机械振动学课件2

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1、 振动概念（vibration）物体经过它的静平衡位置所做的往复运动。或者说某一物理量在其平衡位置或平衡值附近来回的变动。 振动首先是一种运动。比如：地壳的运动、交流电、电磁波、潮水的涨落等。2 机械振动的研究对象和分类机械振动的研究对象和分类2.1 2.1 研究对象研究对象“振动系统振动系统”第一章第一章 绪绪 论论系统的定义：系统的定义： 由若干个元素构成的有机组合，个元素间存在着相互作用、互相影响的关系。机械系统的定义：机械系统的定义： 由若干个机械元件组成的系统。具体的讲，是由运动副连接的一些构件所组成的能完成一定运动的机械装置。第一章第一章 绪绪 论论2.2 2.2 机械系统研究内容

2、机械系统研究内容 系统（系统（S） 输入（X） 输出（Y）激励响应响应第一章第一章 绪绪 论论系统的研究内容包括三个方面：系统的研究内容包括三个方面：1.已知系统的输入（X）和系统（S）,求输出(Y)系统的动力响应分析，或叫动态分析。2.已知系统的输入（X）和输出(Y)，求系统（S）系统设计；系统识别或系统辨识。3.已知系统的系统（S）和输出(Y)，求输入（X）环境预测。自由振动：给图中质量块一个激励，给一个初始位移后，质量块就开始振下去。强迫振动：用一个电机作元件，给系统一个持续激励，系统会在电机的强制激励下振动。自激振动：扬声器的鸣叫声。3 3 机械振动的分类机械振动的分类3.1 3.1

3、按输入分按输入分mk第一章第一章 绪绪 论论简谐振动：符合正弦（预选）规律的振动。周期振动：x（t）x（t+kT），瞬态振动：风铃随风而动；地震随机振动：不能用当前的现象预测未来，但是符合统计学规律，可以用统计的方法来研究。如，烟的运动；红旗的飘动。3.2 3.2 按输出分按输出分第一章第一章 绪绪 论论自由度：用来描述一个物体确定运动的独立坐标。单自由度系统：多自由度系统： 可以是两个、三个甚至是n个自由度系统，n个独立坐标，n维空间。 连续系统：用偏微分方程描述3.3 3.3 按自由度划分按自由度划分 可用微分方程描述第一章第一章 绪绪 论论线性振动 非线性振动:3.4 3.4 按微分方程

4、分按微分方程分第一章第一章 绪绪 论论4 4 主要参考文献主要参考文献书书+期刊期刊书：张策、张维平、邵韧平、闻邦春、书：张策、张维平、邵韧平、闻邦春、 李有堂、张义民等李有堂、张义民等期刊：期刊：噪声与振动噪声与振动 （sound and vibration）第一章第一章 绪绪 论论第第2章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.1 一些基本概念、无阻尼单自由度振动系统一些基本概念、无阻尼单自由度振动系统 2.3 有线性阻尼有线性阻尼自由振动自由振动2.4 简谐激励力作用下简谐激励力作用下的的强迫振动强迫振动 2.8 隔振原理隔振原理2.5 周期激励下的响应周期激励下的响应2.

5、6 任意激励下的响应任意激励下的响应2.7 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼2.2 固有频率的计算固有频率的计算第第2章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 当物体沿当物体沿x x轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表示。根据牛顿第二定律，作用在物体上的外力示。根据牛顿第二定律，作用在物体上的外力F F，物体由此，物体由此产生的加速度和物体质量产生的加速度和物体质量m m之间有下述关系：之间有下述关系： 构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质

6、。恢复性就是能惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。阻尼就是阻碍物体运动使物体位置恢复到平衡状态的性质。阻尼就是阻碍物体运动的性质。从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性的性质。从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。 构成机械振动系统的基本元素构成机械振动系统的基本元素质量的单位为质量的单位为kgkg。第第2章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动阻尼力阻尼力Fd反映阻尼的强弱，通常是速度反映阻尼的强弱，通常是速度x的函数，阻尼力的函数，阻尼力

7、可表示为可表示为 这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数c称为粘性阻尼系称为粘性阻尼系数，单位数，单位N.s/m。 典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是该元件位移典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是该元件位移的函数，即的函数，即Fs=Fs（x）。当。当Fs（x）是线性函数时，有：是线性函数时，有： Fs=kx (1-2) k称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。单位为称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。单位为N/m。 质量、弹簧和阻尼器质量、弹簧和阻尼器是构成机械振动系统是构成机械振动系统物理模型物理模型的的三个基本元件。三个基本元件。 自由度与广义坐标自由度与广义坐标 自由度

8、数自由度数: 完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。 刚体在空间有刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；如飞机、轮船； 质点在空间有质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球；个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球； 质点在平面有质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单自由度。自由度。 第第2章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动质量元件质量元件 无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件无

9、弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件 平动：平动：力、质量和加速度的单位分别力、质量和加速度的单位分别为为N、kg和和m / s 2。转动：转动：力矩、转动惯量和角加速度的力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为单位分别为Nm、kg m 2和和rad / s 2 2.1 离散系统的组成离散系统的组成第第2章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 第第第第2 2章单章单章单章单 自由度线性系统的振动自由度线性系统的振动自由度线性系统的振动自由度线性系统的振动 2.1 离散系统的组成离散系统的组成弹性元件弹性元件 无质量、不耗能，储存势能的元件无质量、不耗能，储存势能的元件 平动：平动：力、刚

10、度和位移的单位分别为力、刚度和位移的单位分别为N、N / m和和m 。转动：转动：力矩、扭转刚度和角位移的单力矩、扭转刚度和角位移的单位分别为位分别为Nm、 Nm / rad和和rad 阻尼元件阻尼元件 无质量、无弹性、线性耗能元件无质量、无弹性、线性耗能元件 平动：平动：力、阻尼系数和速度的单位分力、阻尼系数和速度的单位分别为别为N、N s/ m和和m/s。转动：转动：力矩、扭转阻尼系数和角速度力矩、扭转阻尼系数和角速度的单位分别为的单位分别为Nm、 Nms / rad和和rad/s 第第第第2 2章单章单章单章单 自由度线性系统的振动自由度线性系统的振动自由度线性系统的振动自由度线性系统的

11、振动 2.1 离散系统的组成离散系统的组成等效弹簧刚度等效弹簧刚度 斜向布置的弹簧斜向布置的弹簧 串联弹簧串联弹簧 并联弹簧并联弹簧 并联系统并联系统串联系统串联系统等效阻尼系数等效阻尼系数 传动系统的等效刚度传动系统的等效刚度 传动系统的等效阻尼传动系统的等效阻尼 ct1e= ct1 / i 2等效质量等效质量 传动系统的等效惯量传动系统的等效惯量 单自由度系统的类型单自由度无阻尼自由振动单自由度无阻尼自由振动单自由度有粘性阻尼的自由振动单自由度有粘性阻尼的自由振动单自由度无阻尼受迫振动单自由度无阻尼受迫振动单自由度有粘性阻尼的受迫振动单自由度有粘性阻尼的受迫振动机机 械械 振振 动动 学学

12、第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 例：如右图，舍振动体的例：如右图，舍振动体的质量为质量为m m，它所受的重，它所受的重力为力为W W，弹簧刚度为，弹簧刚度为k,k,弹簧挂上质量块的静伸弹簧挂上质量块的静伸成量为成量为j j，此时系统，此时系统处于静平衡状态，平衡处于静平衡状态，平衡位置为位置为0-00-0，求给系统，求给系统一个初始扰动后系统的一个初始扰动后系统的振动方程。振动方程。模型的建立模型的建立机机 械械 振振 动动 学学第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统

13、的振动单自由度线性系统的振动 2 .12 .1单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统无阻尼自由振动：无阻尼自由振动： 振动系统受到初始扰动后，不再受到外振动系统受到初始扰动后，不再受到外力作用，也不受阻尼的影响所作的振动。力作用，也不受阻尼的影响所作的振动。静平衡振动系统产生弹性恢复力弹力重力静平衡破坏初始扰动机机 械械 振振 动动 学学第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2 .12 .1单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统解：解：取静平衡位置为坐取静平衡位置为坐标原点，以标原点，以X轴

14、为系统轴为系统的坐标轴，向下为正的坐标轴，向下为正方向建立坐标系。方向建立坐标系。 以以x x表示质量块的受扰表示质量块的受扰后的位移，当质量块后的位移，当质量块离开平衡位置时，在离开平衡位置时，在质量块上作用的力有：质量块上作用的力有：XTW由于受力不平衡，质量块产生加速度由于受力不平衡，质量块产生加速度机机 械械 振振 动动 学学第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2 .12 .1单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统根据牛顿第二定律建立振动微分方程：二阶齐次常系数微分方程，机机 械械 振振 动动

15、学学第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2 .12 .1单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统扭转振动问题扭转振动问题例1-2： 右图所示，垂直轴的下端右图所示，垂直轴的下端固定一个水平圆盘。已知固定一个水平圆盘。已知轴长为轴长为l ,l ,直径为直径为d,d,剪切剪切弹性模量为弹性模量为G,G,圆盘的转动圆盘的转动惯量为惯量为I I，在盘上施加初，在盘上施加初始扰动后（如力偶），系始扰动后（如力偶），系统做自由扭转振动。若不统做自由扭转振动。若不计阻尼影响，振动将永远计阻尼影响，振动将永远持续下去。求

