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1、3.5 动态系统动态系统 的仿真的仿真n一一. 系统仿真（系统仿真（Simulation）n 1. 系统仿真：系统仿真：n使用计算机对一个系统的结构和行为进行使用计算机对一个系统的结构和行为进行动态模拟动态模拟n为决策提供必要的参考信息。为决策提供必要的参考信息。 n2. 仿真模型：仿真模型：n 由计算机程序控制模型的运行由计算机程序控制模型的运行n 从从数值上数值上模仿实际系统的动态行为。模仿实际系统的动态行为。n3. 仿真模型的特点：仿真模型的特点：n 对象真实、复杂，进行模仿。对象真实、复杂，进行模仿。n4. 关于仿真技术关于仿真技术n 仿真技术已经成为最重要的和最流行的分析动仿真技术已
2、经成为最重要的和最流行的分析动态系统模型的方法。态系统模型的方法。n微分方程的精确解方法具有局限性。微分方程的精确解方法具有局限性。n 非常多的微分方程我们不知道如何求解。非常多的微分方程我们不知道如何求解。n定性分析方法可用于讨论系统的动态行为，定性分析方法可用于讨论系统的动态行为，n 但是对某些问题我们需要定量的答案。但是对某些问题我们需要定量的答案。n仿真技术非常灵活。仿真技术非常灵活。n 可以不困难地将诸如时滞或随机因素等复杂的可以不困难地将诸如时滞或随机因素等复杂的属性引入模型。属性引入模型。 n 这些是难以用解析的方法处理的。这些是难以用解析的方法处理的。n4. 仿真过程仿真过程n
3、 现实系统的分析：现实系统的分析：n了解背景，明确目的，提出总体方案。了解背景，明确目的，提出总体方案。n 组建模型：组建模型：n确定变量确定变量, 明确关系明确关系, 设计流程设计流程,编制程序编制程序n 运行检验：运行检验：n 确定初始状态，参量数值，确定初始状态，参量数值，n 运行程序，检验结果，改进模型。运行程序，检验结果，改进模型。n 输出结果输出结果 n二二. 系统仿真举例系统仿真举例n例例 1. 池水含盐池水含盐n池中有水池中有水 2000 m3，含盐，含盐 2 kg，n以以 6m3 / 分分 的速率向池中注入浓度的速率向池中注入浓度 0.5 kg / m3 的盐水的盐水n又以又
4、以 4 m3 / 分的速率从池中流出混合后的盐水分的速率从池中流出混合后的盐水n问欲使池中盐水浓度达到问欲使池中盐水浓度达到 0.2 kg / m3，需要多长时间，需要多长时间？ 回顾机理模型 n系统分析：系统分析：n池中有盐水，池中有盐水，n匀速注入浓盐水，匀速注入浓盐水，n匀速流出混合后的盐水，匀速流出混合后的盐水，n池中盐水的浓度变化。池中盐水的浓度变化。n 目的：仿真池中盐水浓度的变化，给出达到给定浓目的：仿真池中盐水浓度的变化，给出达到给定浓度的时间。度的时间。 n变量、参量变量、参量n 时间时间 t，体积，体积 V(t), 盐量盐量 S(t), 浓度浓度 p(t);n 流入流速流入
5、流速 rI, 流入浓度流入浓度 pI, n 流出流速流出流速 rO, 流出浓度流出浓度 p(t), 给定浓度给定浓度 p*n 时间步长时间步长 t , 打印步长打印步长 T.n关系关系: 在在 t, t+t 内有内有 n 动态系统仿真的伪代码动态系统仿真的伪代码n运算运算 池水含盐动态系统模拟池水含盐动态系统模拟n变量变量 V(n)=时刻时刻 n 池中盐水体积池中盐水体积n p(n)=时刻时刻 n 池中盐水浓度池中盐水浓度n S(n)=时刻时刻 n 池中盐水含盐量池中盐水含盐量n t = 时间单位时间单位 n N = 仿真时间长度仿真时间长度n输入输入 t，V(0), p(0), S(0),
6、N n过程过程 Beginn for n=0 to N don Beginn V(n+1)V(n)+(rI-r0) tn S(n+1)S(n)+ripi-r0p(n)tn p(n+1)S(n+1)/V(n+1)n Endn Endn输出输出 V(1), V(2), , V(n)n S(1), S(2), , S(n)n p(1), p(2), , p(n) 系统仿真流程图系统仿真流程图初始化初始化V(0),S(0)仿真时钟仿真时钟 t=0打印时钟打印时钟T=0计算计算V(t+t),S(t+t),p(t+t)时钟步进时钟步进t=t+t, T=T+1p(t)p*Tm 打印打印输出输出YNclft=
