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1、初中数学思想方法渗透与案例研讨武汉市教育科学研究院王霞关于数学思想方法不懂得数学思想方法的数学教师不是一个称职的教不懂得数学思想方法的数学教师不是一个称职的教师。师。 徐利治徐利治“只有靠了数学自身的经验，才能把握数学思想是什么？” R.柯朗 H.罗宾 “教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西” 德国诺贝尔奖获得者物理学家冯.劳厄关于数学思想方法学生在毕业之后不久，数学知识就很快忘掉了，然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、推理方法和着眼点（如果培养了这种素质的话），在随时发生作用，使他们受益终身。数学思想方法是数学的灵魂思想是课堂的生命什么是数
2、学思想方法通常是从“数学思想”和“数学方法”两个角度进行阐述的。 数学思想数学思想是对数学对象的本质认识，是从某些具体的数学内容（如概念、命题、规律）和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。 数学方法数学方法是指数学活动中所采用的各种方式、手段途径、策略等。数学知识、数学方法、数学思想数学知识体系的三个层次：数学知识、数学方法、数学思想数学知识、数学方法、数学思想相互联系，协同发展数学知识是数学思想方法解决问题所依附的材料数学方法是解决问题的途径、手段，是数学思想发展的前提数学思想是一类数学方法本质特征的反映，是数学方法
3、的灵魂。数学思想和数学方法在强调数学活动的指导思想时称数学思想在强调具体操作过程时则称数学方法。义务教育数学课程标准(2011年版)对数学思想方法的要求总体目标和课程关键词一、标准（2011年版）总目标通过义务教育阶段的数学学习，学生能：1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。3. 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。标准（2011年
4、版）中课程关键词标准（2011年版）还通过“数感”、“符号意识”、“运算能力”、“模型思想”、“空间观念”、“几何直观”、“推理能力”、“数据分析观念”等八个关键词体现了数学基本思想，并给出具体描述。 常见的初中数学思想常见的初中数学思想转化的思想、转化的思想、分类讨论的思想分类讨论的思想数形结合的思想数形结合的思想方程与函数的思想方程与函数的思想从特殊到一般的思想从特殊到一般的思想整体的思想、整体的思想、模型思想模型思想常见的初中常见的初中数学方法分析法、综合法、待定系数法、消元法、分析法、综合法、待定系数法、消元法、配方法、换元法、公式法、因式分解法、配方法、换元法、公式法、因式分解法、反
5、证法、同一法、割补法、面积法、反证法、同一法、割补法、面积法、枚举法、树形图法、列表法枚举法、树形图法、列表法转化思想所谓转化思想是指一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思维方式。转化思想是数学思想方法的核心，其它数学思想方法都是转化的手段或策略。 分类讨论所谓分类讨论是指对于复杂的对象，为了研究的需要.根据对象本质属性的相同点和差异性，将对象区分为不同种类，通过研究各类对象的性质，从而认识整体的性质的思想方式。 数形结合所谓数形结合是指抽象的数学语言与形象直观的图形结合起来.从而实现由抽象向具体转化的一种思维方式 数学教学的两条主线数学教学的两条主线明线:数学知识的教学暗线:数学思
6、想方法的教学初中数学思想方法的教学层次渗透介绍突出 渗透在具体的数学知识的教学中，融进某些抽象的数学思想方法，使学生对这些思想方法有一些初步的感觉或直觉。 介绍把某些数学思想方法在适当时候引进到数学知识中，使学生对这些思想方法由初步的理解，有一定的理性认识 突出在介绍的基础上经常性地予以强调，使学生能加以运用。初中数学教学中要突出的有数形结合、函数与方程、化归的思想方法等。 如何加强初中数学思想方法的渗透了解和把握数学思想方法在不同阶段的要求加强知识的发生过程，适时渗透数学思想方法 注意渗透的渐进性和反复性掌握数学方法和渗透数学思想的有机结合 教学内容解析教学内容解析本节内容是在学习一元一次不
7、等式的概念、不等式的性质及运用不等式的性质解简单不等式后，再结合实际问题对列、解一元一次不等式作进一步的探究，归纳出一元一次不等式与一元一次方程解法的异同及应注意的问题。体验建模思想、类比思想与体验建模思想、类比思想与化归思想，并使这些思想方法在方程（组）后得到化归思想，并使这些思想方法在方程（组）后得到进一步的发展与强化。进一步的发展与强化。在知识类型上属于程序性知识，有先行组织者的作用。一元一次不等式既是一元一次方程的延续与发展，又是学习不等式组的基石、学习一次函数与不等式关系的重要支撑，在数与代数的知识板块中是承上启下的枢纽，是人们进行正确决策的重要工具。教学重点教学重点列一元一次不等式