16、系统的振动持续下去。求系统的振动方程。方程。机机 械械 振振 动动 学学第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2 .12 .1单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统由材料力学知：扭转刚度为：机机 械械 振振 动动 学学第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2 .12 .1单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统典型的单自由度自由振动单摆例1-3：如左图所示，求t时刻刚体的角度是多少？机机 械械 振振 动动 学学第第第第

17、2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2 .12 .1单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统解：以静平衡位置为原点，以以静平衡位置为原点，以角增角增加的方向为正方向建立坐标系。加的方向为正方向建立坐标系。隔离物体，进行受力分析。隔离物体，进行受力分析。使用牛顿定律建立振动模型：使用牛顿定律建立振动模型：a)力矩形式：力矩形式：b)力形式：力形式：？机机 械械 振振 动动 学学第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2 .12 .1单自由度无

18、阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统1-2 无阻尼单自由度系统的自由振动规律机机 械械 振振 动动 学学第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2 .12 .1单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统结结 论论单自由度无阻尼自由振动系统的方程是一样的单自由度无阻尼自由振动系统的方程是一样的,规律是相同的，具有以下特点：规律是相同的，具有以下特点： 1.1.单自由度无阻尼振动是简谐的。单自由度无阻尼振动是简谐的。 2.2.振幅决定于初始条件：振幅决定于初始条件： 图中系统，用手把图中系统，用手把m m移到

19、移到X X0 0位置，初始位移的大小决位置，初始位移的大小决定于定于m m的振幅，如果放手的同时，给的振幅，如果放手的同时，给m m一个右向的初一个右向的初速度，可以通过上式计算出其最大振幅。速度，可以通过上式计算出其最大振幅。机机 械械 振振 动动 学学第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2 .12 .1单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统3.3.固有频率与初始条件无关。系统一定，固有频固有频率与初始条件无关。系统一定，固有频率一定。率一定。 思考：钟表的钟摆的摆角大是准确还是小准确？思考：钟表的钟

20、摆的摆角大是准确还是小准确？结结 论论机机 械械 振振 动动 学学第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2 .12 .1单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统 在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义 ，除用定义法（牛顿法）外，通常还有以下几种常用的方法，即静变形法、能量法和瑞利法，现分别加以介绍。第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法1、静变形法（、静变形法（

21、Static Deformation Method） 当单振子处于静平衡状态时，弹簧的弹性力与振动质量的重力互相平衡，即存在关系式： 由上式可得：故系统的固有频率为：由此可见，只要知道质量块处的弹性静变形，就可以计算出系统的固有频率。在有些实际问题中，不能直接给出系统的弹簧刚度时，利用此法计算固有频率比较方便。例例1 1 设一悬臂梁长度为，抗弯刚度为，自由端有一集中质量。设一悬臂梁长度为，抗弯刚度为，自由端有一集中质量。梁本身重量忽略不计。试求这一系统的固有频率（见下图）。梁本身重量忽略不计。试求这一系统的固有频率（见下图）。自由端有集中质量的悬臂梁 解：悬臂梁在自由端由集中力mg所引起的静挠

22、度为： 当不易用计算方法求出静挠度时，也可用实测方法得到静挠度，然后按（1）式计算系统固有频率。第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法2 2、能量法（、能量法（Energy MethodEnergy Method）在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量的损失，所以振幅在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量的损失，所以振幅始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终不衰减。我们始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终不衰减。我们将这样的系统称为将这样的系统称为保守系统保

23、守系统。在保守系统中，根据机械能守恒定律，在整个振动过程的在保守系统中，根据机械能守恒定律，在整个振动过程的任一瞬时机械能应保持不变。任一瞬时机械能应保持不变。式中：式中：T T系统中运动质量所具有的动能；系统中运动质量所具有的动能；U U系统由于弹性变形而储存的弹性势能，或由于重力作功系统由于弹性变形而储存的弹性势能，或由于重力作功 而产生的重力势能。而产生的重力势能。即： T+U=常数 或第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 对于单自由度无阻尼自由振动系

24、统来说，系统的动能为：1. 重力势能：当质量块m低于静平衡位置时，重力势能为-mgx。2. 弹性势能：当质量块m运动至离静平衡位置距离+x时，弹簧的弹性力对质量块所作的功即为系统此时的弹性势能。如下图所示，系统的弹性势能为：故系统的势能为故系统的势能为： 所以：所以：系统的势能则由以下两部分组成： 单自由度振动系统的弹性势能这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程。这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程。这一方程说明，这一方程说明，无阻尼自由振动系统的能量关系是无阻尼自由振动系统的能量关系是振动质体的能量与弹性势能的相互转化过程振动质体的能量与弹性势能的相互转化过程，而无而无能量的消耗。

25、能量的消耗。但在振动系统中存在阻尼时，则在振但在振动系统中存在阻尼时，则在振动质体的动能与弹性势能的互相转化过程中，有一动质体的动能与弹性势能的互相转化过程中，有一部分能量将为克服阻力而不断地转化为热能，故系部分能量将为克服阻力而不断地转化为热能，故系统的振幅将逐渐减小，直至完全消失。统的振幅将逐渐减小，直至完全消失。 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法若将无阻尼自由振动的时间历程若将无阻尼自由振动的时间历程 代入系统的能量方程（代入系统的能量方程（2）式

26、可得：）式可得： 这说明系统的最大动能或最大势能均等于系统的总能量，且动能与势能的这说明系统的最大动能或最大势能均等于系统的总能量，且动能与势能的最大值相等，即：最大值相等，即：根据上式即可算出系统的固有频率：根据上式即可算出系统的固有频率：对弹簧质量系统（单振子）对弹簧质量系统（单振子）用上述能量法意义不大。但用上述能量法意义不大。但是复杂的单自由度系统用能是复杂的单自由度系统用能量法计算固有频率比较方便。量法计算固有频率比较方便。 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有

27、频率的其它方法例1：一根矩形截面梁，上面承受质量为m的物体（如图所示）。若忽略梁的质量，试用能量法求该系统的固有频率。承受质量的矩形截面梁解：梁的刚度可用静变形法求出：解：梁的刚度可用静变形法求出：而梁的静扰度可根据材料力学公而梁的静扰度可根据材料力学公式计算：式计算：代入（代入（3 3）式即可求出该系统的固有圆频率：）式即可求出该系统的固有圆频率：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法例例2:2:下图所示为测量低频振幅用的传感器的一个元件下图所示为测量低频振

28、幅用的传感器的一个元件无定无定向摆。已知向摆。已知a=3.54cma=3.54cm，mg=0.856Nmg=0.856N，k=0.3N/cmk=0.3N/cm。且整个系统对。且整个系统对转动轴转动轴o o的转动惯量。试求系统的固有频率。的转动惯量。试求系统的固有频率。无定向摆 解：解：取摇杆偏离平衡位置的角位移取摇杆偏离平衡位置的角位移 为广为广义坐标，并设义坐标，并设则则 对简谐振动来说，摇杆正经过平衡位置时的速度对简谐振动来说，摇杆正经过平衡位置时的速度最大，故此时系统动能最大，而势能为零。即：最大，故此时系统动能最大，而势能为零。即： 当摇杆摆到最大角位移处时，速度为零，故此时系当摇杆摆

29、到最大角位移处时，速度为零，故此时系统动能为零，而势能最大，它包括以下两个部分：统动能为零，而势能最大，它包括以下两个部分： 1 1）弹簧变形后储存的弹性势能：）弹簧变形后储存的弹性势能： 2) 2) 质量块质量块m m的重心下降的重心下降 后的重力势能：后的重力势能：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法解：取摇杆偏离平衡位置的角位移 为广义坐标，并设则 故 对简谐振动来说，摇杆正经过平衡位置时的速度最大，故此时系统动能最大，而势能为零。即： 当摇杆摆到最大

30、角位移处时，速度为零，故此时系统动能为零，而势能最大，它包括以下两个部分： 1）弹簧变形后储存的弹性势能：2) 质量块m的重心下降 后的重力势能：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法因为 故得第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法前面介绍的几种计算系统固有频率的方法，都是将系统中弹簧的质量忽略不计。但是在有些系统中，弹簧本身

31、的质量在系统总质量中占有一定的比例，此时若再忽略弹簧的质量，就将会使得计算出来的系统固有频率偏高。瑞利法则将弹簧质量对系统振动频率的影响考虑了进去，从而能得到相当准确的固有频率值。3.瑞利法（瑞利法（Rayleigh Method）应用瑞利法时，必须先假定一个系统的振动形式。而且所假定的振动形式越接近实际的振动形式，则计算出来的固有频率的近似值就越接近准确值。实践证明，以系统的静态变形曲线作为假定的振动形式，则所求得的固有频率的近似值与准确值相比较，一般来说误差是很小的。现以最简单的弹簧质量系统为例来说明瑞利法的应用。在下图的系统中，若弹簧的质量与质量块的质量相比是很小的，则系统的振动形式就不

32、会显著地受到弹簧质量的影响。在这种情况下，假设弹簧在振动过程中的变形（各截面的瞬时位移）与弹簧在受轴向静载荷作用下的变形相同是足够精确的。 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 弹簧质量系统解:假设弹簧上距固定端距离为 处的位移为：式中：l处于平衡位置时弹簧的长度； x 弹簧在联结质量块

