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1、第十讲第十讲数值积分数值积分1第十讲主要知识点求积公式、代数精度的概念求积公式、代数精度的概念牛顿柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式、高斯型牛顿柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式、高斯型求积公式求积公式* *各种求积公式的代数精度各种求积公式的代数精度2引言 依据微积分基本定理依据微积分基本定理, , 只要找到被积函数只要找到被积函数的原函数的原函数 ， ，便有牛顿，便有牛顿- -莱伯莱伯公式公式 由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数，由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数， 而实验测量或数值计算给出的通常是一张函数表，所以牛而实验测量或数值计算给出的通常是一张函数表，所
2、以牛顿顿- -莱伯尼兹公式往往不能直接运用。因此有必要研究积分莱伯尼兹公式往往不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。的数值计算问题。3数值求积的基本思想 依据积分中值定理，依据积分中值定理， 就是说，底为就是说，底为 而高为而高为 的矩形面积恰恰等的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。于所求曲边梯形的面积。 取取 内若干个节点内若干个节点 处的高度处的高度 ，通过加权平均的方法生成平均高度通过加权平均的方法生成平均高度 ，这类求，这类求积公式称机械求积公式：积公式称机械求积公式： 式中式中 称为求积节点，称为求积节点， 称为求积系数，亦称称为求积系数，亦称伴随节点的权。伴随节点的权。
3、4定积分的思想 1.1.求积公式的一般形式求积公式的一般形式 我们知道，定积分是求和式的极限即我们知道，定积分是求和式的极限即 。 它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知，它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知，定积分的基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、定积分的基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成取极限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量若干分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表（这里是用矩形面积近似曲中用容易计算的量去代表（这里是用矩形面积近似曲边梯形面积）
4、；求和就是把分量加起来得到总近似值；边梯形面积）；求和就是把分量加起来得到总近似值；最后取极限就得到积分精确值。最后取极限就得到积分精确值。 5矩形公式将被积函数将被积函数在在a处泰勒处泰勒 展开展开，在在x、a之间，之间，在在上连续，而上连续，而在在上不变号（非负），由积分中值定理知上不变号（非负），由积分中值定理知于是有于是有 两端积分两端积分注意右端第二项，设注意右端第二项，设式称为式称为左矩形公式左矩形公式，其余项为，其余项为，6矩形公式(续)或者写为或者写为同理，有同理，有右矩形公式右矩形公式和和中矩形公式中矩形公式7插值型求积公式 由插值理论可知，任一函数由插值理论可知，任一函数给
5、定一组节点给定一组节点后，后，可用一可用一n次次多项式多项式对其插值，即对其插值，即因此因此当当为拉格朗日插值多项式时，即为拉格朗日插值多项式时，即则则， 8插值型求积公式(续)其中其中通常称公式为通常称公式为插值型求积公式插值型求积公式。9代数精度的概念 数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积公式对于求积公式对于“尽可能多尽可能多”的函数是准确的。的函数是准确的。 如果机械求积公式对如果机械求积公式对 均能准确成均能准确成立但对立但对 不准确，则称机械求积公式具有不准确，则称机械求积公式具有 次次代数精度。代数精度。 事实上，