8、解决具有不等关系的实际问题教学目标教学目标（1）学会抽象实际问题中的数与量，分析数量之间的不等关系，依据不等关系列不等式，体会建模思想；（2）掌握一元一次不等式的解法，提升运算能力，体验类比思想、化归思想体验类比思想、化归思想；（3） 在探究实际问题的过程中，初步体会研究一个复杂问题的基本套路，体验分类讨论、从特殊到体验分类讨论、从特殊到一般的思想方法一般的思想方法。培养合作意识与探究精神，感受数学美。学生学情分析学生学情分析学生在上学期已经对一元一次方程有一定的认识，会用方程表示问题情境中的等量关系，会解一元一次方程。方程与不等式是同属“数与代数”领域内同一标题下的两部分内容，它们有许多的共
9、同点，通过类比类比，让学生实现从方程到不等式的迁移。它们也有不同之处，方程是表达相等关系的数学模型，不等式是表达不等关系的模型，解方程是依据等式性质，解不等式是依据不等式性质，方程的解是一个值，不等式的解是一个范围，通过观察、比较与辨析，让学生消除旧知识的干扰，归纳出解不等式中应注意的问题，转化不等式的解为实际问题的解。教学策略分析教学策略分析将教材购物问题中的甲、乙两家商场改为家乡的中百、武商两家超市，拉近与学生之间的距离；将购物金额扩大10倍，更贴近现实生活，更真实，更有意义；面对复杂的优惠方案与缺少购物经验的学生，设计试购让学生亲身体验事实，面对学生感性的判断，用实践印证猜想；结合数轴，
10、让学生正确分类与小结；同时引出方程与不等式，在学生的最近思维区引发认知上的联系与冲突，让学生类比、迁移、类比、迁移、归纳归纳，一气呵成；以现有的问题为载体，深化结论，激发潜能，提升技能，水到渠成。教学基本流程教学基本流程情境导课（巧叩柴扉门自开）情境导课（巧叩柴扉门自开） 实验探究（曲径通幽楼台显实验探究（曲径通幽楼台显 ）深化拓展（一路楼台直到山）深化拓展（一路楼台直到山） 综合运用（雏鹰振翅欲高飞）综合运用（雏鹰振翅欲高飞）反思升华（华章重奏润心田）反思升华（华章重奏润心田）教学设计的三条线教学设计的三条线一、情境线（明线）一、情境线（明线）- 魅力无限魅力无限比赛购票比赛购票比赛购票比赛
11、购票家家乡乡素素材材超市购物超市购物选购汽车选购汽车源源自自生生活活 服服务务生生活活教学设计的三条线教学设计的三条线二、知识能力线（主线二、知识能力线（主线) ) - 交织更迭交织更迭、螺旋上升螺旋上升列列不不等等式式解解不不等等式式10x100.8201000+0.9(x-1000) 500+0.95(x-500)500+0.95(x-500) - 1000+0.9(x-1000) 32518x+10(10-x) 120实际问题实际问题三线合一三线合一 一线串珠一线串珠情景线情景线情景线情景线设设计计思思想想知识线知识线思想线思想线水水乳乳交交融融定定位位思思想想三、思想线（暗线）三、思想
12、线（暗线）鲜活的思想在课堂中流淌鲜活的思想在课堂中流淌 教学设计的三条线教学设计的三条线数形结合数形结合利用数轴分析数据利用数轴分析数据分类讨论分类讨论化整为零化整为零从特殊到一般从特殊到一般由数到式由数到式建模建模生活问题数学化生活问题数学化类比类比由方程到不等式由方程到不等式化归化归由繁到简由繁到简教学点评预设充分，生成精彩，曲径通幽楼台显预设充分，生成精彩，曲径通幽楼台显遵循规律，渗透思想，润物无声巧然得遵循规律，渗透思想，润物无声巧然得数学思想方法在评价中的体现数学思想方法在评价中的体现 数学归纳思想数学归纳思想的考核基本上在探索规律和应用中进行.关注呈现方式的多样性.让数学认知风格、
13、数学思维特征、数学表示方面存在差异的学生的解答水平都能得到较好的体现.例1、将边长分别为1、1、2、3、5的正方形依次选取2个、3个、4个、5个拼成矩形，按下面的规律依次记作矩形、矩形、矩形、矩形若继续选取适当的正方形拼成矩形，那么按此规律，矩形的周长应该为CA288 B220 C178 D11011231511211321?数学模型思想模型思想是体现数学应用价值的典型思想。数学模型思想的考查主要在函数、方程（组）、不等式（组）建模活动中进行.建模的背景一般是学生熟悉的实际问题背景（也有数学背景），考查学生真实化情境中的认知过程，有效反映出学生真实的思维过程，全面考查学生的基本数学素养.连接着
14、汉口集家咀和汉阳南岸咀的江汉三桥(晴川桥)，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由.模型思想yxABEFCO第23题图第23题图23题图 水是生命之源为了让市民珍惜水资
