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1、第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法第四章 无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计方法第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法4.1滤波器的基本原理滤波器的基本原理系统函数为：bi0,i0,该系统为IIR系统。当所有bi=0, i0，该系统为FIR系统第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法4.1.1滤波器的分类滤波器的分类模拟滤波器数字滤波器第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法4.1.2 可实现
2、滤波器的特性可实现滤波器的特性通带波动最小阻带衰减At式中，通带内阻带内第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法设计方法：先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为设计数字滤波器的工具。第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法最优化设计方法分两步：a)确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际频率响应的幅度特性（与所要求的理想频率响应的均方误差最
3、小，此外还有其他多种误差最小准则，b)在此最佳准则下，求滤波的系数和通过不断地迭代运算，改变、，直到满足要求为止。第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法s平面与平面与z 平面间的映射平面间的映射s平面的虚轴映射z平面的单位圆（r=1），s平面的左半平面映射z平面单位圆内（r1）。第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（II
4、R）滤波器设计滤波器设计方法方法由确定的方法如下：（1）由得到象限对称的s平面函数；（2）将因式分解，得到各零极点，将左半平面极点归于。轴上的零点或者极点都为偶次，应取一半（应为共轭对）作为的零点或极点。（3）按照与的低频或高频特性的对比就可以确定出增益常数。（4）由求出的零点，极点及增益常数，则可完全确定系统函数第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法例根据以下幅度平方函数确定系统函数解：Step1:Step2:Step3:第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法第第4章章 无限长单位脉冲响应（无
5、限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法4.2 模拟滤波器设计方法模拟滤波器设计方法为了方便学习数字滤波器，先讨论几种常用的模拟低通滤波器设计方法，高通、带通、带阻等模拟滤波器可利用变量变换方法，由低通滤波器变换得到。模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。因果系统中式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。不难看出第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法定义振幅平方函数式中Ha(s)模拟滤波器系统函数Ha(j)滤波器的频率响应|Ha(j)|滤波器的幅频响应又S=j，2=-S2A(
6、2)=A(-S2)|S=j第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法问题：由A(-S2)Ha(S)对于给定的A(-S2)，先在S复平面上标出A(-S2)的极点和零点，由(1)式知，A(-S2)的极点和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的实轴和虚轴，选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到Ha(s)。为了保证Ha(s)的稳定性，应选用 A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点可选用任一半。第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法N为滤波器阶数，如图1其幅
7、度平方函数：特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f，幅频特 性单调。三种模拟低通滤波器的设计：4.2.1巴特沃兹滤波器巴特沃兹滤波器(Butterworth滤波器)(巴特沃兹逼近)第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法图1巴特沃兹滤波器振幅平方函数第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法通带:使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围c：通带边界频率。过渡带为零，阻带|H(j)|=0通带内幅度|H(j)|=const.，H(j)的相位是线性的。理想滤波器第第4章
8、章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法图1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。在过渡带内，阶次为的巴特沃兹滤波器的幅度响应趋于斜率为-6NdB/倍频程的渐近线。通带内，分母/c1，(/c)2N1,增加，A(2)快速减小。=c,， ,幅度衰减 ，相当于3dB衰减点。 第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法振幅平方函数的极点：令分母为零，得可见，Butterworth滤波器的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=c的圆周上。例：为N=3阶BF振幅平方函数的极点分布，如图2。第第4
9、章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法图2三阶A(-S2)的极点分布第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点（SP3，SP4，SP5）组成的，它们分别为：系统函数为： 令 ，得归一化的三阶BF：反归一化，则有第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法MATLAB设计模拟设计模拟Butterworth filterz,p,k=buttap(N)确定确定N阶归一化的阶归一化的Butterworth fi
10、lter 的零点、极点和增益的零点、极点和增益(gain)num,den=butter(N,Wc,s)确定阶数为确定阶数为N，3-db截频为截频为Wc(radian/s)的的Butterworth filter分子和分母多项式。分子和分母多项式。s 表示模拟域。表示模拟域。N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s)确定模拟确定模拟Butterworth filter的阶数的阶数N和和3-db截频截频Wc。Wc是由阻带参数确定的。是由阻带参数确定的。第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法 例：设计满足下列条件的模拟例：设计满足下列条件
11、的模拟Butterworth低通滤波器低通滤波器 fp=1kHz, fs=5kHz, Ap=1dB, As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40;N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);num,den = butter(N,Wc,s);omega = 0: 200: 12000*pi;h = freqs(num,den,omega);gain = 20*log10(abs(h);plot (omega/(2*pi),gain);xlabel(Frequency in Hz); ylabel(Gain in dB);第第4章章 无限长单
12、位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法0100020003000400050006000-50-40-30-20-100Frequency in HzGain in dBN=4Ap=0.1098dBAs=40.0000dB第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法4.2.2切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）滤波器）滤波器(切比雪夫多项式逼近)特点：误差值在规定的频段上等幅变化。 巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通内的衰减足够小，需要的阶次（
