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1、8-1 8-1 8-1 8-1 应力状态的概念应力状态的概念应力状态的概念应力状态的概念8-2 8-2 8-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法解析法解析法8-3 8-3 8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析平面应力状态分析平面应力状态分析图解法（应力圆）图解法（应力圆）图解法（应力圆）图解法（应力圆）8-4 8-4 8-4 8-4 空间应力的应力状态分析空间应力的应力状态分析空间应力的应力状态分析空间应力的应力状态分析一点的最大应力一点的最大应力一点的最大应力一点的最大应力8-5 8-5 8-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律
2、广义胡克定律广义胡克定律8-6 8-6 8-6 8-6 强度理论概念强度理论概念强度理论概念强度理论概念第八章第八章 应力状态分析应力状态分析 强度理论强度理论1 1、问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出8-1 8-1 应力状态的概念应力状态的概念轴向拉伸杆件轴向拉伸杆件斜截面应力：斜截面应力：问题问题1 1：同一点处同一点处不同方位截面上不同方位截面上的应力不相同；的应力不相同；横截面应力：横截面应力：梁弯曲的强度条件：梁弯曲的强度条件：z问题问题2 2 B B点处应力该如何校核？点处应力该如何校核？ 有必要研究有必要研究一点的应力状态。一点的应力状态。 过一点不同方位截面上应力情况，称
3、为这一点的过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力应力应力应力状态状态状态状态（State of the Stresses of a Given PointState of the Stresses of a Given Point）。）。）。）。应应应应 力力力力哪一个面上？哪一个面上？哪一个面上？哪一个面上？哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？哪个方向面？哪个方向面？哪个方向面？哪个方向面？指明指明指明指明2 2 2 2、点的应力状态的概念、点的应力状态的概念、点的应力状态
4、的概念、点的应力状态的概念研究应力状态的研究应力状态的目的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最 大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当 的强度条件。的强度条件。3 3 3 3、一点的应力状态的描述、一点的应力状态的描述、一点的应力状态的描述、一点的应力状态的描述 研究一点的应力状态，研究一点的应力状态，研究一点的应力状态，研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正可对一个包围该点的微小正可对一个包围该点的微小正可对一个包围该点的微小正六面体六面体六面体六面体单元体单元体单元体单元体进行
5、分析进行分析进行分析进行分析各边边长各边边长各边边长各边边长,dxdydz在单元体各面上标上应力在单元体各面上标上应力在单元体各面上标上应力在单元体各面上标上应力应力单元体应力单元体应力单元体应力单元体取单元体示例一取单元体示例一取单元体示例一取单元体示例一FPl/2l/2S 截面截面5432154321S截面截面5432154321S 截截面面1233t取单元体示例二取单元体示例二取单元体示例二取单元体示例二FPlaS截面截面xzy4321S S 截面截面截面截面yxzMzFQyMx4321143忽略弯曲切应力忽略弯曲切应力忽略弯曲切应力忽略弯曲切应力 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作
6、用。从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。取单元体示例三取单元体示例三取单元体示例三取单元体示例三（1 1）、主平面与主应力：）、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主平面：切应力为零的平面。主应力：作用于主平面上的正应力。主应力：作用于主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值由大到小主应力排列规定：按代数值由大到小。过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力301050单位：单位：MPa30104 4 4 4、应力状态的分类、应力状态的分类、应力状态的分类、应力状态的分类a、单向应力状态、单向应力状
7、态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态都等于零的应力状态。b、二向应力状态、二向应力状态：有两个主应力不等于零有两个主应力不等于零 ，另一个主应力，另一个主应力 等于零的应力状态。等于零的应力状态。c、三向应力状态、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。三向主应力都不等于零的应力状态。 （2)2)、应力状态的分类、应力状态的分类平面应力状态平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态：复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态空
