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1、 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数学习要点学习要点熟练掌握高阶导数公式熟练掌握高阶导数公式 熟练掌握柯西积分公式熟练掌握柯西积分公式第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分3.2 柯西公式柯西公式 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数一、柯西积分公式一、柯西积分公式1. 问题的提出问题的提出 1) 被积函数在被积函数在C上连续，积分上连续，积分I必然存在；必然存在； 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数因此，因此，I的值只与的值只与f(z)在在z0点附近的值有关。点附近的值有关。根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 得得现在考虑现在考虑f(z)为一般解析函
2、数的情况。为一般解析函数的情况。 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数2. 柯西公式柯西公式定理定理1 (柯西公式柯西公式) C是是D的正向边界，我们称它为的正向边界，我们称它为柯西公式。柯西公式。 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数2、公式给出了解析函数的一个积分表达式、公式给出了解析函数的一个积分表达式.3、公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分、公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法的一种方法注解注解(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)1、对于有界闭区域上的解析函数，它在区域、对于有界闭区域上的解析函
3、数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。示出来。 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数例例1 求下列积分求下列积分例例2 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数例例3 例例4 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数练习练习计算下列积分计算下列积分 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数定理定理2二、高阶导数公式二、高阶导数公式 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数例例5例例6高阶导数公式提供了计算某些复变函数高阶导数公式提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法沿闭路积分的一种方法. 哈哈尔尔滨
4、滨工工程程大大学学 复复变变函函数数三、一些结论三、一些结论1. 柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式注注：解析函数的导数模的估计与区域的大小：解析函数的导数模的估计与区域的大小 有关；有关； 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数2. 刘维尔定理刘维尔定理 有界整函数一定恒为常数有界整函数一定恒为常数.3. 莫勒拉定理莫勒拉定理整函数：整函数：在整个复平面解析的函数在整个复平面解析的函数 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数小结小结它表述了它表述了: 一个解析函数在区域内部的值一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示。可以用它在边界上的值通过积分表示。
5、柯西积分公式是复积分理论中的重要公式柯西积分公式是复积分理论中的重要公式并且并且解析区域内每一点的所有的导数也可解析区域内每一点的所有的导数也可通过积分公式计算通过积分公式计算。 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数若函数若函数f(z)在区域在区域D内解析，那么内解析，那么f(z)在在D内有内有任意阶导数，并且各阶导数均是任意阶导数，并且各阶导数均是D内的解析内的解析函数函数所以函数在一个区域内的解析性是很强的条所以函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异注意区分解析函数的导数与实函数的导数的注意区分解析函数的导数与实函数的导数的不同不同 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数练习练习答案答案 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