15、源，节约用水，从水是生命之源为了让市民珍惜水资源，节约用水，从水是生命之源为了让市民珍惜水资源，节约用水，从水是生命之源为了让市民珍惜水资源，节约用水，从20062006年年年年5 5月月月月1 1日起，日起，日起，日起，武汉市居民生活用水供水价实行三级收费标准：户籍人口武汉市居民生活用水供水价实行三级收费标准：户籍人口武汉市居民生活用水供水价实行三级收费标准：户籍人口武汉市居民生活用水供水价实行三级收费标准：户籍人口4 4人及以下的用人及以下的用人及以下的用人及以下的用户，每户每月用水量中，户，每户每月用水量中，户，每户每月用水量中，户，每户每月用水量中，25m3(25m3(含含含含25m3
16、)25m3)以内的部分为第一级，价格为以内的部分为第一级，价格为以内的部分为第一级，价格为以内的部分为第一级，价格为1.901.90元元元元/m3/m3；25m325m3至至至至33m3(33m3(含含含含33m3)33m3)的部分为第二级，价格为的部分为第二级，价格为的部分为第二级，价格为的部分为第二级，价格为2.452.45元元元元/m3/m3；超过；超过；超过；超过33m333m3的部分为第三级，价格为的部分为第三级，价格为的部分为第三级，价格为的部分为第三级，价格为3.003.00元元元元/m3/m3 小李家户籍人口小李家户籍人口小李家户籍人口小李家户籍人口3 3人，在人，在人，在人，
17、在20062006年连续年连续年连续年连续5 5个月的同一日对他家的水表止码做个月的同一日对他家的水表止码做个月的同一日对他家的水表止码做个月的同一日对他家的水表止码做了如下记录：了如下记录：了如下记录：了如下记录： 时间时间时间时间1 1月月月月1 1日日日日2 2月月月月1 1日日日日3 3月月月月1 1日日日日4 4月月月月1 1日日日日5 5月月月月1 1日水表止码日水表止码日水表止码日水表止码00128001490016900187002080012800149001690018700208请你利用所学统计知识解答下列问题请你利用所学统计知识解答下列问题请你利用所学统计知识解答下列问
18、题请你利用所学统计知识解答下列问题( (不不不不考虑季节性用水量的差异考虑季节性用水量的差异考虑季节性用水量的差异考虑季节性用水量的差异) )： （1 1）估计）估计）估计）估计20062006年小李家平均每月用水量大约多少立方米？年小李家平均每月用水量大约多少立方米？年小李家平均每月用水量大约多少立方米？年小李家平均每月用水量大约多少立方米？ （2 2）小李家从）小李家从）小李家从）小李家从20062006年年年年5 5月月月月1 1日起采取节水措施，若每月用水量平均节约日起采取节水措施，若每月用水量平均节约日起采取节水措施，若每月用水量平均节约日起采取节水措施，若每月用水量平均节约2 2
19、m3m3，且每月用水量均在第一级，那么小李家，且每月用水量均在第一级，那么小李家，且每月用水量均在第一级，那么小李家，且每月用水量均在第一级，那么小李家20062006年余下的年余下的年余下的年余下的8 8个月的水费个月的水费个月的水费个月的水费大约共多少元？大约共多少元？大约共多少元？大约共多少元？数形结合思想数形结合思想是几何直观思想的反映，也是反映数学学科本质特征的基本思想（数学是研究数量关系和空间形式之间的科学，两类重要研究对象之间的联系反映了数学研究对象的本质特征）。对数形结合思想的考查，主要以坐标系和几何度量为背景。用数形结合思想解决问题的关键是用几何知识对问题进行直观表示与分析，
20、对图形进行代数刻画，建立适当的模型解决问题.评价在一条笔直的航道上顺次有A、B、C三个港口，一艘轮船从A港出发，匀速航行到C港后返回到B港，轮船离B港的距离y（千米），与航行时间x（小时）之间的函数图象如图所示，若航行过程中水流速度和轮船的静水速度保持不变，则水流速度为 千米/小时 评价评价已知A、B两地相距4千米上午8:00，甲从A地出发步行到B地，8:20乙从B地出发骑自行车到A地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间(分)之间的关系如图所示由图中的信息可知，乙到达A地的时间为（A）8:30 （B）8:35 （C）8:40 （D）8:45图转化思想转化思想是指在研究和解决问题时将一种数学对象转化为另一种数学对象是所采用的数学方法。运用转化思想可以化繁为简，化难为易，化未知为已知，进而完成数与数的转化、形与形的转化、数与形的转化，从而更快更好地解决数学问题。评价如图，为的切线，为切点过作的垂线，垂足为点，交于点延长与交于点，与的延长线交于点（1）求证：为的切线；（2）若，求的值图图1结束语结束语数学能力取决于数学方法。只有长期坚持不懈地加强数学思想方法的教学，做到有机渗透、系统渗透、反复渗透，才能充分发挥数学思想方法的功能作用，切实提高数学教学的质量，提高学生的数学素养。Thanks 谢谢！谢谢！
