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1、第二课时分段函数第二课时分段函数目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.了解分段函数的概念了解分段函数的概念, ,会求分段函数的函数会求分段函数的函数值值, ,能画出分能画出分段函数的段函数的图图象象. .2.2.能在能在实际问题实际问题中列出分段函数中列出分段函数, ,并能解决有关并能解决有关问题问题. .素养达成素养达成通通过过本本节节内容的学内容的学习习, ,使学生了解分段函数的含使学生了解分段函数的含义义, ,提高学提高学生数学建模、数学运算的能力生数学建模、数学运算的能力. .新知探求新知探求课堂探究课堂探究新知探求新知探求素养养成素养养成【情境导学情境导学】 导导入入一一某某人人去
2、去上上班班, ,由由于于担担心心迟迟到到, ,所所以以一一开开始始就就跑跑步步前前进进, ,等等跑跑累累了了再再走走完完余余下下的的路路程程. .可可以以明明显显地地看看出出, ,这这人人距距离离单单位位的的距距离离是是关关于于出出发发后后的的时时间间的的函函数数, ,想想一一想想, ,用用怎怎样样的的解解析析式式表表示示这这一一函函数数关关系系呢呢? ?为为解解决决这这一一问问题题, ,本本节我们学习分段函数节我们学习分段函数. .导导入入二二在在现现实实生生活活中中, ,常常常常使使用用表表格格描描述述两两个个变变量量之之间间的的对对应应关关系系. .比比如如: :国内跨省市之间的邮寄信函
3、国内跨省市之间的邮寄信函, ,每封信函的重量和对应邮资如下表每封信函的重量和对应邮资如下表: :信函重量信函重量m/gm/g0m0m202020m20m404040m40m606060m60m808080m80-2,a=2-2,不合题意不合题意, ,舍去舍去. .当当-2a2-2a3m-5,2m-13m-5,解得解得m4,m3m-5(m2),)3m-5(m2),求实数求实数m m的取值范围的取值范围. .变式探究变式探究1:1:本题中若将本题中若将(2)(2)中的中的f(a)=3f(a)=3改为改为ff(a)=3,ff(a)=3,求求a.a.变式探究变式探究2:2:本题本题(3)(3)中中,
4、,若改为若改为f(m)3m-5,f(m)3m-5,求求m m的取值范围的取值范围. .方法技巧方法技巧 (1) (1)分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪一分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪一段段, ,代入该段解析式求解即可代入该段解析式求解即可. .(2)(2)已知函数值求自变量的值时已知函数值求自变量的值时, ,应分别代入各段解析式中求解应分别代入各段解析式中求解, ,以免丢解以免丢解. .要根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍要根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍. .(3)(3)已知已知f(x)f(x)解关于解关于f(x)f(x)的不等
5、式时的不等式时, ,要先在每一段内求交集要先在每一段内求交集, ,最后求并集最后求并集. .(4)(4)求解形如求解形如ff(a)ff(a)的函数值问题的函数值问题, ,按从里到外的原则按从里到外的原则, ,先求先求f(a),f(a),再求再求ff(a).ff(a).题型二题型二 分段函数的解析式分段函数的解析式【例例2 2】 (2018(2018成都高一检测成都高一检测) )成都市出租车的现行计价标准是成都市出租车的现行计价标准是: :路程在路程在2 km2 km以内以内( (含含2 km)2 km)按起步价按起步价8 8元收取元收取, ,超过超过 2 km 2 km 后的路程按后的路程按1
6、.91.9元元/km/km收取收取, ,但超过但超过10 km10 km后的后的路程需加收路程需加收50%50%的返空费的返空费( (即单价为即单价为1.9(1+50%)=2.851.9(1+50%)=2.85元元/km)./km).(1)(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(f(x)(单位单位: :元元) )表示为行程表示为行程x(0x60,x(038.8,40.338.8,所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱. .方法技巧方法技巧 分段函数模型的一般形式是分段函数模型的一般形式是: :对于不同的自变量范围对应不同对于不同的自变量
7、范围对应不同的函数解析式的函数解析式, ,求解分段函数模型问题应明确分段函数的求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段段”一定要分一定要分得合理得合理, ,日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等等, ,都是最简单的分段函数都是最简单的分段函数. .即时训练即时训练2 2- -1:1:小刘周末自驾游小刘周末自驾游, ,早上早上8 8点从家出发点从家出发, ,驾车驾车3 3小时到达景区停车场小时到达景区停车场, ,期间期间由于交通等原因由于交通等原因, ,小刘的车所走的路程小刘的车所走的路程s(s(单位单位:km):km)