7、1; v=2000;s=2;p=1/1000;%初态初态V=v(end); S=s(end); P=p(end); x=0;%终态终态while p(end)=0.2 %最终阈值最终阈值 T=0; while T0.2 T=20;%转输出转输出 end; end; x=x, t-1;%时间记录时间记录 V=V, v(end); S=S, s(end); P=P, p(end);end; V1=10(-3).*V; a=x,V1,S,P %输出调节输出调节 n参数参数 rI=6，rO=4，pI=0.5，p*=0.2n初始初始 V(0)=2000, S(0)=2n步长步长 t =1 , m=10
8、n结果结果 表表3.15，t=185分分, 盐水浓度为盐水浓度为 0.2.n模型模型n问题问题n1. 在池水含盐的问题中令在池水含盐的问题中令n rO=rI=6m3/分分n 10. 池中盐水的浓度如何变化？池中盐水的浓度如何变化？n 20. 若当若当p(t) = 0.3kg/m3 时令时令pI=0,n 需要多少时间达到需要多少时间达到 p*= 0.2kg / m3?n2. 若池中盐水的初始浓度为若池中盐水的初始浓度为 p*，n 对于不同的初始体积对于不同的初始体积V0，当，当pI=0时，时，n 计算池中盐水浓度降低一半所用的时间计算池中盐水浓度降低一半所用的时间n例例2. 战争问题战争问题.
9、n两支军队，红军两支军队，红军(R)和蓝军和蓝军(B)，进行战斗。，进行战斗。n在这场常规战中，伤亡是由于直接交火（步兵）和在这场常规战中，伤亡是由于直接交火（步兵）和火炮射击（炮兵）火炮射击（炮兵） 。n假设直接交火的伤亡数与敌军步兵数成正比。假设直接交火的伤亡数与敌军步兵数成正比。n由炮火造成的伤亡数与敌军的炮兵数和友军的密度由炮火造成的伤亡数与敌军的炮兵数和友军的密度两者都有关系。两者都有关系。n红军聚集了五个师袭击两个师的蓝军。红军聚集了五个师袭击两个师的蓝军。n蓝军具有防御的和武器精良的优势。蓝军具有防御的和武器精良的优势。n蓝军为赢得战斗该尽多大的努力？蓝军为赢得战斗该尽多大的努力
10、？n假设：假设：n 1.武力水平正比于军队的数量。武力水平正比于军队的数量。 n 2.炮兵和步兵部队的伤亡正比于部队的数量，炮兵和步兵部队的伤亡正比于部队的数量，则双方剩下的炮兵或步兵部队正比于总的部队数则双方剩下的炮兵或步兵部队正比于总的部队数量。量。 n 3.直接交火的伤亡数与敌军步兵数成正比。直接交火的伤亡数与敌军步兵数成正比。n 4.由于炮火导致的伤亡直接正比于敌军武力水由于炮火导致的伤亡直接正比于敌军武力水平和友军密度水平的乘积平和友军密度水平的乘积 n参量、变量参量、变量 nR=红军单位数（师）红军单位数（师）nB=蓝军单位数（师）蓝军单位数（师）nDR=由直接交火导致的红军伤亡数
11、（单位由直接交火导致的红军伤亡数（单位/小时）小时） nDB=由直接交火导致的蓝军伤亡数（单位由直接交火导致的蓝军伤亡数（单位/小时）小时）nIR =由间接交火导致的红军伤亡数（单位由间接交火导致的红军伤亡数（单位/小时）小时）nIB =由间接交火导致的蓝军伤亡数（单位由间接交火导致的蓝军伤亡数（单位/小时）小时）n模型模型n DR=a1Bn DB=a2Rn IR=b1RBn IB=b2RBn R 0 , B 0n R(0)=5, B(0)=2n a1，a2 , b1 , b2 是正实数是正实数n a1a2 , b1 b2n目标：目标： 确定条件使得在确定条件使得在B0之前，之前， R0 n我
