相似理论和量纲分析

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1、第二章 相似理论和量纲分析 2.1 流体力学模型实验的理论基础 原型原型：实际的流动现象 模型模型：在实验室中按一定的比尺（一般为缩尺）进行重演或预演的流动现象。 模型实验模型实验：通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的流动现象的实验。 模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。流体力学实验理论1 对于模型实验研究： 如何选定制作模型的比尺、实验中流动参数及变化范围并使得模型实验的流动状态和原型流动相似，使模型实验的结果符合于实际？ 如何将模型实验结果推广应用到原型上去？如何根据特定条件下得到的实验结果推广应用到同类相似的

2、流动中？ 模型实验的理论基础包括： 相似理论相似理论 量纲分析量纲分析22.2 流动的力学相似 相似的概念相似的概念：首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，则它们的对应角相等，对应边成比例。 流体力学相似流体力学相似：是几何相似概念在流体力学中的推广和发展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。 表征流动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流动的力学相似主要包括流场的几何相似、运动相似和动力相似。31. 几何相似 保持几何相似是模型实验最基本的要求。

3、 几何相似是指模型与原型的全部对应线性长度的比例相等，即 线性长度也称为特征长度，可以是翼型的翼弦长b，圆柱的直径d，管道的长度l，管壁绝对粗糙度等，式中kl为长度比尺长度比尺。两机翼几何相似模型流动用上标表示4 只要模型与原型的全部对应线性长度的比例相等，则它们的夹角必相等。 由于几何相似，模型与原型的对应面积、对应体积也分别互成一定比例，即 面积比尺面积比尺 体积比尺体积比尺 5正态模型正态模型：长、宽、高比尺均一致的模型。在流体力学模型实验中，一般采用正态模型。变态模型变态模型：分别采用不同的长度比尺、高度比尺和宽度比尺，如天然河道的模型。62. 运动相似 运动相似运动相似是指模型与原型

4、的流场所有对应点、对应时刻的流速方向相同而大小成比例，即速度比尺速度比尺kv为： 流场运动相似7 由于流场的几何相似是运动相似的前提条件，因此模型与原型流场中流体微团经过对应路程所需要的时间也必互成一定比例，即 时间比尺时间比尺: 由几何相似和运动相似还可以导出用kl、kv表示的有关运动学量的比尺如下： 8 加速度比尺加速度比尺 体积流量比尺体积流量比尺 运动粘度比尺运动粘度比尺 角速度比尺角速度比尺 只要确定了模型与原型的长度比尺长度比尺和速度比尺速度比尺，便可由它们的不同组合确定所有运动学量的比尺。93. 动力相似 动力相似动力相似是指模型与原型的流场所有对应点作用在流是指模型与原型的流场

5、所有对应点作用在流体微团上的各种力彼此方向相同，而它们大小的比例相等体微团上的各种力彼此方向相同，而它们大小的比例相等 动力相似10 以上三种相似是互相联系的。流场的几何相似是流动力流场的几何相似是流动力学相似的前提条件，动力相似是决定运动相似的主导因素，学相似的前提条件，动力相似是决定运动相似的主导因素，而运动相似则是几何相似和动力相似的表现。而运动相似则是几何相似和动力相似的表现。 因此，因此，模型与原型流场的几何相似、运动相似和动力相模型与原型流场的几何相似、运动相似和动力相似是两个流场完全相似的重要特征。似是两个流场完全相似的重要特征。由此模型与原型流场的密度也必互成一定比例，即 密度

6、比尺：密度比尺： 由于两个流场的密度比尺常常是已知的或者是已经选定的，故做流体力学的模型实验时，经常选取 、 、 作为基本比尺基本比尺，即选取 、 、 作为独立的基本变量。11 于是可导出用 、 和 表示的有关动力学的比尺如下： 力的比尺力的比尺 力矩（功、能）比尺力矩（功、能）比尺 压强（应力）比尺压强（应力）比尺 功率比尺功率比尺 动力粘度比尺动力粘度比尺12 有了以上关于几何学量、运动学量和动力有了以上关于几何学量、运动学量和动力学量的三组比尺，模型与原型流场之间各物理学量的三组比尺，模型与原型流场之间各物理量的量的相似比尺换算相似比尺换算就很方便了。就很方便了。 其他还有温度相似（热相