33、一端的位移。 令令表示弹簧单位长度的质量，则表示弹簧单位长度的质量，则弹簧微段弹簧微段dd的质量为的质量为d.d.其最其最大动能则为大动能则为: : 弹簧在弹簧在处的微段处的微段dd的速度应为的速度应为: :当质量块在某一瞬时的速度为当质量块在某一瞬时的速度为 时，时，所以弹簧的全部动能为：所以弹簧的全部动能为：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法显然，系统的全部动能应该是质量块显然，系统的全部动能应该是质量块m m的最大动能与弹簧的最大的最大动能与弹簧的最

34、大动能之和，即动能之和，即系统的最大势能仍与无质量弹簧的情况相同，即：系统的最大势能仍与无质量弹簧的情况相同，即：所以弹簧的全部动能为：所以弹簧的全部动能为：由动能和势能相等原理得：由动能和势能相等原理得：对简谐振动来说，上式即成为：对简谐振动来说，上式即成为：由此可以得出系统固有频率的计算公式为：由此可以得出系统固有频率的计算公式为：结论：结论：为了考虑弹簧质量对系统固有频率的影响，只需要将为了考虑弹簧质量对系统固有频率的影响，只需要将1/3的弹簧质量当作一个集中质量加到质量块上去即可。的弹簧质量当作一个集中质量加到质量块上去即可。 一般将上式中的 称为“弹簧的等效质量”“effective

35、 mass of spring”,以ms表示。但是不同的振动系统，其弹簧的等效质量不同，需具体加以计算。 因为 所以 因此只要先算出系统弹性元件的动能，即可根据上式计算出系统弹性元件的等效质量。根据系统中的弹簧质量与质量块质量相比很小，从而在振动过程中弹簧各截面的瞬时位移按线性变化这一假设而得出的。但是，即使弹簧的质量较大，用原式计算系统固有频率也具有足够的精确度。例如,当 时，固有频率的计算误差约为0.5；当 时，计算误差约为0.8；当 时，计算误差约为3。第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频

36、率的其它方法计算系统固有频率的其它方法例如图所示的等截面简支梁上有一集中质量m，若将梁本身的重量W考虑在内，计算此系统的固有频率。图承受集中质量的等截面梁 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法解：假设梁在振动时挠度曲线与梁在图示载荷作用下的静挠度曲线一致。梁上物体左侧距A点为处的静挠度为：梁上物体右侧距B点为处的静挠度为：在物体m处梁的静挠度为：设物体m在振动状态下的最大速度为 ，则在物体左右两侧梁的所有点的最大速度 、 与振动位移y1、y2之间存在以下关系

37、： 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法所以梁的左右两部分的最大速度为：因而梁的左右两部分的最大动能为：式中：w梁的单位长度的质量； 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法梁的全部动能为：根据上式可算出梁的等效质量为：所以系统的固有圆频率为：式中： ，为梁的刚度。 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法第第第第

38、2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法从上式可以看出当忽略梁的质量时所计算出的系统固有频率比从上式可以看出当忽略梁的质量时所计算出的系统固有频率比用瑞利法计算出的数值要小，因而误差较大。应用瑞利法也可用瑞利法计算出的数值要小，因而误差较大。应用瑞利法也可求得无载荷的固有频率的相当准确的数值。由于无载荷的变形求得无载荷的固有频率的相当准确的数值。由于无载荷的变形曲线是对称的，所以首先需将载荷移到梁的中间，然后再令载曲线是对称的，所以首先需将载荷移到梁的中间，然后再令载荷

39、为零（荷为零（m m0 0），即可求出无载荷梁的固有圆频率为：），即可求出无载荷梁的固有圆频率为：而这一固有圆频率的精确值为：而这一固有圆频率的精确值为：可见，近似值与理论精确值之差小于可见，近似值与理论精确值之差小于1 1。内容参考2.3。第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.3 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度振动微分方程振动微分方程 振动微分方程振动微分方程 方程的解方程的解 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.42.4单自

40、由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统自由振动自由振动 振动微分方程振动微分方程设设 特征方程特征方程 有有临界阻尼系数临界阻尼系数 阻尼比或阻尼因子阻尼比或阻尼因子 定义定义令阻尼比或阻尼因子令阻尼比或阻尼因子 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.42.4单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统讨论讨论 (1)方程的解方程的解 特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系

41、统的振动 2.42.4单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统讨论讨论 (2)特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应方程的解方程的解 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.42.4单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统讨论讨论 (3)方程的解方程的解 特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应初始条件：初始条件：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.42.4单自由度线性阻尼自由振

42、动系统单自由度线性阻尼自由振动系统讨论讨论 (4)特征值特征值系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应方程的解方程的解 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.32.3单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统振动特性振动特性 无阻尼无阻尼 z z = 0 = 0： 简谐运动简谐运动弱阻尼弱阻尼 0 z z 1： 衰减运动衰减运动第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.42.4单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振

43、动系统小阻尼小阻尼振动对数衰减率振动对数衰减率 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.42.4单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统简谐激励简谐激励稳态响应稳态响应(粘性阻尼粘性阻尼)第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振动动动动 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 求解过程求解过程 运动方程的解可以用它对应的齐次方程的通解运动方程的解可以用它对应的齐次方程的通解 和方程（和方程（2）的特

44、解）的特解 来表示来表示 在小阻尼情况下，在小阻尼情况下， 是个衰减振动，只在开始振动是个衰减振动，只在开始振动后的某一段时间内有意义。研究受迫振动中持续等幅振动时可忽略之。后的某一段时间内有意义。研究受迫振动中持续等幅振动时可忽略之。 表示系统的受迫振动，称为系统的表示系统的受迫振动，称为系统的稳态解稳态解，设，设将将 代入到方程（代入到方程（2）中可解出）中可解出B与与第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振动动动动 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 求解过程求解过程 进一步讨论：

45、进一步讨论： 令：令： 则：则： 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振动动动动 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 解的讨论解的讨论二、讨论二、讨论: 图给出了以图给出了以为横坐标，为横坐标，为纵坐标，在不同阻尼比为纵坐标，在不同阻尼比下的一组曲线簇。不难理解，在简谐激振力作用下，线性下的一组曲线簇。不难理解，在简谐激振力作用下，线性系统的受迫振动也是简谐振动，振动的频率等于激励力的系统的受迫振动也是简谐振动，振动的频率等于激励力的频率，受迫振动的振幅取决于系统本身的物理特性、激励频

46、率，受迫振动的振幅取决于系统本身的物理特性、激励力的大小及频率值，但与初始条件无关。力的大小及频率值，但与初始条件无关。 受迫振动的振幅与频率比及阻尼比有关受迫振动的振幅与频率比及阻尼比有关 (1) 当频率比当频率比0.2时，即激振频率时，即激振频率远小于系统的固有频远小于系统的固有频率率n时，无论阻尼的大小如何，时，无论阻尼的大小如何，1，称为准静态区。即，称为准静态区。即振幅近似等于激励力幅作用下的静变形。故在低频区振幅振幅近似等于激励力幅作用下的静变形。故在低频区振幅主要由弹簧刚度控制。主要由弹簧刚度控制。第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线

47、性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振动动动动 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 解的讨论解的讨论（2）频率比很大频率比很大(5) , 0，激振频率，激振频率远大于系统的固有远大于系统的固有频率频率n ，因激励力方向改变太快，振动物体由于惯性来不，因激励力方向改变太快，振动物体由于惯性来不及跟随，几乎停着不动。故在及跟随，几乎停着不动。故在高频区受迫振动的振幅主要取高频区受迫振动的振幅主要取决于系统的惯性，决于系统的惯性，称为惯性区，这一特性正是隔振和惯性传称为惯性区，这一特性正是隔振和惯性传感器的理论依据。感器的理论依据。（3）当频率比当频率比 =1，激振频率接

48、近系统的固有频率，这时阻尼值越小，激振频率接近系统的固有频率，这时阻尼值越小， 则越大。当阻尼为零时，振动为无限大。习惯上把幅值则越大。当阻尼为零时，振动为无限大。习惯上把幅值 的频率的频率区间称为共振区。区间称为共振区。 将（将（6）对求导，并令）对求导，并令d/d=0 ，可解得，可解得 处有最大幅值，处有最大幅值，把把 称为共振频率。称为共振频率。 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振动动动动 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 解的讨论解的讨论 相位相位 与频率比的关系曲线表明

49、与频率比的关系曲线表明 =1时，振动位时，振动位移总是滞后激振力移总是滞后激振力/2 ，频率比，频率比 1；当；当 =-/2 -，共振点前后相位差，共振点前后相位差恰好为恰好为。 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振动动动动 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 简谐激励简谐激励全响应全响应(粘性阻尼粘性阻尼)第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振动动动动 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作

50、用下的强迫振动 简谐激励简谐激励全响应全响应(无无阻尼阻尼)：设其特解为：设其特解为：代入到上式得：代入到上式得：方程方程（1）的通解解为：的通解解为：设初始条件为：设初始条件为：代入到方程（代入到方程（2）中得：）中得：则：则：即：即：初始条件产生的自由振动初始条件产生的自由振动简谐激励力产生的受迫振动简谐激励力产生的受迫振动伴随受迫振动产生的自由振动伴随受迫振动产生的自由振动第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振动动动动 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 若初始条件为：若初始条件

51、为：则：则：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振单自由度线性系统的受迫振动动动动 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振单自由度线性系统的振单自由度线性系统的振单自由度线性系统的振动动动动 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 简谐激励简谐激励全响应全响应(无无阻尼阻尼)第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.6 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼简谐力的功