12、们将用两个状态变量：我们将用两个状态变量：nx1=R，红军部队的兵力单位数量，红军部队的兵力单位数量nx2=B，蓝军部队的兵力单位数量，蓝军部队的兵力单位数量n战斗问题的离散时间动态模型：战斗问题的离散时间动态模型：n x1= - a1x2 - b1x1x2n x2= - a2x1 - b2x1x2n算法：算法：DISCRETE TIME SIMULATIONn变量：变量：x1(n)=在时刻在时刻n的第的第1状态变量状态变量n x2(n)=在时刻在时刻n的第的第2状态变量状态变量n N= 时间阶段数时间阶段数n输入：输入：x1(0), x2(0)， N n过程：过程：Begin n for n
13、=1 to N do n Begin n x1(n) x1(n-1)+f1 ( x1(n-1), x2(n-1)n x2(n) x2(n-1)+f2 ( x1(n-1), x2(n-1) n Endn Endn输出输出: x1(1), , x1(N) n x2(1), , x2(N)n参数估计参数估计n初始初始x1(0)=5和和 x2(0)=2。时间步长。时间步长 t=1小时。小时。n推测，一个典型的正规战斗进行大约推测，一个典型的正规战斗进行大约5天，天，n每天持续约每天持续约12小时。小时。n这意味着一支部队在大约这意味着一支部队在大约60小时的战斗中消耗灭亡小时的战斗中消耗灭亡n如果一支
14、队伍在如果一支队伍在60小时内每小时减员小时内每小时减员5%，n那么剩余的部分将是那么剩余的部分将是(0.95)60=0.05, 结果看来正确结果看来正确n令令 a2 =0.05。 n因为炮火在杀伤力方面通常不如直接交火有效，因为炮火在杀伤力方面通常不如直接交火有效，n令令 b2 =0.005.n(注意到注意到b2 与与x1和和x2相乘，这就是为什么我们要将它相乘，这就是为什么我们要将它的值取得如此小。的值取得如此小。) n假设篮军比红军具有更有效的武器，假设篮军比红军具有更有效的武器，n因此因此 a1a2 且且 b1 b2。n假设假设 a1= a2 , b1 = b2, 1。n分析的目的是要
15、确定最小的分析的目的是要确定最小的 使得在使得在x20之前之前, x10成立。成立。n于是模型为于是模型为n x1= - a2x2 - b2x1x2n x2= - a2x1 - b2x1x2n我们将通过对若干个我们将通过对若干个 的值运行模拟程序求解这个的值运行模拟程序求解这个问题。问题。n分别对分别对 =1、1.5、2、3 和和5 运算这个模型。运算这个模型。n这样可以使我们知道这样可以使我们知道 应该是多大，应该是多大，n同时可以使我们对照人们对情形的直觉判断来检同时可以使我们对照人们对情形的直觉判断来检验模拟的结果。验模拟的结果。n例如，我们可以检验是否例如，我们可以检验是否 越大，对蓝
16、军越有利。越大，对蓝军越有利。n模拟结果模拟结果n优势（优势（） 战役役时间 胜方方 剩余剩余队伍伍n 1.0 8 R 4.4n 1.5 9 R 4.1n 2.0 9 R 3.7n 3.0 10 R 3.0n 5.0 17 R 1.0n 6.0 13 B 0.6n n结伦：结伦：n我们模拟了一场我们模拟了一场5个师的红军进攻和个师的红军进攻和2个师的蓝军个师的蓝军防守的交战。防守的交战。n我们假设双方全力投入并坚持战斗直到一方完全我们假设双方全力投入并坚持战斗直到一方完全获胜。获胜。n我们要研究能够弥补数量上处于我们要研究能够弥补数量上处于5:2的劣势的武器的劣势的武器有效性（杀伤力）的强度。
17、有效性（杀伤力）的强度。n我们对不同的武器精良性比率模拟了若干次战斗我们对不同的武器精良性比率模拟了若干次战斗n我们发现蓝军需要至少我们发现蓝军需要至少5.4:1的武器上的优势才能的武器上的优势才能战胜数量处于优势的战胜数量处于优势的5个师的红军队伍。个师的红军队伍。n灵敏性分析灵敏性分析n对这类多数数据完全来自猜测的问题做这样的分对这类多数数据完全来自猜测的问题做这样的分析特别重要。析特别重要。n我们从研究伤亡系数的数值和战斗结果之间的关我们从研究伤亡系数的数值和战斗结果之间的关系入手。系入手。n已经假设已经假设a2 =0.05, b2= a2 /10, a1= a2 和和b1 = b2 n
