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1、机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 第四章 数值积分和数值微分内容提要4.1 引言4.2 牛顿-柯特斯公式4.3 复化求积公式4.4 龙贝格求积公式4.5 高斯求积公式4.6 数值微分机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 4.1 引言引言一、数一、数值求求积的基本思想的基本思想 对定定义在区在区间a,b上的定上的定积分分 但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此算
2、给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。有必要研究积分的数值计算问题。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 积分中值定理告诉我们：积分中值定理告诉我们：平均高度平均高度f() a b yxy=f(x)0机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 a f(a+b)/2) b yxy=f(x)0 a b yxy=f(x)0梯形公式梯形公式平均高度平均高度中矩形公式中矩形公式平均高度平均高度机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式求积节点求积节点求积系数求积系
3、数 这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。要寻求原函数的困难。二、代数精度的概念二、代数精度的概念机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 利用代数精度的概念构造求积公式利用代数精度的概念构造求积公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 三、插值型的求积公式三、插值型的求积公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 4.2 牛顿牛顿-柯特斯公
4、式柯特斯公式一、牛一、牛顿-柯特斯公式的柯特斯公式的导出出机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 柯特斯系数柯特斯系数机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 牛顿牛顿-柯特斯公式的代数精度柯特斯公式的代数精度机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 4.3 复合求积公式复合求积公式 一、问题与基本思想 在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)，因而不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或
5、辛普森公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。本节只讨论复化的梯形公式和复化的辛普森公式。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 二、复合梯形公式二、复合梯形公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 三、复合辛普森公式三、复合辛普森公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 xi0 1/8 1/4 3/8 1/2 f (xi)1 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510xi5/8 3/4 7/8 1 f (xi)0.9361556 0.9088516 0.84147
6、09 0.8414709 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 一、梯形法的递推化一、梯形法的递推化 (变步长求积法变步长求积法) 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 于是可以逐次对分形成一个序列于是可以逐次对分形成一个序列T1,T2,T4,T8,此序列此序列收敛于积分真值收敛于积分真值 I。当。当 |T2n-Tn|时，取时，取T2n为为 I 的近似值。的近似值。以上算法称为以上算法称为变步长求积法变步长求积法。 但由于此序列收敛太慢但由于
7、此序列收敛太慢 。下。下节我们将其改造成为收敛快的序列。节我们将其改造成为收敛快的序列。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 二、龙贝格算法二、龙贝格算法如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中心问题。心问题。 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 这样我们从收敛较慢的Tn序列推出了收敛较快的Sn序列。 可以证明Sn序列实际上就是逐次分半的复化辛普森公式序列。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 这样我们从Cn序列又推出了收敛更快的Rn序列. Rn序列也称为龙贝格序列。我们从收敛较慢的Tn序列只用了一些四
8、则运算，便推出了收敛更快的Sn序列, Cn序列和Rn序列。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2运算顺序表运算顺序表机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 kT2kS2k-1C2k-2R2k-300.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831这里利用二分3次的数据（它们的精度都很差，只有两三位有效数字）通过三次加速求得R1,这个结果的每一位数字都是有效数字，可见加速效果是十分显著的
9、。机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 4.5 高斯求积公式高斯求积公式 一、一般理论一、一般理论 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 4.6 数值微分数值微分一、中点方法与误差分析一、中点方法与误差分析 数值微分就是要用函数值的线性组合近似函数在某数值微分就是要用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。由导数定义差商近似导数得到数值微分点的导数值。由导数定义差商近似导数得到数值微分公式。公式。 机动上页下页首页结束工科研究生公共
10、课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 hG(h)hG(h)hG(h)10.36600.050.35300.0010.35000.50.35640.010.35000.00050.30000.10.35350.0050.35000.00010.3000机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 二、插值型的求导公式二、插值型的求导公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列 知识结构图四数值积分与数值微分数值积分基本概念牛顿-柯特斯公式复合求积公式数值微分中点方法插值型求导公式龙贝格求积公式高斯求积公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列