6、令求积公式对事实上，令求积公式对 准确成立，即得准确成立，即得 可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本质上是个解线性方程组的代数问题。质上是个解线性方程组的代数问题。10插值型求积公式的代数精度(续1） 容易验证左（右）矩形公式具有零次代数容易验证左（右）矩形公式具有零次代数精度，精度，中矩形公式中矩形公式具有一次代数精度。对于插具有一次代数精度。对于插值型求积公式其余项值型求积公式其余项 因此对于次数不大于因此对于次数不大于n的多项式的多项式其余项其余项因而插值型求积公式至少具有因而插值型求积公式至少具有n次次代数精度。代
7、数精度。11插值型求积公式的代数精度(续2） 反之，如果求积公式至少具有反之，如果求积公式至少具有n次次代数精代数精度，则对于插值基函数度，则对于插值基函数（为（为n次次多项式）求积公式准确成立，即多项式）求积公式准确成立，即注意到注意到，上式右端实际上等于，上式右端实际上等于即即求积公式为插值型求积公式。求积公式为插值型求积公式。12插值型求积公式的代数精度(续3） 定理定理机械求积公式至少有机械求积公式至少有 次代数精度的充次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。分必要条件是它是插值型的。13梯形公式 利用插值求积公式，构造等距节点插值多项式利用插值求积公式，构造等距节点插值多项式 并以并
8、以近似近似 ，这样就可以得到各，这样就可以得到各种近似公式种近似公式过过两点，作直线两点，作直线以以近似近似得：得： 易见，上式的几何意义是用梯形易见，上式的几何意义是用梯形面积近似代替曲边梯形的面积，面积近似代替曲边梯形的面积，故称式为梯形求积公式，如图所示。故称式为梯形求积公式，如图所示。14梯形公式(续1）定理定理5.25.2设设在区间在区间 上具有二阶连上具有二阶连续导数，则梯形求积公式有误差估计：续导数，则梯形求积公式有误差估计：证证明：由插明：由插值值求求积积公式公式误误差差(5.9)(5.9)式得式得由于由于，且，且，用积分中值定理，存在用积分中值定理，存在使使15梯形公式(续2
9、） 显然梯形公式至少具有一次代数精度。可以令显然梯形公式至少具有一次代数精度。可以令则有则有因此梯形公式的代数精度为因此梯形公式的代数精度为1 1。 16梯形公式例题 例例1 1 利用梯形公式利用梯形公式计计算算解：解：17牛顿柯特斯公式 设分设分 为为 等份，步长等份，步长 ，取等分点，取等分点构造出的插值型求积公式（其中构造出的插值型求积公式（其中 ）称作称作 阶阶牛顿柯特斯牛顿柯特斯公式。公式。一阶和二阶牛顿柯特斯公式分别是梯形公式一阶和二阶牛顿柯特斯公式分别是梯形公式和辛甫生公式和辛甫生公式四阶牛顿柯特斯公式，也称为柯特斯公式：四阶牛顿柯特斯公式，也称为柯特斯公式：18几种低阶求积公式
10、的代数精度 阶的牛顿柯特斯公式至少有阶的牛顿柯特斯公式至少有 次代数精度，次代数精度，事实上，二阶的辛甫生公式与四阶的柯特斯公式在精事实上，二阶的辛甫生公式与四阶的柯特斯公式在精度方面会获得度方面会获得 “额外额外” 的好处，它们分别有的好处，它们分别有3 次和次和5次次代数精度。代数精度。 因此，在几种低阶的牛顿柯特斯公式中，人们因此，在几种低阶的牛顿柯特斯公式中，人们更感兴趣的是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫更感兴趣的是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。生公式和柯特斯公式。19几种低阶求积公式的余项 利用线性插值的余项公式以及积分中值定利用线性插值的余项公式以及积分
11、中值定理，我们可以得到梯形公式的余项：理，我们可以得到梯形公式的余项： 利用埃尔米特插值的余项公式以及积分中值利用埃尔米特插值的余项公式以及积分中值定理我们可以得到辛甫生公式的余项：定理我们可以得到辛甫生公式的余项： 另外，我们可以得到如下柯特斯公式的分另外，我们可以得到如下柯特斯公式的分余项：余项：20复化求积公式 在使用牛顿柯特斯公式时，通过提高阶的途在使用牛顿柯特斯公式时，通过提高阶的途径并不总能取得满意的效果，为了改善求积公式的精径并不总能取得满意的效果，为了改善求积公式的精度，一种行之有效的方法是复化求积。度，一种行之有效的方法是复化求积。 将将 分为分为 等份，步长等份，步长 ，分