18、现在我们让现在我们让a2 变化，且保持它与其它变量的关系变化，且保持它与其它变量的关系n我们将研究我们将研究 min对对a2的依赖关系，的依赖关系，n这里这里 min定义为使得蓝军取胜的最小的定义为使得蓝军取胜的最小的 值。值。n于是对每个于是对每个a2值运行模型若干次。值运行模型若干次。n不需要将结果都列表表示，不需要将结果都列表表示，n因为对每种情形我们都检验因为对每种情形我们都检验(从从a2 =0.01到到a2 =0.10)发现发现 min=5.4, n正如在基本情形（正如在基本情形（a2 =0.05）得到的那样。）得到的那样。n显然显然 min对伤亡系数的数值一点都不敏感。对伤亡系数的
19、数值一点都不敏感。n还可以进行其它各种敏感性分析，还可以进行其它各种敏感性分析，n只要时间容许、好奇心持续不断、又没有其它工只要时间容许、好奇心持续不断、又没有其它工作压力。作压力。n我们甚至对我们甚至对 min和红军与蓝军的数量上优势率之间和红军与蓝军的数量上优势率之间的关系感兴趣，的关系感兴趣， n这里假设优势率为这里假设优势率为5:2。n为研究这个问题我们回到基本情况，为研究这个问题我们回到基本情况，a2 =0.05，n为确定为确定 min，n对各种不同的红军力量强度初值对各种不同的红军力量强度初值x1和固定的和固定的x2=2，运行模型。，运行模型。n这样进行的模型浏览得到的结果列于下表
20、这样进行的模型浏览得到的结果列于下表 . 运算运算情形情形 x1=2只是为了验证。只是为了验证。n我们得到此时我们得到此时 min=1.1, 因为因为 =1只会导致战平。只会导致战平。n力量对比率力量对比率(R:B) 最小优势最小优势 min n 8:2 11.8n 7:2 9.5n 6:2 7.3n 5:2 5.4n 4:2 3.6n 3:2 2.2n 2:2 1.1n问题问题 1. 考虑战争问题中天气对战争的影响。考虑战争问题中天气对战争的影响。n坏天气和糟糕的能见度会降低双方直接交火武器坏天气和糟糕的能见度会降低双方直接交火武器的效率。的效率。n间接交火武器的效率相对而言不太受天气的影响
21、。间接交火武器的效率相对而言不太受天气的影响。n我们可以在模型中表达坏天气的影响如下。我们可以在模型中表达坏天气的影响如下。n记记w为坏天气条件导致的武器效率的下降，用为坏天气条件导致的武器效率的下降，用 n x1= - w a2x2 - b2x1x2n x2= - wa2x1 - b2x1x2n代替原动态系统。代替原动态系统。n这里参数这里参数0 w 1表示天气条件的变化范围表示天气条件的变化范围, n w=1 表示最好的天气，表示最好的天气， w=0表示最糟糕的天气。表示最糟糕的天气。n(a) 模拟这个离散时间动态系统模拟这个离散时间动态系统, 取取 =3。n假设不利的天气引起双方武器效率
22、降低假设不利的天气引起双方武器效率降低75%（w=0.25）。）。n谁将赢得这场战斗，且战斗将进行多长时间？谁将赢得这场战斗，且战斗将进行多长时间？n胜利的一方还剩下多少队伍？胜利的一方还剩下多少队伍？n(b) 对对w=0.1, 0.2, 0.5, 0.75 和和0.9各种情况重复上面各种情况重复上面的分析，且将结果列表。的分析，且将结果列表。n回答回答(a)中提出的问题。中提出的问题。n(c) 哪一方从不利的天气条件中受益？哪一方从不利的天气条件中受益？n如果你是蓝军指挥官，你希望红军在晴天还是雨如果你是蓝军指挥官，你希望红军在晴天还是雨天进攻？天进攻？n(d) 检验你在检验你在(a)，(b
