除余4 4的数都在第的数都在第5 5列。列。由于由于9959958 8= =124124余余3 3，由上述分析，可知，由上述分析，可知995995出现在出现在新新图中第图中第4 4列，即列，即类比类比19901990出现出现在在原原图中第图中第4 4列。列。 以上几例体现了类比的分析方法的优越以上几例体现了类比的分析方法的优越性，在于提供了我们思考问题的一种有效性，在于提供了我们思考问题的一种有效途径途径。 如果如果碰碰到一个问题不会做时，那就想一到一个问题不会做时，那就想一想，有没有一个以前见过的问题与这个问想，有没有一个以前见过的问题与这个问题类似题类似？ 这或许会帮助你发现解题的思路。这或许会帮助你发现解题的思路。