52、简谐力的功简谐力简谐力=振动系统的稳态解为振动系统的稳态解为则激振力在微小位移则激振力在微小位移dxdx上所作的微元功应为：上所作的微元功应为：在一个周期内（在一个周期内（t=0t=02/w2/w）所作的功，也就是）所作的功，也就是F(t)F(t)输入输入系统的能量，即为系统的能量，即为可见，简谐激振力在一个周期内所作功的大小，不仅可见，简谐激振力在一个周期内所作功的大小，不仅决定于激振力幅决定于激振力幅F F0 0 及振幅及振幅 B B 的大小，还决定于两者之的大小，还决定于两者之间的相位角间的相位角 。 当当00即外力超前位移时，作正功；即外力超前位移时，作正功；当当00即外力落后于位移时

53、，作负功；即外力落后于位移时，作负功；而当而当 =0=0或或 =时，即外力在一个周期内作功之和时，即外力在一个周期内作功之和等于零。等于零。激振力在一个周期内所作的功激振力在一个周期内所作的功W W ，可以看成是激振，可以看成是激振力的两个分量作功的和，即与位移同相的分量力的两个分量作功的和，即与位移同相的分量F = F F = F coscos和与速度同相的分量和与速度同相的分量F = F sinF = F sin所作功之和。所作功之和。第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.6 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等

54、效阻尼与位移相同的力：与位移相同的力：在一个周期内所作的功为：在一个周期内所作的功为：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.6 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼简谐力简谐力激振力在一个周期内所作的功为分量作功之和，即为激振力在一个周期内所作的功为分量作功之和，即为 W =W +W = F Bsin因此，激振力在一个周期内所作的功，就是其超前位移因此，激振力在一个周期内所作的功，就是其超前位移 /2 的分量所作的功。的分量所作的功。与速度同向的力与速度同向的力F sincos（t-）在一个周期内所作的功为：在

55、一个周期内所作的功为：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.6 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼简谐力简谐力第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.6 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼时，粘性阻尼力时，粘性阻尼力 在一个振动周期中所做的功：在一个振动周期中所做的功：在单自由度受迫振动方程中，阻尼力被设为在单自由度受迫振动方程中，阻尼力被设为 。 实际物理模实际物理模型与振动位移一阶导数成正比的是纯液体摩擦阻尼，称为型与振动

56、位移一阶导数成正比的是纯液体摩擦阻尼，称为粘性粘性阻尼阻尼。这种阻尼是。这种阻尼是线性线性的，数学上易于处理，故常把非线性阻的，数学上易于处理，故常把非线性阻尼用等效粘性阻尼来代替。尼用等效粘性阻尼来代替。等效原则：一个振动周期中，两种阻尼耗散的能量相等。等效原则：一个振动周期中，两种阻尼耗散的能量相等。等效阻尼力等效阻尼力 在一个振动周期中所作的功：在一个振动周期中所作的功： 所以有：所以有： 当受迫振动的位移响应为：当受迫振动的位移响应为： 干摩擦阻尼：干摩擦阻尼：干摩擦阻尼力干摩擦阻尼力F可视为一个常力，在整个受迫可视为一个常力，在整个受迫振动中力的幅值不变，方向始终与运动方向相反。振动

57、中力的幅值不变，方向始终与运动方向相反。当质量从平衡位置移动到最大偏离位置当质量从平衡位置移动到最大偏离位置X，即在周期内，摩，即在周期内，摩擦力做功为擦力做功为 FX，故一个整周期内做功，故一个整周期内做功 代入代入（1）式，得到式，得到干摩擦的等效阻尼干摩擦的等效阻尼:第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.6 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼结构阻尼：结构阻尼：由材料形变过程中的内摩擦产生。由材料形变过程中的内摩擦产生。材料在加载材料在加载- -卸载过程中，会形成应力卸载过程中，会形成应力- -应变迟滞

58、曲线，它应变迟滞曲线，它包容的面积就是内摩擦所消耗的能量，它近似地与振幅平包容的面积就是内摩擦所消耗的能量，它近似地与振幅平方成正比。即：方成正比。即：其中其中 是与频率无关的比例系数，随材料不同而变。因是与频率无关的比例系数，随材料不同而变。因此，结构等效阻尼：此，结构等效阻尼：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 2.6 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼周期激励周期激励稳态响应稳态响应(粘性阻尼粘性阻尼)第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单

59、自由度线性系统的受迫振动 2. 7 非简谐周期激励力的响应分析非简谐周期激励力的响应分析 例：例：质量弹簧系统受到周期方波激励质量弹簧系统受到周期方波激励 求系统稳态响应。求系统稳态响应。 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 7 非简谐周期激励力的响应分析非简谐周期激励力的响应分析 解：解：弹簧质量系统固有频率弹簧质量系统固有频率 激励力的基频激励力的基频 ：因因 a0 一周期内总面积为一周期内总面积为0 =0区区间间 内，内， 关于关于 为为反反对对称，称， 而而 关于关于 对称对称=0第第第

60、第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 7 非简谐周期激励力的响应分析非简谐周期激励力的响应分析 区区间间 内内关于关于为对为对称称 而而n取偶数取偶数时时，关于关于反反对对称称 区区间间 内内关于关于为对为对称称 而而n取偶数取偶数时时，关于关于反反对对称称 因此因此第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 7 非简谐周期激励力的响应分析非简谐周期激励力的响应分析 当当 n 取奇数时取奇数时 于是，周期性激励于

61、是，周期性激励 F(t) 可写为：可写为：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 7 非简谐周期激励力的响应分析非简谐周期激励力的响应分析 则有：则有：其中：其中： 当不计阻尼时：当不计阻尼时：系统运动方程系统运动方程 ：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 7 非简谐周期激励力的响应分析非简谐周期激励力的响应分析 小结：小结：任意周期激励的响应任意周期激励的响应假定粘性阻尼系统受到的周期激振力：假定粘

62、性阻尼系统受到的周期激振力： T 为周期为周期 傅立叶级数展开：傅立叶级数展开： 记基频：记基频：运动微分方程运动微分方程 ：叠加原理，系统稳态响应叠加原理，系统稳态响应 ：不计阻尼时：不计阻尼时：代表着平衡位置代表着平衡位置 ,当当 作用于系统上所产生的静变形。作用于系统上所产生的静变形。 第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 7 非简谐周期激励力的响应分析非简谐周期激励力的响应分析 响应响应 （杜哈曼积分）（杜哈曼积分）任意激励任意激励 F(t)第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振

63、动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 8 任意激励任意激励下的响应下的响应 分析分析单位脉冲响应单位脉冲响应第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 8 任意激励任意激励下的响应下的响应 分析分析杜哈梅积分杜哈梅积分全响应全响应第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 8 任意激励任意激励下的响应下的响应 分析分析具体分析具体分析1、脉冲响应、脉冲响应 冲量：

64、 I=P()d初始条件：自由振动响应：对上述初始条件响应：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 8 任意激励任意激励下的响应下的响应 分析分析具体分析具体分析 若冲量I=1,则脉冲称为单位脉冲又称为Dirac函数：第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 8 任意激励任意激励下的响应下的响应 分析分析 若单位脉冲作用在 t= 时，则相当于把坐标原点右移， 响应为：2、任意激振力的响应：、任意激振力的响应：

65、 任意激振力P()可视为一系列脉冲，在t=时，系统的冲量I=Pd则响应为：具体分析过程具体分析过程第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 8 任意激励任意激励下的响应下的响应 分析分析系统响应为：无阻尼系统响应为：d= n, =0具体分析过程具体分析过程杜哈梅积分杜哈梅积分第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 8 任意激励任意激励下的响应下的响应 分析分析例例1、一弹簧质量系统受到一个常力、一弹簧质量系

66、统受到一个常力P0突然作用，试求系统响突然作用，试求系统响应。应。第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 8 任意激励任意激励下的响应下的响应 分析分析求解过程求解过程1、无阻尼解、无阻尼解2、有无阻尼解、有无阻尼解第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 2. 8 任意激励任意激励下的响应下的响应 分析分析设位移干扰为设位移干扰为:运动方程为运动方程为: 设设第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单

67、自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 /简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动振幅B为:相位为:放大因子为:第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 /简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动例：汽车的拖车在波形道路上行驶.已知拖车的质量满载时为 m1=1000 kg.空载时为 m2=250 kg悬挂弹簧的刚度为 k =350 kN/m阻尼比在满载时为车速为 v =100

68、 km/h路面呈正弦波形，可表示为求： 拖车在满载和空载时的振幅比.l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 /简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动解：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：l =5 m因此：得：c、k 为常数，因此 与 成反比.因此得到空载时的阻尼比为：满载和空载时的频率比：因为有：l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统

69、的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 /简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动满载时频率比记：满载时振幅 B1，空载时振幅 B2有：满载时阻尼比空载时阻尼比空载时频率比因此满载和空载时的振幅比：l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz第第第第2 2章章章章 单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动单自由度线性系统的振动 /简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动简谐位移激励引起的振动 质量分布不均匀的单圆盘转子：质量分布不均匀的单圆盘转子：

