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1、实实 数数本章内容第第3章章平平 方方 根根本课内容本节内容3.1动脑筋动脑筋 某家庭在装修儿童房时需铺地垫某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚，刚好用去正方形的地垫好用去正方形的地垫30块块. 你能算出每块地垫的你能算出每块地垫的边长是多少吗边长是多少吗？每块正方形地垫的面积是每块正方形地垫的面积是 10.830=0.36( (m2) ).即即 边长边长边长边长=0.36.由于由于 0.62=0.36， 因此面积为因此面积为0.36m2的正方形地垫的的正方形地垫的边长是边长是0.6m. 在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于给定的数等于给
2、定的数.由此我们抽象出下述概念：由此我们抽象出下述概念： 如果有一个数如果有一个数r，使得，使得r2=a，那么我们把，那么我们把r叫作叫作a的一个平方根，的一个平方根，也叫作二次方根也叫作二次方根.0.32=0.09结论结论 若若 r2= a，则，则 r 是是 a 的一个平方根的一个平方根.结论结论 例如，由于例如，由于22=4，因此，因此2是是4的一个平方根的一个平方根.探究探究 4的平方根除了的平方根除了2以外，还有其他的数吗？以外，还有其他的数吗？ 为什么为什么- -2也是也是4的平方根？的平方根？因为因为( (- -2) )2= 4，因此因此- -2也也是是4的一个平方根的一个平方根.
3、 除了除了2和和- -2以外，以外，4的平方根还有其他的数吗？的平方根还有其他的数吗？ 除了除了2和和- -2以外，以外，4的平方根还有其他的数吗？的平方根还有其他的数吗？ 因为边长大于因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于的正方形，它的面积一定大于4，所以，比所以，比2大的数都不是大的数都不是4的平方根的平方根.边长为边长为2边长为边长为4 边长小于边长小于2的正方形，它的面积一定小于的正方形，它的面积一定小于4，因此，因此，比比2小的正数都不是小的正数都不是4的平方根的平方根.边长为边长为2类似地，类似地， 由于由于( (- -b) )2=b2，因此，因此，- -2以外的负数都不是以外的
4、负数都不是4的平的平方根方根. 显然显然0不是不是4的平方根的平方根. 所以，所以，4的平方根有且只有两个：的平方根有且只有两个：2与与- -2. 如果如果r是正数是正数a的一个平方根，那么的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：的平方根有且只有两个：r与与- -r.结论结论 我们把我们把a的正平方根叫作的正平方根叫作a的的算术平方根算术平方根，记，记作作 ，读作，读作“根号根号a”； 这样，正数这样，正数a的平方根可以用的平方根可以用 “ ”来表来表示示. 把把a的负平方根记作的负平方根记作 ，读作，读作“负根号负根号a”. .例如，例如，4的平方根是的平方根是2与与- -2，即，即零的平
5、方根是多少零的平方根是多少？负数有平方根吗负数有平方根吗？说一说说一说 由于由于02=0，而非零数的平方不等于，而非零数的平方不等于0，因此，因此零零的平方根就是的平方根就是0本身本身. .我们把我们把0的平方根也叫作的平方根也叫作0的算的算术平方根，记作术平方根，记作 ，即即 . 由于同号两数相乘得正数，且由于同号两数相乘得正数，且02=0，即在迄，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此不会是负数，因此负数没有平方根负数没有平方根. 求一个非负数的平方根的运算，叫作求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方开平方. 开平方与平方
6、互为逆运算，根据这种关系，开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根可以求一个数的平方根.+1- -1+2- -2+3- -3149开平方开平方平方平方举举例例例例1 分别求下列各数的平方根：分别求下列各数的平方根： 36， ， 1.21.解解 由于由于62=36， 因此因此36的平方根是的平方根是6与与- -6.36是正数是正数（1）36 有两个平方根有两个平方根 即即解解（2） 由于由于 2= ，有两个平方根有两个平方根 因此因此 的平方根是的平方根是 与与 .解解 由于由于1.12=1.21，有两个平方根有两个平方根（3）1.21 因此因此1.21的平方根是的平方根是1.
