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1、24.3 24.3 正多边形和圆（一）正多边形和圆（一） 实际生活中，经常会遇到画平面正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角形等，这些问题都与等分圆周有关，要制造如图中零件，也需要等分圆周引入:活动1:什么样的图形是正多边形？各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.你知道正多边形与圆的关系吗？正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.活动2: 如图如图,把把 O分成把分成把 O分成相等的分成相等的5段弧段弧,依次连接各依次连接各分点得到正五边形分点得到正五边形ABCDE. AB=BC=CD=DE=E
2、A, A= B. ABCDEO同理同理B= C= D= E.又五边形又五边形ABCDE的顶点都在的顶点都在 O上上, 五边形五边形ABCD是是 O的内接正五边形的内接正五边形, O是五边形是五边形ABCD的外接圆的外接圆.我们以圆内接正五边形为例证明我们以圆内接正五边形为例证明我们以圆内接正五边形为例证明我们以圆内接正五边形为例证明. . . .O中心角中心角半径半径R边心距边心距r正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角中心角.我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心中心.外接圆的半
3、径叫做正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径半径.中心到正多边形的距离叫做正多边形的中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距边心距.归纳:例例 :有一个亭子有一个亭子,它的地基半径为它的地基半径为4m的正六边形的正六边形,求地基的求地基的周长和面积周长和面积(精确到精确到0.1m2).解解: 如图由于如图由于ABCDEF是正六边形是正六边形,所以它的中心角等于所以它的中心角等于 ，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长 l =46=24(m).在在RtOPC中中,OC=4, PC=利用勾股定理利用
4、勾股定理,可得边心距可得边心距亭子地基的面积亭子地基的面积OABCDEFRPrl例：利用手中的工具求作一个边长为3cm的正六边形l解：方法一：如图1，以3cm为半径作一个 O，用量角器画一个等于360660的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，即可得到正六边形l方法二：如图2，以3cm为半径作一个 O，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取长度等于3cm的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各等分点即可活动四：练习1:矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?答：矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;正
5、方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等.课堂练习:练习2:各边相等的圆内接多边形是正多边形吗各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角都相等的圆内各角都相等的圆内接多边形呢接多边形呢?如果是如果是,说明为什么说明为什么;如果不是如果不是,举出反例举出反例.解：各边相等的圆内接多边形是正多边形解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.多边形多边形A1A2A3A4An是是 O的内接多边形的内接多边形,且且A1A2=A2A3=A3A4=An1An,多边形多边形A1A2A3A4An是正多边形是正多边形.A1AAAAAAAnO练习练习3 3：分别求出半径为分别求出半径为R的圆内接正三角形，的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积正方形的边长，边心距和面积.ABCDO解：作等边解：作等边ABC的的BC边上的高边上的高AD,垂足为垂足为D连接连接OB，则，则OB=R在在RtOBD中中 OBD=30,边心距边心距OD=在在RtABD中中 BAD=30,解：连接解：连接OB，OC 作作OEBC垂足为垂足为E， OEB=90 OBE= BOE=45在在RtOBE中为等腰直角三角形中为等腰直角三角形ABCDOE1圆的内切与外接正多边形2正多边形的内切圆与外接圆3正多边形的中心、半径、中心角、边心距4利用正多边形与圆的关系进行解题课堂小结