13、N）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的 。 切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波动范围小于1db。第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法振幅平方函数为有效通带截止频率与通带波纹有关的参量，大，波纹大。01VN（x）N阶切比雪夫多项式，定义为第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法如图,通带内变化范围1c，随/c，0(迅速趋于零)当 =0时，N为偶数，min，N为奇
14、数，max，第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法 切比雪夫滤波器的振幅平方特性第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法给定通带波纹值分贝数后，可求。有关参数的确定:a、通带截止频率c，预先给定b、通带波纹为第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法c、阶数N由阻带的边界条件确定。（、A事先给定）第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法MATLAB设计模拟设计模拟type I Chebyshev filt
15、erz,p,k=cheb1ap(N,Ap);确定确定N阶归一化的阶归一化的Chebyshev filter 的零点、极点和增益的零点、极点和增益(gain)num,den=cheby1(N,Ap,Wc,s)确定阶数为确定阶数为N，通带截频为，通带截频为Wc(radian/s)的的Chebyshev filter。s 表示模拟域表示模拟域N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s)确定模拟确定模拟Chebyshev filter的阶数的阶数N。Wc=Wp(rad/s)第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法例：设计满足下列条件的模拟例：
16、设计满足下列条件的模拟CB I型低通滤波器型低通滤波器 fp=1KHz, fs=5kHz, Ap=1dB, As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40;N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s);num,den = cheby1(N,Ap,Wc,s);omega=Wp Ws; h = freqs(num,den,omega); fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10(abs(h(1); fprintf(As= %.4fn,-20*log10(abs(h(2);omega = 0: 200: 12000*pi;h = fr
17、eqs(num,den,omega);gain = 20*log10(abs(h);plot (omega/(2*pi),gain);xlabel(Frequency in Hz); ylabel(Gain in dB);第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法Ap= 1.0000 As= 47.84670100020003000400050006000-60-50-40-30-20-100Frequency in HzGain in dB第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法4.2.3椭圆滤波器
18、椭圆滤波器（考尔滤波器）特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。其振幅平方函数为RN（，L）雅可比椭圆函数L表示波纹性质的参量第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法N=5，的特性曲线可见，在归一化通带内（-11），在（0，1）间振荡，而超过L后，在间振荡。这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法下图为典型的椭圆滤波器振幅平方函数 椭圆滤波器的
19、振幅平方函数图中和A的定义同切比雪夫滤波器第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法当c、r、和A确定后，阶次N的确定方法为：式中为第一类完全椭圆积分第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法MATLAB设计椭圆低通滤波器椭圆低通滤波器N,Wc=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,s)确定椭圆滤波器的阶数N。Wc=Wp。num,den=ellip(N,Ap,As,Wc,s)确定阶数为N，通带衰减为ApdB，阻带衰减为AsdB的椭圆滤波器的分子和分母多项式。Wc是椭圆滤波器的通带截频。第第4章章 无
20、限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波器的特性和设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。一般，相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。 第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法4.2.4模拟高通、带通及带阻滤波器的设计模拟高通带通带阻滤波器可以通过简单的频率变换来实现。设计过程为：将模拟滤波器的参数指标通过频率变换转化为原型模拟低通滤波器的参数指标。设计满足指标要求的原型模拟低通滤波器。通过频率变换将原型模拟低通滤波器的系统函数变换为
21、其他类型（高通、带通和带阻）的模拟滤波器第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法MATLAB实现模拟滤波器的频率变换实现模拟滤波器的频率变换 低通到高通变换B，A=lp2hp(num,den,w0)给定归一化模拟低通滤波器分子和分母多项式的系数num和den，通过频率变换求得高通模拟滤波器，w0为高通滤波器的通带边界角频率。低通到带通变换B，A=lp2bp(num,den,w0,Bw)给定归一化模拟低通滤波器分子和分母多项式的系数num和den，通过频率变换求得带通模拟滤波器，w0为带通滤波器的中心角频率，w为带通滤波器的通带带宽（rad/s）。
22、第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法低通到带通变换B，A=lp2bs(num,den,w0,Bw)给定归一化模拟低通滤波器分子和分母多项式的系数num和den，通过频率变换求得带阻模拟滤波器，w0为阻带的中心角频率，w为阻带带宽（rad/s）。 第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法4.3 根据模拟滤波器设计IIR滤波器利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器系统函数Ha(s)设计数字滤波器系统函数H(z)，这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：1
23、）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆上。2）Ha(s)的因果稳定性映射成H（z）后保持不变，即S平面的左半平面ReS0应映射到Z平面的单位圆以内|Z|HP。第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法b.高通变换或LP-HP变换把如图2（a），在上述LP-LP变换中，将Z代以Z,得LP-HP变换关系：第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法 LP - Hp变换变换图2(a)LPHp变换第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设
24、计方法方法原型低通的截止频率对应于高通的边界频率，欲将变换到，由（2）式，有： （2）式的 频率关系，如图2(b)中的曲线（实线）第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法4.5.3 数字低通数字低通-数字带通数字带通如图3(a),LP-BP变换把带通的中心频率全通函数取负号。由以上分析得变换关系：N=2第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法LP-BP变换变换图3(a)LP-BP变换第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法LP-BP频率关系频率关系 第
25、第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法4.5.4 数字低通数字低通-数字带阻数字带阻如图4(a),LPBS变换把带阻的中心频率的变化范围为,故N=2又g(1)=1,所以，全通函数取正号。由以上分析得变换关系：（1）或（2）第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法LP-BS变换变换图4(a)LP-BS变换第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法LP-B S频率变换关系频率变换关系第第4章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计滤波器设计方法方法