70、x x和和y y运动方程：运动方程：s s为几何中心，为几何中心，G G为圆盘重心。系统阻尼系数为为圆盘重心。系统阻尼系数为c,c,假定转轴的质量忽略不计，轴的假定转轴的质量忽略不计，轴的横向刚度为横向刚度为k k，支撑系统是绝对刚性的。当轴以角速度，支撑系统是绝对刚性的。当轴以角速度 旋转时，旋转时，振动方程式：振动方程式：第第第第3 3章章章章 单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用 3.1单圆盘转子的临界转速单圆盘转子的临界转速显然，从方程式可看出属于受迫振动，于是其稳态解：通常认为：转子在 x , y 方向的受迫振动可表

71、示为：第第第第3 3章章章章 单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用 3.1单圆盘转子的临界转速单圆盘转子的临界转速可以理解为：转子在 x , y 方向做简谐振动，相位差是 。稳态解：第第第第3 3章章章章 单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用 3.1单圆盘转子的临界转速单圆盘转子的临界转速两个方向振动合成后，形心s的轨迹是圆，半径是R：形心s饶o点转动的角速度是圆盘自转的角速度也是这种既自转又公转的运动叫“弓状回转弓状回转”。不考虑其它因素影响时，转动角速度数

72、值上与轴横向弯曲振动不考虑其它因素影响时，转动角速度数值上与轴横向弯曲振动固有频率相等，即：固有频率相等，即： 时的转速叫时的转速叫临界转速临界转速。 记为记为“弓状回转弓状回转”轴本身不产生交变应力，所以不是振动，但是弓状回转对轴承作用着一个交变应力并导致支撑系统发生受迫振动。这也是机器通过临界转速时感到剧烈振动的原因。不转动的轴做横向弯曲时，轴内产生交变应力不转动的轴做横向弯曲时，轴内产生交变应力。 振动的隔离振动的隔离 将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为称为主动隔振主动隔振.主动隔振系数主动隔振系数隔振后传到地基的力幅

73、值隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力隔振前机器传到地基的力：隔振材料：k，c隔振后系统响应：隔振后系统响应：m隔振前kcm隔振后第三章第三章 单自由度系统振动的工程应用单自由度系统振动的工程应用 / / 3.2 3.2 振动的隔离振动的隔离隔振后通过隔振后通过k、c传到地基上的力：传到地基上的力：隔振材料：k，cm隔振前kcm隔振后第三章第三章 单自由度系统振动的工程应用单自由度系统振动的工程应用 / / 3.2 3.2 振动的隔离振动的隔离主动隔振系数隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：隔振前机器传到地基的

74、力：隔振后通过隔振后通过k、c传到地基上的力：传到地基上的力：隔振系数：隔振系数：隔振材料：k，cm隔振前kcm隔振后01010 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 第三章第三章 单自由度系统振动的工程应用单自由度系统振动的工程应用 / / 3.2 3.2 振动的隔离振动的隔离例：机器安装在弹性支承上例：机器安装在弹性支承上 已测得固有频率 阻尼比参与振动的质量是 880kg 机器转速 n2400r/min 不平衡力的幅值 1470N 求：（1）机器振幅， （2）主动隔振系数 （3）传到地基上的力幅 第三章第三章 单自由度系统振动的工程应用单自由度系统振动的工程应用 / / 3.2 3

75、.2 振动的隔离振动的隔离例：机器安装在弹性支承上 已测得固有频率 阻尼比参与振动的质量是 880kg 机器转速 n2400r/min 不平衡力的幅值 1470N 求：（1）机器振幅，（2）主动隔振系数（3）传到地基上的力幅 解：频率比：弹性支承的刚度： 机器振动的振幅 ：主动隔振系数 ：传到地基上的力幅 ：第三章第三章 单自由度系统振动的工程应用单自由度系统振动的工程应用 / / 3.2 3.2 振动的隔离振动的隔离振动的隔离振动的隔离 将地基的振动与机器设备隔离，以避免将振动传至设备，将地基的振动与机器设备隔离，以避免将振动传至设备，称为称为被动隔振被动隔振.被动隔振系数隔振后设备的振幅隔

76、振前设备的振幅基础位移基础位移：隔振前振幅隔振前振幅：D隔振后系统响应隔振后系统响应：m隔振前kcm隔振后第三章第三章 单自由度系统振动的工程应用单自由度系统振动的工程应用 / / 3.2 3.2 振动的隔离振动的隔离例：有一精密仪器要求隔振，为此用例：有一精密仪器要求隔振，为此用8个弹簧作为隔振装置个弹簧作为隔振装置 ， 已知地板运动规律为已知地板运动规律为 ， 仪器质量为仪器质量为m=80kg，仪器容许振幅，仪器容许振幅B=0.01cm，试计算每个弹簧的刚度。，试计算每个弹簧的刚度。解：按隔振要求，隔振系数应为：第第第第3 3章章章章 单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用单

77、自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用 3.2 隔振原理隔振原理力的传递率力的传递率第第第第3 3章章章章 单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用 3.2 隔振原理隔振原理小结：小结：振动的隔离振动的隔离 将地基的振动与机器设备隔离，以避免将振动传至设备，称为被动隔振被动隔振.被动隔振系数隔振后设备的振幅隔振前设备的振幅kcm隔振后主动隔振系数隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值kcm隔振后 将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为主动隔振主动隔振.第三章第三章 单自由度系统振动的工程应用单自由

78、度系统振动的工程应用 / / 3.2 3.2 振动的隔离振动的隔离隔振的设计步骤：隔振的设计步骤：1 1、确定被隔振设备的原始数据：、确定被隔振设备的原始数据：m m、I I、中心。、中心。2 2、按、按=2.5=2.55 5的要求，计算隔振系统的固有频率。的要求，计算隔振系统的固有频率。 多个激励时取最小激励频率，多自由度系统固有多个激励时取最小激励频率，多自由度系统固有 频率取最大值。频率取最大值。3 3、计算隔振器的刚度、确定阻尼大小。、计算隔振器的刚度、确定阻尼大小。4 4、进行隔振效率验算。、进行隔振效率验算。5 5、选择隔振器类型，计算隔振器尺寸和结构设计。、选择隔振器类型，计算隔

79、振器尺寸和结构设计。第第第第3 3章章章章 单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用单自由度线性系统的振动应用 3.2 隔振原理隔振原理多自由度系统振动多自由度系统振动第四章第四章kcm建模方法建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。缺点：模型粗糙，缺点：模型粗糙，没有没有考虑考虑人与车人与车、车与车轮车与车轮之间之间的相互影响。的相互

80、影响。优点：模型简单；优点：模型简单；分析：分析：人与车人与车、车与车轮车与车轮、车轮与地面车轮与地面之间的运动存在耦合。之间的运动存在耦合。多自由度系统振动多自由度系统振动k2c2m车车m人人k1c1建模方法建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。的弹性和阻尼。优点：模型较为精确，优点：模型较为精确，考虑考虑了了人与车人与车之间的耦合；之间的耦合；缺点：缺点：没有没有考虑考虑车与车轮车与车轮之间的相互影响。之间的相互影响。多自由度系统振动多自由度系统振动m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3：

81、车、人、车轮的质量分别考车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。虑，并考虑各自的弹性和阻尼。优点：分别考虑了优点：分别考虑了人与车人与车、车与车与车轮车轮之间的相互耦合，模之间的相互耦合，模型较为精确型较为精确.问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动多自由度系统振动教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动多自由度系统振动多自由度系统振动作用力方程刚度矩阵和质量矩阵位移方程和柔度矩阵质量矩阵和刚度矩阵的正定性质耦合与坐标变换多自由度系统的动力学方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多

82、自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程作用力方程几个例子几个例子 例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。不计摩擦和其他形式的阻尼。不计摩擦和其他形式的阻尼。试建立系统的运动微分方程。试建立系统的运动微分方程。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程解：解：的原点分的原点分别别取在取在 的静平衡位置。的静平衡位置。 建立坐标：建立坐标：设设某一瞬某一瞬时时：上分上分别别有位移有位移加速度加速度受力分析：受力分析：P1(t)k1x1k2

83、(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程建立方程：建立方程：矩阵形式：矩阵形式：坐标间的耦合项坐标间的耦合项 P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例例2：转动运动：转动运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 试建立系统的运动微分方程试建立

84、系统的运动微分方程 。外力矩外力矩 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程解：解：建立坐标：建立坐标：角位移角位移设设某一瞬某一瞬时时：角加速度角加速度受力分析：受力分析：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程建立方程：建立方程：矩阵形式：矩阵形式：坐标间的耦合项坐标间的耦合项 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线

85、振动在数学描述上相同 。 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程小结：小结：可统一表示为：可统一表示为： 例例1：例例2：作用力方程作用力方程位位移移向向量量加加速速度度向向量量质质量量矩矩阵阵刚刚度度矩矩阵阵激激励励力力向向量量若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维矩

86、阵或列向量维矩阵或列向量 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程n 个自由度系统个自由度系统:质量矩阵第质量矩阵第 j 列列刚度矩阵第刚度矩阵第 j 列列n维广义坐标列向量维广义坐标列向量第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程刚度矩阵和质量矩阵当当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定M、K 该如何确定？该如何确定？ 作用力方程：作用力方程：先讨论先讨论 K加速度为零加速度为零假设外力是以假设外力是以准静态方式准静态方式施加

87、于系统施加于系统准静态外力列向量准静态外力列向量静力平衡静力平衡第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程作用力方程：作用力方程： 假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移. 即即 ：代入代入 ：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵

88、 K 的第的第 j 列列 .（i=1n） ：在第在第 i 个坐标上施加的力个坐标上施加的力. 结论结论结论结论：刚刚刚刚度矩度矩度矩度矩阵阵阵阵 K K 中的元素中的元素中的元素中的元素 k kij ij 是使系统仅在第是使系统仅在第是使系统仅在第是使系统仅在第 j j 个坐标上产生个坐标上产生个坐标上产生个坐标上产生单位位移而相应于第单位位移而相应于第单位位移而相应于第单位位移而相应于第 i i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力. . 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程结

89、论结论结论结论：刚刚刚刚度矩度矩度矩度矩阵阵阵阵 K K 中的元素中的元素中的元素中的元素 k kij ij 是使系统仅在第是使系统仅在第是使系统仅在第是使系统仅在第 j j 个坐标上产生个坐标上产生个坐标上产生个坐标上产生单位位移而相应于第单位位移而相应于第单位位移而相应于第单位位移而相应于第 i i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力. . 第第j个坐标产个坐标产生单位位移生单位位移刚度矩阵第刚度矩阵第j列列系统刚度矩系统刚度矩阵阵j=1n确定确定第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的

90、动力学方程作用力方程：作用力方程：讨论讨论 M 假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移. 假假设设作作用用于于系系统统的的是是这这样样一一组组外外力力：它它们们使使系系统统只只在在第第 j 个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度. 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程这组外力正是质量矩阵这组外力正是质量矩阵 M 的第的第 j 列列 结论结论结论结论：质质质质量矩量矩量矩量矩阵阵阵阵

91、 M M 中的元素中的元素中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第是使系统仅在第是使系统仅在第 j j 个坐标上产生单个坐标上产生单个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力第第j个坐标单个坐标单位加速度位加速度质量矩阵第质量矩阵第j列列系统质量矩系统质量矩阵阵j=1n确定确定第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 质质量矩量矩阵阵 M 中的元素中的元素mij 是使系统仅在

92、第是使系统仅在第 j 个坐标上产个坐标上产生单位加速度而相应于第生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力. mij、kij又又分分别别称称为为质质量量影影响响系系数数和和刚刚度度影影响响系系数数。根根据据它它们们的的物物理理意意义义可可以以直直接接写写出出系系统统质质量量矩矩阵阵M和和刚刚度度矩矩阵阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法影响系数方法. 刚刚度矩度矩阵阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产个坐标上产生单位位移而相应于第生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐

93、标上所需施加的力. 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动.在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得系统刚度矩阵的第一列系统刚度矩阵的第

94、一列第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令刚刚度矩度矩阵阵：使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动.第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多

95、自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动.在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得系统刚度矩阵的第二列系统刚度矩阵的第二列令令第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力

96、学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动.令令刚刚度矩度矩阵阵：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1

97、(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，m1和和m2不动不动.在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得系统刚度矩阵的第三列系统刚度矩阵的第三列令令第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)

98、m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，m1和和m2不动不动令令刚刚度矩度矩阵阵：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 令令令令刚刚度矩度矩阵阵：

99、第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程只考虑动态只考虑动态 令令m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)只使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零所需施加的力：所需施加的力：所需施加的力：所需施加的力：在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得系统质量矩阵的第一列系统质量矩阵的第一列m1产产生生单单位位加加速速度度的的瞬瞬时时，m2和和 m3尚尚 没没有反应有反应第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系

100、统的动力学方程只考虑动态只考虑动态 令令m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)只使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零.所需施加的力：所需施加的力：所需施加的力：所需施加的力：m1产产生生单单位位加加速速度度的的瞬瞬时时，m2和和 m3尚尚 没没有反应有反应.质质量矩量矩阵阵：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程同理同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)令令第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统

101、的动力学方程多自由度系统的动力学方程同理同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)令令令令第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程令令有：有：令令有：有：令令有：有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)质质量矩量矩阵阵：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程运动微分方程：运动微分方程： m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)外力外力列阵列阵矩阵形式：矩阵形式：第四章第四章

102、多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程小结：小结： 刚刚度矩度矩阵阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。 质质量矩量矩阵阵 M 中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。 又又分分别别称称为为质质量量影影响响系系数数和和刚刚度度影影响响系系数数。根根据据它它们们的的物物理理意意义

103、义可可以以直直接接写写出出矩矩阵阵 M 和和 K，从从而而建建立立作作用用力力方方程程，这这种种方法称为方法称为影响系数方法或动静法。影响系数方法或动静法。刚度矩阵和质量矩阵第第j个坐标产个坐标产生单位位移生单位位移刚度矩阵第刚度矩阵第j列列系统刚度矩系统刚度矩阵阵j=1n确定确定第第j个坐标单个坐标单位加速度位加速度质量矩阵第质量矩阵第j列列系统质量矩系统质量矩阵阵j=1n确定确定第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程位移方程和柔度矩阵位移方程位移方程物理意物理意义义：系系统仅统仅在第在第 j 个坐个坐标标受到受到单单位力

104、作用位力作用时时相相应应于第于第 i 个坐个坐标标上上产产生的位移生的位移. 柔度影响系数柔度影响系数 柔度矩柔度矩阵阵与与刚刚度矩度矩阵阵的关系：的关系：位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。 若若K非奇异非奇异作用力方程作用力方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：例： 求柔度阵。求柔度阵。 解：解：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学

105、方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.1 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法式中：式中： 、 分别为广义坐标和广义速度；分别为广义坐标和广义速度；T T、U U 分别为系统的动能和位能；分别为系统的动能和位能；D D 能量散失函数；能量散失函数；Q Q 广义干扰力。广义干扰力。 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法拉格朗日法拉格朗日法: :采用拉格朗日方程式来建立系统的运动方程式，这种方法采用拉格朗日方程式来建立系统的运动方程式，这种方法比较规

106、格化，不易出错。而矩阵这一数学工具，则不仅提供了一种简明比较规格化，不易出错。而矩阵这一数学工具，则不仅提供了一种简明的表示方法，而且矩阵计算的程序比较成熟，可以利用电子计算机来完的表示方法，而且矩阵计算的程序比较成熟，可以利用电子计算机来完成复杂的计算工作。这样，无论在理论探讨上和分析计算上都给我们带成复杂的计算工作。这样，无论在理论探讨上和分析计算上都给我们带来很大的方便。来很大的方便。按拉格朗日方法，系统的振动方程式可以通过按拉格朗日方法，系统的振动方程式可以通过动能动能T T、位能位能U U、能量散能量散失函数失函数D D来表示。即来表示。即第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振

107、动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法下图所示为三自由度的弹簧质量系统，下图所示为三自由度的弹簧质量系统，P1P1、P2P2、P3 P3 为分别作用于各质为分别作用于各质量上的干扰力。量上的干扰力。取各自质量偏离其平衡位置的位移取各自质量偏离其平衡位置的位移x1x1、x2x2、x3x3为广义坐标，则广义速为广义坐标，则广义速度度为为系统的动能即为质量系统的动能即为质量m1m1、m2 m2 、m3 m3 的动能之和，即：的动能之和，即：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格

108、朗日法拉格朗日法系统的势能即为弹簧系统的势能即为弹簧1 1、2 2、3 3的变形势能之和。而弹簧的势能可通过计算弹的变形势能之和。而弹簧的势能可通过计算弹性力所作之功来求得。当质量从平衡位置移动距离后，弹簧的弹性恢复力对性力所作之功来求得。当质量从平衡位置移动距离后，弹簧的弹性恢复力对质量所作的功为质量所作的功为所以系统的势能为：所以系统的势能为：系统的能量散失函数系统的能量散失函数即为系统在振动过程中为克服阻尼即为系统在振动过程中为克服阻尼c1c1、c2c2、c3c3所作的功。所作的功。在振动速度从在振动速度从0 0到到 的整个过程中，阻尼力对振动质量所作的功为：的整个过程中，阻尼力对振动质

109、量所作的功为：广义干扰力就是激振力，在这一系统中就是分别作用在各质量上的干扰力广义干扰力就是激振力，在这一系统中就是分别作用在各质量上的干扰力P P1 1、P P2 2、P P3 3。故。故 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法所以系统的能量散失函数为：所以系统的能量散失函数为：将上式各式再代入（1）式，即可求得质量m2的振动方程为:将上列各式代入（1）式，即可求得质量m1的振动方程为：又第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程又 将

110、上列各式仍代入（1）式，即可求得质量m3的振动方程为:综合以上的计算结果，将上述三式式组成下列微分方程组，即得图所示系统的运动微分方程式：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法上式可用矩阵形式表达为：其中各列阵及系数矩阵分别为： 位移列阵 速度列阵 第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法干扰力列阵加速度列阵质量矩阵阻尼矩阵刚度矩阵第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 多自由度系统的动力学方程

111、多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法 若在上述系统中忽略阻尼，又无干扰力的作用，则系统的无阻尼自由振动方程式可根据（2）式用矩阵形式直接写出： 其中，零列阵（null column matrix）为： 若系统的自由度数为n，则位移列阵x、速度列阵 、加速度列阵 ，以及干扰力列阵P均为n阶列阵。而质量矩阵 m 、阻尼矩阵 c ，以及刚度矩阵 k 则均为n阶对称的方阵。 还必须注意，当我们将弹性体离散化成有限自由度系统时，得到的质量矩阵m不一定都是前例那样的对角阵（diagonal matrix）。因此，以后我们按为一般非对角阵进行讨论。第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 /