7、似）、浓度相似其他还有温度相似（热相似）、浓度相似等在传热、扩散等问题的模型实验中会用到。等在传热、扩散等问题的模型实验中会用到。132.3 相似准则（相似准数、相似判据）1. 相似准则相似准则 相似准则相似准则（相似判据相似判据）：由流动的特征量所组成的无量纲组合量，通过它们来判断模型和原型流动是否满足（动力动力）相似。 几何相似准则：矩形相似。称为几何相似准则数或无量纲边长。称为几何相似准则数或无量纲边长。 如何导出动力相似准则（相似判据）？如何导出动力相似准则（相似判据）？142. 动力相似准则 任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律 . .对模

8、型与原型流场中的流体微团应用牛顿第二定律，对模型与原型流场中的流体微团应用牛顿第二定律，再按照动力相似，各种力大小的比例相等，可得再按照动力相似，各种力大小的比例相等，可得 令令 Ne称为牛顿（称为牛顿（I.Newton）数数, ,它是作用力与惯性力的它是作用力与惯性力的比值，比值，是一个无量纲数。是一个无量纲数。 15 模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必定相等即数必定相等即 ; ;反之亦然。这便是由反之亦然。这便是由牛顿第二定律引出的牛顿相似准则。牛顿第二定律引出的牛顿相似准则。 不论是何种性质的力，要保证两种流场的不论是何种性质的力，要保证两种流场

9、的动力相似，它们都要服从牛顿相似准则动力相似，它们都要服从牛顿相似准则，于是，可得： 一、重力相似准则一、重力相似准则 二、粘性力相似准则二、粘性力相似准则 三、压力相似准则三、压力相似准则 四、非定常性相似准则四、非定常性相似准则 五、弹性力相似准则五、弹性力相似准则 六、表面张力相似准则六、表面张力相似准则16 重力相似准则 代入牛顿相似准则， Fr称为弗劳德（称为弗劳德（W.Froude）数数, ,它是惯性力它是惯性力与重力的比值。与重力的比值。17 模型和原型流动的重力作用相似，它们模型和原型流动的重力作用相似，它们的弗劳德数必定相等，即的弗劳德数必定相等，即 ；反之亦；反之亦然。这便

10、是重力相似准则。然。这便是重力相似准则。又称弗劳德相似准则。由此可知，重力作用相似的流场，有关物理量的比尺要受弗劳德相似准则的制约，不能全部任意选择。 由于在重力场中 ，故有 18 粘性力相似准则 19 Re称为雷诺（Reynolds）数,它是惯性力与粘滞力的比值。 模型和原型流动的粘性力作用相似，它们的雷模型和原型流动的粘性力作用相似，它们的雷诺数必定相等，即诺数必定相等，即 ；反之亦然。这便是粘；反之亦然。这便是粘性力相似准则，又称雷诺相似准则。性力相似准则，又称雷诺相似准则。 由此可知，粘性力作用相似的流场，有关物理量的比尺要受雷诺相似准则雷诺相似准则的制约，不能全部任意选择。例如，当模

11、型与原型用同一种流体介质时， 故有 20 压力相似准则 Eu称为欧拉（L.Euler）数,它是压力与惯性力的比值。模型和原型流动的压力作用相似，它们的欧拉数必定相等，即 ；反之亦然。这便是压力相似准则，又称欧拉相似准则。21欧拉数中的压强p也可用压差 来代替，这时欧拉数欧拉相似准则22 非定常性相似准则 对于非定常流动的模型实验，必须保证模型与原型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯性力之比可以表示为 代入得 也可写成 令 St称为斯特劳哈尔（V.Strouhal）数。23 它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。二非定常流动相似，它们的斯特劳哈尔数必定相等， ；反之亦然。这便是非定常性相似