23、)和和(c)所得到的结论对蓝军相所得到的结论对蓝军相对于红军的武器优势程度依赖的敏感性。对于红军的武器优势程度依赖的敏感性。n对对 =1.5, 2.0, 4.0 和和5.0重复你在重复你在(a)和和 (b)所做的模所做的模拟，拟，n将结果列表。重新考虑在你在将结果列表。重新考虑在你在(c)所做的结论。所做的结论。n它们仍然正确吗？它们仍然正确吗？n问题问题 2. 在战争问题中考虑战术对战斗结果的影响在战争问题中考虑战术对战斗结果的影响n红军指挥官考虑选择五个师中的两个师保留到战红军指挥官考虑选择五个师中的两个师保留到战斗的第二天或第三天再参战。斗的第二天或第三天再参战。n你可以做两个独立的实验
24、去模拟偏离基本情况的你可以做两个独立的实验去模拟偏离基本情况的每种可能。每种可能。n首先模拟战斗的第一天或前两天，首先模拟战斗的第一天或前两天，n两个蓝军师对抗三个红军师。两个蓝军师对抗三个红军师。n然后将模拟得到的结果作为下一步战斗的初始条然后将模拟得到的结果作为下一步战斗的初始条件件n且对红军增加两个师。且对红军增加两个师。n(a) 运用计算模拟第一阶段的战斗，运用计算模拟第一阶段的战斗，n在这一阶段两个蓝军师对抗三个红军师。在这一阶段两个蓝军师对抗三个红军师。n假设假设 =2，并将最后力量在两种情形，并将最后力量在两种情形n（12或或24小时战斗）下列表。小时战斗）下列表。n(b) 用用
25、(a)的结果模拟下一阶段的战斗，的结果模拟下一阶段的战斗，n红军增加两个师，继续模拟。红军增加两个师，继续模拟。n对每种情形指出哪边赢得战斗，对每种情形指出哪边赢得战斗，n赢者还剩多少兵力，赢者还剩多少兵力，n战斗进行多长时间（两个阶段战斗共进行多少时战斗进行多长时间（两个阶段战斗共进行多少时间）。间）。n(c) 红军指挥官可能选择在第一天就投入全部力量，红军指挥官可能选择在第一天就投入全部力量，或者保留两个师一天或两天。或者保留两个师一天或两天。n这三个战术哪个较好？这三个战术哪个较好？n在取得胜利的基础上以损失最少的兵力为最优。在取得胜利的基础上以损失最少的兵力为最优。n(d) 对描述蓝军
26、武器优势程度的参数对描述蓝军武器优势程度的参数 进行敏感性进行敏感性分析。分析。 n对对 =1.0, 1.5, 3.0, 5.0 和和6.0重复重复(a) 和和 (b)，n对每个对每个 值确定最优战术。值确定最优战术。n叙述你关于红军最优战术的一般结果。叙述你关于红军最优战术的一般结果。n问题问题3.在战争问题中考虑战术核武器对战争的影在战争问题中考虑战术核武器对战争的影响。响。n处在绝望情形，蓝军指挥官考虑实施一次战术核处在绝望情形，蓝军指挥官考虑实施一次战术核武器打击。武器打击。n估计到这样一次打击会杀害或重创估计到这样一次打击会杀害或重创70%的红军和的红军和35%的蓝军。的蓝军。n(a
27、) 从初始条件从初始条件x1=(0.30)5.0, x2=(0.65)2.0开始，开始，n蓝军指挥员下令立刻进行一次核打击。蓝军指挥员下令立刻进行一次核打击。n取取 =3，谁将赢得战斗，战斗将持续多长时间？，谁将赢得战斗，战斗将持续多长时间？n赢方还剩下多少师的兵力？赢方还剩下多少师的兵力？n在这种情形下蓝军如何从进行一次核打击中得益在这种情形下蓝军如何从进行一次核打击中得益？ n(b) 蓝军指挥员在等待六小时后下达核打击命令。蓝军指挥员在等待六小时后下达核打击命令。n从从x1 =5 和和x2 =2开始模拟六小时的战斗。开始模拟六小时的战斗。n然后减少双方的队伍数量以反映一次核打击后的结果然后
28、减少双方的队伍数量以反映一次核打击后的结果n再接着模拟。再接着模拟。n回答在回答在(a)部分提出的同样的问题。部分提出的同样的问题。n(c) 将将(a)和和 (b)的结果与本章总结的消耗战的情况比较的结果与本章总结的消耗战的情况比较n讨论由蓝军提议进行的战术核打击的益处。讨论由蓝军提议进行的战术核打击的益处。n这样的提议有效吗？这样的提议有效吗？n如果有效，指挥员应在何时要求进行核打击？如果有效，指挥员应在何时要求进行核打击？n(d) 检验你在检验你在(c)部分的结论对篮军武器优势程度部分的结论对篮军武器优势程度 的敏的敏感性。感性。n对对 =1.0, 1.5, 3.0, 5.0 和和6.0重复重复(a) 和和 (b)部分的模拟，部分的模拟，回答上面相同的问题。回答上面相同的问题。