112、 4.2 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程-拉格朗日法拉格朗日法解：拉格拉日方程的形式为：其中：T动能；U势能；D能量耗散函数（阻尼功率）广义力；广义坐标；t时间。 例：用拉格拉日方程求图示系统作用力方程。对于对于m1所以方程为：所以方程为：同理：对于同理：对于m2和和m3分别有：分别有：所以，系统的运动方程为：所以，系统的运动方程为：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程拉格朗日法求多自由

113、度系统的动力学方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.2 拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程拉格朗日法求多自由度系统的动力学方程耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元元素称为矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项。耦合项。质量矩阵中出现耦合项称为质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称

114、为刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。弹性耦合。以两自由度系统为例以两自由度系统为例:不存在惯性耦合不存在惯性耦合存在惯性耦合存在惯性耦合第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3耦合与坐标变换如果系统仅在第一个坐标上产生加速度如果系统仅在第一个坐标上产生加速度不不出出现现惯惯性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的加加速速度度只只在在该该坐坐标标上上引引起起惯性力惯性力. 同同理理，不不出出现现弹弹性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的位位移移只只在在该该坐坐标标上上引引起起弹弹性性恢恢复复力力；而而出出现现弹弹性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标上

115、产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力.耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合耦合非耦合非耦合出出现现惯惯性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的加加速速度度还还会会在在别别的的坐坐标标上上引引起惯性力起惯性力.第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3耦合与坐标变换例例：研研究究汽汽车车上上下下振振动动和和俯俯仰仰振振动动的力学模型。的力学模型。表示车体的刚性杆表示车体的刚性杆AB的质量为的质量为m，杆，杆绕质心绕质心C的转动惯的转动惯

116、量为量为Ic。悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和和 k2 的两个弹簧来表示。的两个弹簧来表示。写出车体微振动的微分方程。写出车体微振动的微分方程。选取选取D点的垂直位移点的垂直位移 和绕和绕D点的角位移点的角位移 为坐标。为坐标。ABCDa1a2el1l2lk1k2第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3耦合与坐标变换ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2简化形式简化形式第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3耦合与坐标变换耦合与坐标变换首先求刚度矩阵首先求刚度矩阵令：令：对对D点取矩

117、：点取矩：力平衡：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD车体所受外力向车体所受外力向D点简化为点简化为合力合力 PD 和合力矩和合力矩 MD 。微振动，杆质心的垂直位移、微振动，杆质心的垂直位移、杆绕质心的角位移：杆绕质心的角位移：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换令：令：对对D点取矩：点取矩：力平衡：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD刚度矩阵：刚度矩阵：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换求质量矩阵求质量矩阵令：令：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD惯性力惯

118、性力质心质心C所受的惯性力：所受的惯性力：力平衡：力平衡：力矩平衡：力矩平衡：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换令：令：ABCDa1a2el1l2lk1k2质心质心C所受的惯性力矩：所受的惯性力矩：力平衡：力平衡：对对D点取矩：点取矩：CD惯性力矩惯性力矩惯性力惯性力质心质心C所受的惯性力：所受的惯性力：质量矩阵：质量矩阵：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵运动微分方程运动微分方程：作用在：作用在D点的外力合力和合力矩点的外力合力和合力矩第四章第四章 多自

119、由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换如果如果D点选在这样一个点选在这样一个特殊位置，使得：特殊位置，使得：ABCDa1a2el1l2lk1k2只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换如果如果D点选在质心点选在质心C：ABCDa1a2el1l2lk1k2只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合。只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合。第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换问：问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分

120、方程既不出能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？现惯性耦合，也不出现弹性耦合？即：即：若能够，则有：若能够，则有：方程解耦，变成了两个单自由度问题。方程解耦，变成了两个单自由度问题。使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标。主坐标。第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换讨论：讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？ABCDa

121、1a2el1l2lk1k2 选取选取D点的垂直位点的垂直位移及角位移作为坐标移及角位移作为坐标; 选取质心选取质心C点的垂直点的垂直位移及角位移作为坐标位移及角位移作为坐标;第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换令：令：令：令：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换D点和点和C点的坐标之间的关系：点的坐标之间的关系：写成矩阵形式：写成矩阵形式：坐标变换矩阵坐标变换矩阵eDC第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换D点和点和C点的坐标之间的关系：点的

122、坐标之间的关系：写成矩阵形式：写成矩阵形式：坐标变换矩阵坐标变换矩阵eDCDCCD和和 的关系的关系在在C点加一对大小相等、方向相反的力点加一对大小相等、方向相反的力得：得：写成矩阵形式：写成矩阵形式：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换D点和点和C点的坐标之间的关系：点的坐标之间的关系：写成矩阵形式：写成矩阵形式：坐标变换矩阵坐标变换矩阵eDCDCCD和和 的关系的关系在在C点加一对大小相等、方向相反的力点加一对大小相等、方向相反的力得：得：写成矩阵形式：写成矩阵形式：T 非奇异，因此：非奇异，因此：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系

123、统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换验证：验证：代入，并左乘代入，并左乘 ：第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换结论：结论： 假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X X 和和和和Y Y 有如下有如下有如下有如下的变换关系：的变换关系：的变换关系：的变换关系：其中其中其中其中T T 是非奇异矩阵，如果在坐标是非奇异矩阵，如果在坐标是非奇异矩阵，如果在坐标是非奇异矩阵，如果在坐标X X下系统的运动微分方程为：下系统的运动

124、微分方程为：下系统的运动微分方程为：下系统的运动微分方程为：那么在坐标那么在坐标那么在坐标那么在坐标Y Y 下的运动微分方程为：下的运动微分方程为：下的运动微分方程为：下的运动微分方程为：如果恰巧如果恰巧Y 是主坐标：是主坐标：对角阵对角阵这样的这样的T 是否存在？如何寻找？是否存在？如何寻找？第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换当当T 矩阵非奇异时，称矩阵矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（与矩阵（TTAT） 合同。合同。对于质量矩阵也如此。对于质量矩阵也如此。线性代数知，线性代数知， 合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。合同矩阵具有相

125、同的对称性质与相同的正定性质。对称性质：对称性质： 若矩阵若矩阵A 对称，则（对称，则（TTAT）对称。）对称。证明：证明：矩阵矩阵A 对称，对称，AAT则有：则有：(TTAT)TTTAT(TT)TTTAT正定性质：正定性质：若原来的刚度矩阵若原来的刚度矩阵K 正定，则（正定，则（TTKT）仍正定。）仍正定。因此坐标变换因此坐标变换X TY 不改变系统的正定性质。不改变系统的正定性质。第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换小结：耦合与坐标变换质量矩阵中出现耦合项称为质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为刚

126、度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。弹性耦合。不不出出现现惯惯性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的加加速速度度只只在在该该坐坐标标上上引引起起惯性力惯性力.耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择不不出出现现弹弹性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的位位移移只只在在该该坐坐标标上上引引起起弹弹性恢复力性恢复力. 同一个系统选择两种不同的坐标同一个系统选择两种不同的坐标X 和和Y 有变换关系：有变换关系：坐标坐标坐标坐标X X下系统：下系统：下系统：下系统：坐标坐标坐标坐标Y Y 下系

127、统：下系统：下系统：下系统：其中其中其中其中T T 是非奇异矩阵是非奇异矩阵是非奇异矩阵是非奇异矩阵第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.3 耦合与坐标变换耦合与坐标变换4-4 多自由度体系的固有频率与主振型多自由度体系的固有频率与主振型主要问题主要问题4-4-1 多自由度系统的固有频率与主振型4-4-3 主坐标与正则坐标4-4-2 主振型的正交性第四章第四章 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 4.4 多自由度系统自由振动多自由度系统自由振动4-4-1 多自由度系统的固有频率与主振型 主振动主振动n个自由度系统的自由振动方程个自由度系统的自由振动方程设系统存在某种设系统存

128、在某种同步运动同步运动 各广义坐标的各广义坐标的运动幅值不同运动幅值不同 各广义坐标随时间各广义坐标随时间变化规律相同变化规律相同为常向量为常向量为常量为常量非负数，令非负数，令正定系统正定系统半正定系统半正定系统解方程解方程a、b、积分常数积分常数半正定系统半正定系统的同步运动形式的同步运动形式正定系统正定系统的同步运动形式的同步运动形式以上同步运动均称为以上同步运动均称为主振动主振动 固有频率与固有频率与主振型主振型假设方程的通解为假设方程的通解为假设系统偏离平衡位置作自由假设系统偏离平衡位置作自由振动时，各广义坐标振动时，各广义坐标xi 均按同均按同频率和同相位作简谐振动频率和同相位作简

129、谐振动齐次方程组存在非零解齐次方程组存在非零解A的的充要条件充要条件特征行列式特征行列式展开行列式为一个关于展开行列式为一个关于 2 的的n次多项式，称之为次多项式，称之为特征方程特征方程为为特征根特征根（特征值特征值）仅取决于系统本身的质量和刚度仅取决于系统本身的质量和刚度称为系统的称为系统的第第 i 阶固有频率阶固有频率半正定系统（半正定系统（K为半正定矩阵）为半正定矩阵）正定系统（正定系统（K、M均为正定矩阵）均为正定矩阵）系统的全部系统的全部固有频率固有频率均为正实数均为正实数系统存在零值系统存在零值固有频率固有频率特征向量特征向量（满足齐次方程组的非零向量）（满足齐次方程组的非零向量