8、间应力状态：三向应力状态三向应力状态简单应力状态：简单应力状态：单向应力状态。单向应力状态。纯剪切应力状态纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力单元体上只存在剪应力无正应力。空间应力状态空间应力状态空间应力状态空间应力状态yxz平面应力状态平面应力状态平面应力状态平面应力状态xyxyxy单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态一、斜截面上的应力计算一、斜截面上的应力计算一、斜截面上的应力计算一、斜截面上的应力计算82 平面应力的应力状态分析平面应力的应力状态分析 解析法解析法等价等价空间问题简化空间问题简化为平面问题为平面问题- -
9、 逆时针转为正。逆时针转为正。设：斜截面面积为设：斜截面面积为A A，由分离体平衡得由分离体平衡得：单元体各面面积单元体各面面积由切应力互等定理和三角变换，可得：符号规定：符号规定：1)“ ”正负号同正负号同“ ”； 2) “t t ”正负号同正负号同“t t” ； 3) “a”为斜面的外法线与为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针 为负。为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。注意：用公式计算时代入相应的正负号。主平面的方位主应力的大小主应力的大小讨论：讨论：1)、2)、 的极值的极值 主应力以及主平面方位主应力以及主平面方位 可以确定出两个
10、相互垂直的平面主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。3)3)、 切应力切应力t t 的极值及所在截面的极值及所在截面最大切应力最大切应力 所在的位置所在的位置xy 面内的最大切应力面内的最大切应力由由主平面的位置主平面的位置最大切应力最大切应力 所在的位置所在的位置将将 与与 画在原单元体上。画在原单元体上。例例：如图所示单元体，求如图所示单元体，求 斜面的应力及主应力、主平面。斜面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）300405060解：解：1 1、求斜面的应力、求斜面的应力2 2、求主应力、主平面、求主应力、主平面主应力主应力：主平面位置主平面位置：这个方程恰好表示一个圆，这个
11、圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 8 -3 平面应力的应力状态分析平面应力的应力状态分析 图解法图解法对上述方程消参数（对上述方程消参数（2 2 ），得：），得：一、应力一、应力一、应力一、应力圆：圆：圆：圆：圆心：圆心：半径半径：RC应力圆：应力圆：二二二二. . . .应力圆的画法应力圆的画法应力圆的画法应力圆的画法D( x ,t txy)D( y ,t tyx)cRADx xy y点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面 上的正应力和切应力上的正应力和切应力三、几个对应关系三、几个对应关系三、几个对应关系三、
12、几个对应关系D( x ,t txy)D( y ,t tyx)cx xy yHn nH转向对应转向对应半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。 x xADt t odacxyy45x245245beBEt tt tot t a (0,t t )d(0,-t t )A ADbec245245 1 1t t 3
13、3t tBE 3 3t t 1 1t tBE主应力单元体主应力单元体 例题 试用应力圆法计算图示单元体e-f截面上的应力。图中应力的单位为MPa。 例题一点处的平面应力状态如图所示。已知 试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。A AD用应力圆解法 ot t cdfe解：解：主应力单元体：D例例：求求 1 1）图示单元体）图示单元体=30=300 0 斜截面上的应力斜截面上的应力 2 2）主应力、主平面（单位：）主应力、主平面（单位：MPaMPa）。）。60EFO2 2、量出所求的物理量、量出所求的物理量解：解：1 1、按比例画此单元体对应的应力圆、按比例画此单
14、元体对应的应力圆sto与3平行的斜截面上的平行的斜截面上的应力可在应力可在1、2 应力圆的圆周应力圆的圆周上找到对应的点上找到对应的点。与2平行的斜截面上平行的斜截面上的应力可在的应力可在1、3 应力圆的圆周应力圆的圆周上找到对应的点上找到对应的点。与1平行的斜截面上平行的斜截面上的应力可在的应力可在2、3 应力圆的圆周应力圆的圆周上找到对应的点上找到对应的点。 8 -4 空间应力的应力状态分析空间应力的应力状态分析 一点的最大应力一点的最大应力1).1).弹性理论证明，图弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对单元体内任意截面上的应力都对应着图应着图b b的应力圆上或阴影区内的一点。的
15、应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b2).2).整个单元体内的最大切应力为整个单元体内的最大切应力为：t tmax结论结论 3)：整个单元体内的最大切应力所在的平面：整个单元体内的最大切应力所在的平面：例例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（：求图示单元体的主应力和最大切应力。（M P a）解：解：1) 1) x面为面为 主平面之一主平面之一2) 2) 建立应力坐标系如图，建立应力坐标系如图，画画yzyz平面的应力圆及平面的应力圆及三向应力圆得三向应力圆得: :xyz305040CBAs t o (M Pa)（M Pa ）1010DD/C 1 3 2t tmax解析法解析法1)由单元体知：