8、与离家的时间与离家的时间t(t(单位单位:h):h)的函数关的函数关系式为系式为s(t)=-5t(t-13),s(t)=-5t(t-13),由于景区内不能驾车由于景区内不能驾车, ,小刘把车停在景区停车场小刘把车停在景区停车场, ,在景区玩在景区玩到到1616点点, ,小刘开车从停车场以小刘开车从停车场以60 km/h60 km/h的速度沿原路返回的速度沿原路返回. .(1)(1)求这天小刘的车所走路程求这天小刘的车所走路程s(s(单位单位:km):km)与离家时间与离家时间t(t(单位单位:h):h)的函数解析式的函数解析式; ;(2)(2)在距离小刘家在距离小刘家60 km60 km处有一
9、加油站处有一加油站, ,求这天小刘的车途经加油站的时间求这天小刘的车途经加油站的时间. .【备用例备用例1 1】(2017(2017衡阳一中高一期中衡阳一中高一期中) )在扶贫活动中在扶贫活动中, ,为了尽快脱贫为了尽快脱贫( (无无债务债务) )致富致富, ,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.85.8万元的优惠万元的优惠价格转让给了尚有价格转让给了尚有5 5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙万元无息贷款没有偿还的小型企业乙, ,并约定从该店经并约定从该店经营的利润中营的利润中, ,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支首先保证企业乙的全体
10、职工每月最低生活费的开支3 6003 600元后元后, ,逐步偿还转让费逐步偿还转让费( (不计息不计息).).在甲提供的资料中有在甲提供的资料中有:这种消费品的进件为每这种消费品的进件为每件件1414元元;该店月销量该店月销量Q(Q(百件百件) )与销售价格与销售价格P(P(元元) )的关系如图所示的关系如图所示;每月需每月需要各种开支要各种开支2 0002 000元元. .(1)(1)当商品的价格为每件多少元时当商品的价格为每件多少元时, ,月利润扣除职工最低生活费的余额最大月利润扣除职工最低生活费的余额最大? ?并求最大余额并求最大余额; ;(2)(2)企业乙只依靠该店企业乙只依靠该店,
11、 ,最早可望在几年后脱贫最早可望在几年后脱贫? ?解解: :(2)(2)设可在设可在n n年内脱贫年内脱贫, ,依题意有依题意有12n12n450-50 000-58 0000,450-50 000-58 0000,解得解得n20,n20,即最早可望在即最早可望在2020年后脱贫年后脱贫. .题型三题型三 分段函数的图象分段函数的图象【例例3 3】 画出下列函数的图象画出下列函数的图象, ,并写出它们的值域并写出它们的值域: :(1)y=(1)y=解解: :(1)(1)函数函数y= y= 的图象如图所示的图象如图所示, ,观察图象观察图象, ,得函数的值域为得函数的值域为(1,+).(1,+)
12、.(2)y=|x+1|+|x-3|.(2)y=|x+1|+|x-3|.解解: :(2)(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉, ,化为分段函数化为分段函数y=y=它的图象如图所示它的图象如图所示. .观察图象观察图象, ,得函数的值域为得函数的值域为4,+).4,+).方法技巧方法技巧 (1)(1)画含有绝对值的函数的图象的方法画含有绝对值的函数的图象的方法: :对含有绝对值的函数对含有绝对值的函数, ,要作出其图象要作出其图象, ,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号, ,将函数转化为分将函数转化为分段函数段
13、函数, ,然后分段作出函数图象然后分段作出函数图象. .(2)(2)画分段函数图象的方法画分段函数图象的方法: :作分段函数的图象时作分段函数的图象时, ,分别作出各段的图象分别作出各段的图象, ,在在作每一段图象时作每一段图象时, ,先不管定义域的限制先不管定义域的限制, ,作出其图象作出其图象, ,再保留定义域内的一段再保留定义域内的一段图象即可图象即可, ,作图时要特别注意接点处点的虚实作图时要特别注意接点处点的虚实, ,保证不重不漏保证不重不漏. .即时训练即时训练3-1:3-1:已知已知f(x)=f(x)=(1)(1)作出作出f(x)f(x)的图象的图象; ;解解: :(1)(1)利
14、用描点法利用描点法, ,作出作出f(x)f(x)的图象的图象, ,如图所示如图所示. .(2)(2)求求f(x)f(x)的定义域和值域的定义域和值域. .解解: :(2)(2)由条件知由条件知, ,函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R. .由图象知由图象知, ,当当-1x1-1x1时时,f(x)=x,f(x)=x2 2的值域为的值域为0,1;0,1;当当x1x1或或x-1x-1时时,f(x)=1.,f(x)=1.所以所以f(x)f(x)的值域为的值域为0,1.0,1.【备用例备用例2 2】 已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成组成, ,求函数的解析式求函数的解析式. .解解: :(1)(1)当当x1x1时时, ,设设f(x)=kf(x)=k1 1x+bx+b1 1, ,因为图象过点因为图象过点(0,2),(1,1),(0,2),(1,1),所以所以 所以所以所以所以f(x)=-x+2.f(x)=-x+2.(2)(2)当当1x31x3时时, ,设设f(x)=a(x-2)f(x)=a(x-2)2 2+2(a0).+2(a0).因为图象过点因为图象过点(1,1),(1,1),所以所以a=-1,a=-1,所以所以f(x)=-xf(x)=-x2 2+4x-2.+4x-2.