130、）单根单根方程组中有且只有一个方程不独立方程组中有且只有一个方程不独立解方程解方程对应固有频率对应固有频率 i 的振幅间的比例关的振幅间的比例关系系振幅比振幅比取取归一化归一化n个自由度系统的个自由度系统的第第i 阶主振动阶主振动 系统各广义坐标以第系统各广义坐标以第i阶固有频率阶固有频率 i 作简谐振动，即同时通过静平衡位置，同作简谐振动，即同时通过静平衡位置，同时到达各自的最大偏移位置时到达各自的最大偏移位置特征向量特征向量 A(i)中的各元素为系统作第中的各元素为系统作第i 阶阶主振动主振动时各广义坐标上振幅的相对比值时各广义坐标上振幅的相对比值系统作第系统作第i 阶主振动时具有一定的阶

131、主振动时具有一定的振动形态振动形态特征向量特征向量 A(i)振动问题中，特征向量振动问题中，特征向量 A(i)称为称为第第i 阶主振型阶主振型 (固有振型固有振型、主模态主模态) 确定系统的确定系统的振动形态振动形态 未确定系统各坐标的未确定系统各坐标的振幅绝对值振幅绝对值 仅取决于系统的仅取决于系统的物理参数（质量、刚度）物理参数（质量、刚度）n个自由度系统具有个自由度系统具有n阶主振型阶主振型！n阶主振动阶主振动！系统振动方程的通解为系统振动方程的通解为其中的其中的2n个积分常数有初始条件确定个积分常数有初始条件确定对于位移振动方程对于位移振动方程主振动主振动固有频率固有频率特征方程特征方

132、程特征根特征根讨论讨论多自由度系统多自由度系统选择不同的广义坐标选择不同的广义坐标质量矩阵质量矩阵M、刚度矩阵、刚度矩阵K(或或)不同不同特征方程相同特征方程相同特征行列式的形式不同特征行列式的形式不同多自由度系统的固有频率是反映系统在多自由度系统的固有频率是反映系统在平衡位置附近微振动时固有的物理性质平衡位置附近微振动时固有的物理性质系统的系统的固有频率固有频率与与主振型主振型完全决定于系统本身的固完全决定于系统本身的固有物理性质有物理性质固有频率相同固有频率相同主振型的值不同主振型的值不同对应不同的广义坐标！对应不同的广义坐标！差异！不同坐标确定的系统各质点在同差异！不同坐标确定的系统各质

133、点在同一阶主振动时具有相同的运动形态一阶主振动时具有相同的运动形态举例举例双自由度系统的固有频率与主振型双自由度系统的固有频率与主振型x1x2kk2km2m系统振动方程系统振动方程设主振动设主振动1112特征根特征根令令令令举例举例三自由度系统的固有频率与主振型三自由度系统的固有频率与主振型kk2kmm2kmx2x1x321111111系统的质量矩阵和刚度矩阵系统的质量矩阵和刚度矩阵特征矩阵特征矩阵令令特征根特征根由特征矩阵的伴随矩阵求主振型由特征矩阵的伴随矩阵求主振型1.431110.7111举例举例三自由度梁弯曲的固有频率与主振型三自由度梁弯曲的固有频率与主振型系统的质量矩阵与柔度矩阵系统

134、的质量矩阵与柔度矩阵振动方程振动方程令主振动为令主振动为令令由特征矩阵行列式为零，得特征方程由特征矩阵行列式为零，得特征方程主振型关于质量矩阵和刚度矩阵具有主振型关于质量矩阵和刚度矩阵具有正交性正交性4-4-2 主振型的正交性证明证明设系统固有频率设系统固有频率 1和和 2对应的主振型为对应的主振型为A(1) 和和 A(2)对应于不同固有频率的主振型之间，对应于不同固有频率的主振型之间，关于质量矩阵和刚度矩阵加权正交关于质量矩阵和刚度矩阵加权正交第第j 阶阶主质量主质量第第j 阶阶主刚度主刚度对于主振型对于主振型对角矩阵对角矩阵！同理同理主振型正交性的物理意义主振型正交性的物理意义设系统同时存

135、在主振动设系统同时存在主振动系统的位移系统的位移系统的动能系统的动能同理同理系统的动能（或势能）等于各阶主振动单独系统的动能（或势能）等于各阶主振动单独存在时系统的动能（或势能）之和存在时系统的动能（或势能）之和Ti 、Vi 分别是仅存在第分别是仅存在第i 阶主振动时系统动能和势能阶主振动时系统动能和势能另外另外对于保守系统的每一阶主振动，虽然其动对于保守系统的每一阶主振动，虽然其动能和势能在相互转换，但总和为常数。说能和势能在相互转换，但总和为常数。说明各阶主振动之间不发生能量交换明各阶主振动之间不发生能量交换 可见，由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的可见，由于主振型的正交性

136、，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹阶固有振动的广义弹性力在第性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。 对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相

137、转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。之间不会发生能量的传递。 因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。动正交性的物理意义。 振型矩阵与谱矩阵振型矩阵与谱矩阵 振型矩阵振型矩阵（模态矩阵模态矩阵） 主质量矩阵主质量矩阵与与主刚度矩阵主刚度矩阵 谱矩阵谱矩阵正则振型正则振型取取“归一化归一化”若令相应于主振型若令相应于主振型 A(i) 的主质量的主质量Mpi=1，这种特定的归一化方，这种特定的归一化方法称为法称为正则化正则化（正规化正规化）；所得到的主振型称为）；所得到的主振型称为正则振型正则振型设系

138、统的第设系统的第i 阶正则振型为阶正则振型为，第，第i 阶主振型为阶主振型为令令由定义由定义正则振型矩阵正则振型矩阵 在在一一般般情情况况下下，具具有有有有限限个个自自由由度度振振动动系系统统的的质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵都都不不是是对对角角阵阵。因因此此，系系统统的的运运动动微微分分方方程程中中既既有有动动力力耦耦合合又又有有静静力力耦耦合合。对对于于n自自由由度度无无阻阻尼尼振振动动系系统统，有有可可能能选选择择这这样样一一组组特特殊殊坐坐标标，使使方方程程中中不不出出现现耦耦合合项项亦亦即即质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵都都是是对对角角阵阵，这这样样每每个个方方程程可可以

139、以视视为为单单自自由由度度问问题题，称称这这组组坐坐标标为为主主坐坐标标或或模态坐标模态坐标。 由由前前面面的的讨讨论论可可知知，主主振振型型矩矩阵阵U与与正正则则振振型型矩矩阵阵 ，均均可可使使系系统统的的质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵转转换换成成为为对对角角阵阵。因因此此，可可利利用用主主振振型型矩矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标主坐标或或正则坐标正则坐标。4-4-3 主坐标与正则坐标4-4-3 主坐标与正则坐标n个自由度系统个自由度系统正交性正交性线性独立线性独立证明证明设一组常数设一组常数而而线性无关线性无关主振型主振型 A(i)

140、对系统运动对系统运动 x 的贡献的的贡献的度量度量n个自由度系统的个自由度系统的任意振动形式任意振动形式n维空间的一组维空间的一组“基基”线性无关线性无关n个主振型的线性组合个主振型的线性组合对于对于n维空间的任意一个维空间的任意一个n维向量维向量x，都能唯一地表示成都能唯一地表示成任何一种可能的运动任何一种可能的运动形式都可以用主振型形式都可以用主振型的线性组合来表示的线性组合来表示！振型展开定理振型展开定理相应主振型在系统位移相应主振型在系统位移矢量中所占比例大小矢量中所占比例大小坐标变换坐标变换新坐标新坐标 方程间不存在坐标耦合，称之方程间不存在坐标耦合，称之解耦解耦 振型矩阵振型矩阵

141、A 坐标变换矩阵坐标变换矩阵 D 主主坐标坐标以正则振型矩阵为坐标变换矩阵以正则振型矩阵为坐标变换矩阵新坐标系的新坐标系的坐标架坐标架举例举例三自由度系统三自由度系统kk2kmm2kmx2x1x3写写出出图图示示系系统统的的主主振振型型矩矩阵阵和和正正则则振振型型矩矩阵阵，以以及及用用正正则则坐坐标标表示的系统运动方程。表示的系统运动方程。由质量矩阵由质量矩阵 ，可求出主质量矩阵，可求出主质量矩阵解解：将将各各阶阶主主振振型型依依次次排排列列成成方阵，得到主振型矩阵方阵，得到主振型矩阵例例 题题于是，可得各阶正则振型于是，可得各阶正则振型以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵以各阶正则振型为列，

142、写出正则振型矩阵由刚度矩阵由刚度矩阵可求出谱矩阵可求出谱矩阵可写出以正则坐标表示的运动方程可写出以正则坐标表示的运动方程展开式为展开式为举例举例质体质体 m 由三个弹簧支承，在由三个弹簧支承，在x-y平面内作微幅振动，确定系平面内作微幅振动，确定系统的主振型。统的主振型。123k1k2k3固定点固定点11xy弹簧弹簧k1的势能为的势能为系统总的势能系统总的势能系统动能系统动能利用利用Lagrange方程方程特征方程特征方程本例质量矩阵与单位阵成比例，因此本例质量矩阵与单位阵成比例，因此主振型同时主振型同时几何正交几何正交第一阶主振动沿着第一阶主振动沿着 x-y =0第二阶主振动沿着第二阶主振动沿着 x+y =0主坐标的两根轴正交主坐标的两根轴正交