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1、2.2.2直接证明与间接证明-反证法 1.反证法是间接证明的一种基本方法假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反2反证法的一般步骤(1)反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立3.应用反证法证明命题时，反设必须恰当，常见的“结论词”与“反设词
2、”归纳如下：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词一个也没有至少有两个至多n1个没有或至少两个存在x0不成立存在x0成立原结论词都是p或qp且q反设词不都是p且qp或q4常见的主要矛盾反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，常见的主要矛盾有三类：(1)与已知条件矛盾；(2)与假设矛盾(自相矛盾)；(3)与定义、定理、公理、事实矛盾5一般情况下，什么样的证明题型适宜用反证法宜用反证法证明的题型一般有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7
3、)涉及“无限”结论的命题等.例例1 1 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一个根。一个根。例例2 2：用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么 例例3 3 求证：求证： 是无理数。是无理数。(2009辽宁)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点(1)若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线(2)证明连结EN，如图假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN， 又 ABCDEF， 所 以ENEF，这与ENEFE矛盾，故假设不成立所以ME与BN不共面，它们是异面直线