7、1与与- -1.1.即即即即举举例例例例2 分别求下列各数的算术平方根：分别求下列各数的算术平方根： 100， ， 0.49.解解 由于由于102=100，（1）100 算术平方根就是正平方根算术平方根就是正平方根 因此因此 ；解解（2） 由于由于 2= ，算术平方根就是正平方根算术平方根就是正平方根.解解 由于由于0.72=0.49，算术平方根就是正平方根算术平方根就是正平方根.（3）0.49 因此因此 ； 因此因此 .练习练习1. 分别求分别求 64， ， 6.25 的的平方根平方根.解解 由于由于82=64 所以所以64的平方根是的平方根是8与与- -8.（1）64 由于由于 所以所以
8、的平方根是的平方根是 与与 .（2） 由于由于82.52=6.25 所以所以6.25的平方根是的平方根是2.5与与- -2.5.（3）6.252. 分别求分别求 81， ， 0.16 的的算术平方根算术平方根. 由于由于 因此因此 .（2） 解解 由于由于92=81 因此因此 .（1）81 由于由于0.42=0.16 因此因此 .（3）0.163. 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.正确正确.（4）( (- -4) )2的平方根是的平方根是- -4.（1） 是是 的一个平方根的一个平方根；（2） 是是6的算术平方根；的算术平方根；（3） 的值是的值是4； 正确正确.不正确不正确.不正确
9、，是不正确，是4.做一做做一做 将一个长为将一个长为4cm，宽为，宽为2cm的长方形纸片的长方形纸片剪拼成一个正方形剪拼成一个正方形. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗它的边长是整数吗？正方形的面积为正方形的面积为8cm2，由于由于22=4，32=9，又又489，且面积较大的正方形的边长也较大，且面积较大的正方形的边长也较大，因此面积为因此面积为8cm2的正方形的边长不是整数的正方形的边长不是整数. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗它的边长是整数吗？动脑筋动脑筋观察下列结果观察下列结果：
10、 2.82=7.84， 2.92=8.41； 2.822=7.9524 2.832=8.0089 2.8282=7.997584 2.8292=8.003241 从上述数据，你能猜出面积为从上述数据，你能猜出面积为8的正方形的边长的正方形的边长是多少吗是多少吗？ 面积为面积为8的正方形，它的的正方形，它的边长应该比边长应该比2.828大，比大，比2.829小，小，结论结论 由此猜想，面积为由此猜想，面积为8cm8cm2 2的正方形，它的边长是一个小的正方形，它的边长是一个小数点后面的位数可以不断增加的小数数点后面的位数可以不断增加的小数. . 事实上，我们可以说明这个边长不是分数，从而事实上，
11、我们可以说明这个边长不是分数，从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数这种小数叫作叫作无限不循环小数无限不循环小数. 我们把无限不循环小数叫作我们把无限不循环小数叫作无理数无理数.小提示 由于正方形的边长的平方等于它的面积，因由于正方形的边长的平方等于它的面积，因此面积为此面积为8cm2的正方形的边长可以记作的正方形的边长可以记作 cm. 从上述分析知道，从上述分析知道， 是一个是一个无限不循环小数无限不循环小数，即即 是一个是一个无理数无理数. 圆周率圆周率 ，也是一个无理数，也是一个无理数.与有理数一样，无理数也有正负之分，与有理数一样，无理数
12、也有正负之分， ， ，都是无理数都是无理数.例如，例如， ， ， 是正无理数，是正无理数， ， ， 是负无理数是负无理数. 根据实际需要，我们往往用一个有限小数来近根据实际需要，我们往往用一个有限小数来近似地表示一个无理数似地表示一个无理数. 例如例如 ，用四舍五入法，分别取，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，到小数点后面第二位，第三位，得到，得到 ， ，我们称，我们称3.14，3.142是是 的精确到小数的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值点后面第二位，第三位的近似值. 3.14，3.142，3.141 6，都是都是 的近似值，称它的近似值，称它们为近似数们为近似数. 利用
13、计算器可以求一个正数的算术平方利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值根或它的近似值.小提示 我们可以用计算器求一个正数我们可以用计算器求一个正数a的平方根，的平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入：其操作方法是按顺序进行按键输入：举举例例例例3 用计算器求下列各式的值用计算器求下列各式的值.1. 用计算器求下列各式的值：用计算器求下列各式的值：解解练习练习2. 面积为面积为6cm2的正方形，它的边长是多少的正方形，它的边长是多少？ 用计算器求边长的近似值用计算器求边长的近似值（精确到精确到0.001cm）？）？ 正方形的面积是正方形的面积是6cm2， 因此它的边长为因此它的边长为 c
14、m.解解用计算器计算用计算器计算 ：显示：显示2.4494897所以，所以，3. 用计算器分别求用计算器分别求 ， ， ， ， 的近的近 似值似值（精确到精确到0.001）. .解解中考中考 试题试题例例1 9的算术平方根是的算术平方根是（ ）. . A. .- -3 B.3 C. 3 D.81B解解 因为因为32=9，所以，所以9的算术平方根是的算术平方根是3. 即即 . . 故，应选择故，应选择B.中考中考 试题试题例例2 4的平方根是的平方根是 . .2解解 因为因为( (2) )2= 4，所以，所以4的平方根是的平方根是2. 即即 . . 故，答案是故，答案是2.中考中考 试题试题例例
15、3 若若2m- -4与与3m- -1是同一个数的平方根，则是同一个数的平方根，则m为为( ).( ). A.- -3 B.1 C.- -3或或1 D.- -1C解解 依题意，得依题意，得( (2m- -4) )+( (3m- -1) )=0, ,解之，得解之，得m=1. . 或或2m- -4=3m- -1. . 解之，得解之，得m=- -3.故，应选择故，应选择C. . 根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，即相反数，即( (2m- -4) )+( (3m- -1) )=0；而本题隐含一个条件，也就是说，；而本题隐含一个条件，也就是说，2m- -4与与3m- -1也可能是其中的一个平方根，即也可能是其中的一个平方根，即2m- -4=3m- -1.分析分析结结 束束