12、准则，又称斯特劳哈尔准则。 倘若非定常流是流体的波动或振荡，其频率为 ,则 斯特劳哈尔数 斯特劳哈尔准则 24 弹性力相似准则 式中K为体积模量， 为体积模量比尺。 Ca称为柯西（B.A.L.Cauchy）数,它是惯性力与弹性力的比值。模型和原型流动的弹性力作用相似，它们的柯西数必相等。反之亦然。这便是弹性力相似准则，又称柯西准则。25 对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于 （c为声速），故弹性力的比尺又可表示为 ，代入得， Ma称为马赫（L.Mach）数,它仍是惯性力与弹性力的比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必定 相等，即 ；反之亦然。这仍是弹性力相似准则，又称马赫相似准则。

13、26 表面张力相似准则 在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布必须相似。作用在模型和原型流场流体微团上的表面张力之比可以表示为 式中 为表面张力， 为表面张力比尺。将上式代入得 也可写成 令 We 称为 韦伯（M.Weber)数，它是惯性力与表面张力的比值。二流动的表面张力作用相似，它们的韦伯数必定相等，即 ；反之亦然。这便是表面张力相似准则，又称韦伯相似准则。27 上述的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉上述的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉数、斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯数、斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯数等统称为相似准数。数等统称为相似准数。 牛顿第二定律所表述的是形式最简单、最

14、基本的运动微分方程。根据该方程可导出在各种性质单项力作用下的相似准则。在实际流动中，作用在流体微团上的力往往不是单项力，而是多项力，这时牛顿第二定律中的力代表的便是多项力的合力。 上述导出动力相似准则的方法导出动力相似准则的方法称为物理法物理法则分析法则分析法，即根据物理法则或物理定律用特根据物理法则或物理定律用特征物理量表示各种力的量级，用这些力的量征物理量表示各种力的量级，用这些力的量级比值构成相似准则数。级比值构成相似准则数。28优点：导出的相似准则数物理意义明确；优点：导出的相似准则数物理意义明确； 适用于未知物理方程的流动适用于未知物理方程的流动。缺点：当无法判定控制流动的物理定律时

15、不能缺点：当无法判定控制流动的物理定律时不能运用。运用。 29 方程分析法方程分析法确定相似准数的方法（方程已知）确定相似准数的方法（方程已知）流动相似：控制原型和模型流动的无量纲物理方程完全相同流动相似：控制原型和模型流动的无量纲物理方程完全相同以以x 方向方向N-S 方程为例（不可压缩粘性流动）方程为例（不可压缩粘性流动） 令（选取流动的特征场量建立无量纲变量）令（选取流动的特征场量建立无量纲变量）代入得无量纲方程代入得无量纲方程 方程前的无量纲数就是相似准数相似准数。30优点：导出的相似准则数物理意义明确；优点：导出的相似准则数物理意义明确； 缺点：不能用于未知物理方程的流动。缺点：不能

16、用于未知物理方程的流动。 无量纲方程既适用于模型也适用于原型。无量纲方程既适用于模型也适用于原型。31 （1）确定长度比尺kl：根据实验场地、模型制作条件等 （2）选择流体介质，一般采用同一介质 =1 （3）选择相似准则：在几何相似的前提下，选择合适的动力相似准则 在重力场中要使弗劳德数相等 如果模型与原型中的流体相同，要使雷诺数相等要求相矛盾，即使采用不同的流体介质也很难实现要求相矛盾，即使采用不同的流体介质也很难实现。3. 流体力学模型实验设计如何选择相似准则32 相似准则数越多，模型实验的设计越困难，甚至根相似准则数越多，模型实验的设计越困难，甚至根本无法进行。本无法进行。 近似的模型实

17、验方法近似的模型实验方法，即在设计模型和组织模型实即在设计模型和组织模型实验时，在与流动有关的相似准则中考虑那些对流动过程验时，在与流动有关的相似准则中考虑那些对流动过程起主导作用的相似准则起主导作用的相似准则（决定性准则决定性准则），而忽略那些对，而忽略那些对流动过程影响较小的相似准则流动过程影响较小的相似准则（非决定性准则非决定性准则），达到，达到模型与原型流动的近似相似。模型与原型流动的近似相似。 无压的明渠流动，主要考虑弗劳德相似准则。 有压的粘性管流，主要考虑雷诺相似准则。 非定常流动：St数为决定性相似准数。 可压缩流动：Ma数为决定性相似准数。 总之，根据流动的性质来选取决定性相

