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1、新人教版新人教版 数学数学 八年级八年级(上上)15.315.3因式分解因式分解 利用十字交叉线来分解系数，把二次三利用十字交叉线来分解系数，把二次三利用十字交叉线来分解系数，把二次三利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法项式分解因式的方法叫做十字相乘法项式分解因式的方法叫做十字相乘法项式分解因式的方法叫做十字相乘法 用十字相乘法把形如用十字相乘法把形如用十字相乘法把形如用十字相乘法把形如x x2 2+px+q+px+q的的的的二次三二次三二次三二次三项式分解因式：项式分解因式：项式分解因式：项式分解因式：当当当当q0q0时，时，时，时，q q分解的因数分解的因数分
2、解的因数分解的因数a a、b b（ ）当当当当q0q0q0时，时，时，时，a a、b b同号，且同号，且同号，且同号，且a a、b b的符号与的符号与的符号与的符号与p p的符号相同；的符号相同；的符号相同；的符号相同；当当当当q0q0时，时，时，时，a a、b b异号，且绝对值较大的异号，且绝对值较大的异号，且绝对值较大的异号，且绝对值较大的因数与因数与因数与因数与p p的符号相同的符号相同的符号相同的符号相同 3 3书写格式：竖分横积书写格式：竖分横积书写格式：竖分横积书写格式：竖分横积注注意意知识要知识要点点分组分解法分解因式：分组分解法分解因式：分组分解法分解因式：分组分解法分解因式：
3、 如果一个多项式适当分组，使分组如果一个多项式适当分组，使分组如果一个多项式适当分组，使分组如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那后各组之间有公因式或可应用公式，那后各组之间有公因式或可应用公式，那后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解么这个多项式就可以用分组的方法分解么这个多项式就可以用分组的方法分解么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。因式。因式。因式。 mx+my-nx-ny ，两组，得（两组，得（mx+my）-（nx+ny）解解1：原式：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y)=(x+y)(m-n)，
4、两组，得（两组，得（mx-nx）+(my-ny)解解2：原式：原式= （mx-nx）+(my-ny)=x(m-n)+y(m-n)= (m-n) (x+y)练一练一练练（1 1）分组时小组内能提公因式要保证组与组）分组时小组内能提公因式要保证组与组）分组时小组内能提公因式要保证组与组）分组时小组内能提公因式要保证组与组 之间还有公因式可以提之间还有公因式可以提之间还有公因式可以提之间还有公因式可以提（2 2）分组添括号时要注意符号的变化）分组添括号时要注意符号的变化）分组添括号时要注意符号的变化）分组添括号时要注意符号的变化（3 3）要将分解到底，不同分组的结果应该是）要将分解到底，不同分组的结
5、果应该是）要将分解到底，不同分组的结果应该是）要将分解到底，不同分组的结果应该是 一样的一样的一样的一样的注注意意把下列各式因式分解：把下列各式因式分解：练一练一练练（1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1解：（解：（1）原式）原式=（x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z)（2）原式）原式=(ab+a)+(b+1) =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1)（3）9a4-4a2+4a-1解：解：9a4-4a2+4a-1= 9a4-(4a2-4a+1) = 9a4-(2a-1) 2 = (3a2+2a-1)(3a2-2a+1)= (
6、a+1)(3a-1)(3a2-2a+1)（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24解：解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24= (x2+x-2)(x2+x-12)+24= (x2+x) 2-14(x2+x)+48= (x2+x-6)(x2+x-8)= (x+3)(x-2)(x2+x-8)（2007年株洲市）年株洲市）分解因式分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10 解：令解：令x4+x2=m，则原式可化为，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10 = m2-m-12+10 = m2-m-2 = (m-2)(m+1) = (x4+x2-2)(x4+x2+1) =
7、(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1) = (x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1) 如果如果a+b=0，求，求a3 2b3+ a2b 2ab2的值的值 原式原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 )= a2 (a +b)- 2b2 (a +b )= (a +b) ( a2 - 2b2 )练一练一练练=0解：解：4x4+1 = 4x4+4x2+1-4x2 =（2x2+1）2-（2x）2 =（ 2x2+1+ 2x）（）（ 2x2+1-2x）因式分解：因式分解：4x4+1 因式分解是多项式乘法的逆运算在多因式分解是多项式乘法的逆运算在多因式分解是多项式乘法的逆运算在多因式分解
8、是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式项相互抵消为零在对某些多项式分解因式项相互抵消为零在对某些多项式分解因式项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，时，需要恢复那
9、些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分目的是使多项式能用分组分解法进行因式分目的是使多项式能用分组分解法进行因式分目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解解解解 注注意意