16、x 面为主平面之一,2)求yz面内的最大、最小正应力。3)主应力4)最大切应力xyz305040CBA（M Pa ）20030050ot tmax平面应力状态作为三向应力状态的特例平面应力状态作为三向应力状态的特例平面应力状态作为三向应力状态的特例平面应力状态作为三向应力状态的特例20050O3005030050O二、三向应力状态：二、三向应力状态：（广义虎克定律）（广义虎克定律）+ + +一、单向应力状态：一、单向应力状态： 8 -5 广义胡克定律广义胡克定律三、广义胡克定律的一般形式三、广义胡克定律的一般形式: :主应力与主应变方向是否一致主应力与主应变方向是否一致? ?广义胡克定律的应用
17、广义胡克定律的应用求平面应力状态下任意方向求平面应力状态下任意方向 的正应变：的正应变： +9090求出求出 , ,就可求得就可求得 方向的正应变方向的正应变 例例 槽形刚体内放置一边长为槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢块正方形钢块，试求钢块的三个主应力。的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, = 0.3。 解：解：1) 1) 研究对象：研究对象：2)2)由广义虎克定律：由广义虎克定律：正方形钢块正方形钢块展开上式，并略去高阶微量：展开上式，并略去高阶微量：四、体积应变四、体积应变体积应变与应力分量间的关系体积应变与应力分量间的关系: :-平均应力
18、。平均应力。体积应变体积应变单位体积的体积改变单位体积的体积改变体积虎克定律体积虎克定律: :形状改变比能形状改变比能: :单元体的比能单元体的比能 (单位体积储存的变形能单位体积储存的变形能)：利用广义虎克定律利用广义虎克定律: 2 3 1 图图 a m m m图图 b 2 3 1- m- m- m图图 c图图 b b 体积改变，体积改变， 形状不变；形状不变；图图 c c 形状改变，体积不变。形状改变，体积不变。单元体的比能：单元体的比能： 称为体积改变比能称为体积改变比能 图图 c 图图 b图图 a图图 C 单元体的体积应变：单元体的体积应变：单元体的比能单元体的比能 体积改变比能体积改
19、变比能(b)(b)形状态改变比能形状态改变比能(c)(c) 称为形状改变比能称为形状改变比能所以图所以图 C C 单元体体积不变单元体体积不变图图 a 单元体的体积应变：单元体的体积应变：称为称为形状改变比能形状改变比能 或或 畸形能畸形能图图 c图图 b图图 ab图的体积应变比能： 强度理论：强度理论： 8 -6 强度理论概念强度理论概念构件在静载荷作用下的两种失效形式：构件在静载荷作用下的两种失效形式： (1) (1) 脆性断裂：脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，糙，且多发生在垂
20、直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。低温脆断等。 (2) (2) 塑性屈服（流动）塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。碳钢拉、扭，铸铁压。本章介绍常用的四个经典强度理论本章介绍常用的四个经典强度理论 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于种关于破坏原因的假说，破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检找出引起破坏的主要因素，经过实践检
21、验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论（为了建为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法设及计算方法） 。1. 1. 1. 1. 最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论） 材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力 极限拉应力，由单向拉伸实验测得极限拉应力，由单向拉伸实验测
22、得 8 -7 8 -7 四个经典强度理论四个经典强度理论 莫尔强度理论莫尔强度理论强度条件强度条件断裂条件断裂条件2. 2. 2. 2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）最大伸长拉应变理论（第二强度理论）最大伸长拉应变理论（第二强度理论）最大伸长拉应变理论（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于最大都是由于最大拉应变（线变形）达到极限值导致的。拉应变（线变形）达到极限值导致的。 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得强度条件强度条件
23、断裂条件断裂条件即即 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是由于最大切应都是由于最大切应力达到了某一极限值。力达到了某一极限值。3. 3. 3. 3. 最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得屈服条件屈服条件强度条件强度条件 实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。 无论材料处于什么应力
24、状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是由于单元体的最大形状都是由于单元体的最大形状改变比能达到一个极限值。改变比能达到一个极限值。4. 4. 4. 4. 形状改变比形状改变比形状改变比形状改变比能理论（第四强度理论）能理论（第四强度理论）能理论（第四强度理论）能理论（第四强度理论） 构件危险点的形状改变比能构件危险点的形状改变比能 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得屈服条件屈服条件强度条件强度条件实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。强度理论的统一表达式：强度理论的统一表达式： r 相相当应力当应力