18、似准数。332.4 量纲分析量纲分析 量纲分析量纲分析：主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对流动有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。 最早提出量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是布金汉（E.Buckingham,1914)。 34SISI制中的基本量纲：独立量纲制中的基本量纲：独立量纲1.1.物理量的量纲物理量的量纲导出量纲：用基本量纲的幂次表示。导出量纲：用基本量纲的幂次表示。dim m = M , dim

19、 l = L , dim t = T 物理量物理量大小大小类别类别导出量纲导出量纲工程单位制工程单位制国际单位制国际单位制英英 制制单位制单位制量纲量纲基本量纲基本量纲用 表示物理量的量纲，用（ ）表示物理量的单位35粘度系数粘度系数压强，压力，弹性模量压强，压力，弹性模量力，力矩力，力矩密度，重度密度，重度体积流量，质量流量体积流量，质量流量 速度，加速度速度，加速度 常用量常用量 应变率应变率 角速度，角加速度角速度，角加速度 其他量其他量36注：注： 为温度量纲为温度量纲（比）焓，内能（比）焓，内能（比）（比）熵熵 导热系数导热系数比热比热表面张力系数表面张力系数功率功率能量，功，热能量

20、，功，热动量，动量矩动量，动量矩惯性矩，惯性积惯性矩，惯性积372. 物理方程量纲一致性原理 也称为量纲和谐性原理量纲和谐性原理、量纲齐次性原理量纲齐次性原理，是量纲分析的理论基础。 任何一个正确描述流动现象的物理方程各项的量纲必定相同，用量纲表示的物理方程必定是齐次的，这便是物理方程量纲一致性原则。 用物理方程中的任何一项去通除整个方程，便可将该方程化为无量纲方程。383. 模型实验量纲分析法步骤量纲分析流动过程的相似准则数相似准则数之间的函数关系（准则方程式）实验将准则方程式直接应用到原型及其它相似流动中去。 用量纲分析法，结合实验研究，不仅可以找出尚无物理方程表示的复杂流动过程的流动规律

21、，而且找出的还是同一类相似流动的普遍规律。394. p定理v定理表述定理表述：如果描述一个物理过程涉及到n个物理量和m个基本量， f (A1, A2, , An) = 0 则这个物理过程可以由n个物理量组成的（n-m）个无量纲量p p 项（相似准数相似准数）的函数关系来描述。即 F(p1, p2, , pn-m)= 0 基本量：基本量：若不考虑温度变化，通常取3个相互独立相互独立的物理量作为基本量，即基本量需包含3个基本量纲40不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。 三角堰泄流量：量纲分析解三角堰泄流量：

22、量纲分析解2选择基本量：选择基本量：、g、h 3列列表达式求解表达式求解项项解：解：1 1列举物理量。列举物理量。Q ,，g ，h ， 共共5个个 M 0 L 0 T 0 = ( M L 3 ) a ( L T 2 ) b L c ( L 3 T 1 ) 41三角堰泄流量：量纲分析解三角堰泄流量：量纲分析解 解得：解得：a = 0, b = - 1 / 2, c = - 5 / 24列无量纲列无量纲项的函数关系式项的函数关系式1= f (2) （弧度，无量纲）（弧度，无量纲） 42三角堰泄流量：量纲分析解三角堰泄流量：量纲分析解 或或 讨论：讨论：结果表明结果表明Q与与无关，与无关，与h成成5/2次方关系。与解析式一致，解析次方关系。与解析式一致，解析式为式为 对一孔口角已确定的三角堰，对一孔口角已确定的三角堰，无量纲关系式已明确地表达了式已明确地表达了Q与与h的理的理论关系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。论关系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。 由实验确定由实验确定 435. 量纲分析的优缺点vd优点：适用未知物理方程的流动。优点：适用未知物理方程的流动。 缺点：选准物理量较难，物理意义不明确。缺点：选准物理量较难，物理意义不明确。流动阻力：4445 以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！谢大家！