12、点，分点所谓复化求积公式，就是先用低阶的求积公式求得每所谓复化求积公式，就是先用低阶的求积公式求得每个子段个子段 上的积分值上的积分值 ，然后用，然后用 作为积作为积 的的近似值。复化梯形公式有如下形式：近似值。复化梯形公式有如下形式：其余项为：其余项为：21 把把区间区间a，b分割成分割成 n 等分等分，分点，分点 得到得到 复化左矩形公式复化左矩形公式 复化求积公式(续1）22复化求积公式(续2）23梯形法的递推化梯形法的递推化 实际计算中，由于要事先给出一个合适的步长往实际计算中，由于要事先给出一个合适的步长往往很困难，所以我们往往采用变步长的计算方案，即往很困难，所以我们往往采用变步长
13、的计算方案，即在步长逐步分半的过程中，反复利用复化求积公式进在步长逐步分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止。行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止。 设设 表示复化梯形求得的积分值，其下标表示复化梯形求得的积分值，其下标 是是等分数，由此则有递推公式等分数，由此则有递推公式 其中其中24 梯形法的加速 梯形法的算法简单，但精度低，收敛的速度缓提梯形法的算法简单，但精度低，收敛的速度缓提高收敛速度以节省计算量呢？高收敛速度以节省计算量呢？ 由复化梯形公式的截断误差公式可得，由复化梯形公式的截断误差公式可得，整理得，整理得，由此可知，由此可知， 这样导
14、出的加速公式是辛甫生公式：这样导出的加速公式是辛甫生公式：25龙贝格算法 我们可以在步长逐步分半过程中将粗糙的积分值我们可以在步长逐步分半过程中将粗糙的积分值逐步加工为精度较高的积分值逐步加工为精度较高的积分值 ： 或者说将收敛缓慢的梯形值序列或者说将收敛缓慢的梯形值序列 加工成收敛迅速的加工成收敛迅速的积分值序列积分值序列 ，这种加速方法称为龙贝格算法。，这种加速方法称为龙贝格算法。26 例例2 2用用RombergRomberg公式计算积分公式计算积分 解：解：按按RombergRomberg公式公式的求积步骤进行计的求积步骤进行计算，结果如下：算，结果如下：龙贝格算法例题27龙贝格算法例
15、题(续1）28龙贝格算法例题(续2）29 把区间再把区间再分半，重复步骤分半，重复步骤(4)，可算出，可算出结果：结果： 至此得至此得 ，因为计算只用小因为计算只用小数点后五位，故精确度只要求到数点后五位，故精确度只要求到0.00001因因此积分此积分 龙贝格算法例题(续3）30高精度的求积公式 不失一般性，设不失一般性，设 ，考虑下，考虑下列求积公式列求积公式 我们将会看到，适当的选取求积节点我们将会看到，适当的选取求积节点可以使上述求积公式具有可以使上述求积公式具有 次代数精度，次代数精度，这种高精度的求积公式称为高斯（这种高精度的求积公式称为高斯（Gauss）公式，高斯公式的求积节点称为
16、高斯点。公式，高斯公式的求积节点称为高斯点。31高斯点的基本特性 尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的困难，所以我们要从研究高斯点的基本特性着手解决高斯困难，所以我们要从研究高斯点的基本特性着手解决高斯公式的构造问题。公式的构造问题。 设设 是求积公式中的高斯点，令是求积公式中的高斯点，令 则有如下结论：则有如下结论： 定理定理 节点节点 是高斯点的充分必是高斯点的充分必要条件是多项式要条件是多项式 与一切次数与一切次数 的多项式的多项式
17、正交，即成立正交，即成立32勒让德多项式 以高斯点以高斯点 为零点的为零点的 次多项式次多项式称为勒让德称为勒让德(Legendre)多项式。多项式。 一般的，勒让德多项式可以依据一般的，勒让德多项式可以依据来求得。来求得。33 牛顿牛顿柯特斯型求积公式是封闭型的（区间柯特斯型求积公式是封闭型的（区间a,b的两端点的两端点a, b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛受此限制，牛顿顿柯特斯型求积公式的代数精确度只能是柯特斯型求积公式的代数精确度只能是n(n为奇数为奇数)或或n+1(n为偶数为偶数)。而如果对求积节点也适当的选取。而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中即在求积公式中不仅不仅Ak而且而且xk也加以选取也加以选取,这就可以增加自由度，从而可提高这就可以增加自由度，从而可提高求积公式的代数精确度。求积公式的代数精确度。 高斯公式高斯公式34高斯公式高斯公式(续1）35高斯公式高斯公式(续2）36高斯公式高斯公式(续3）37高斯高斯勒让德公式公式38高斯高斯勒让德公式公式(续）39带权的高斯公式高斯公式40高斯公式例题高斯公式例题41高斯公式例题高斯公式例题(续)42本讲结束！ 谢谢大家！ 再见！43
