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1、2.1.2等差数列的性质等差数列的性质学习目标学习目标1进进一一步步巩巩固固等等差差数数列列的的概概念念和和通通项项公公式式，掌握等差数列的性质和等差中项掌握等差数列的性质和等差中项2理解等差数列的公差与一次函数斜率的关理解等差数列的公差与一次函数斜率的关系系 课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练2.1.2等等差差数数列列的的性性质质课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基1数列数列an为等差数列为等差数列_2等差数列的通项公式等差数列的通项公式_ _an1and(常数常数)(nN)ana1(n1)d，(nN)知新益能知新益能1等差数列的项与序号的关系等差数
2、列的项与序号的关系两项关系两项关系多项关系多项关系通项公式的推广：通项公式的推广：anam_(m，nN)项的运算性质：项的运算性质：若若mnpq(m，n，p，qN)，则，则_apaqaman(nm)d等差数列等差数列前一项前一项后一项后一项3等差数列的性质等差数列的性质(1)若若an是公差为是公差为d的等差数列，则下列数列：的等差数列，则下列数列：can(c为任一常数为任一常数)是公差为是公差为_的等差数列的等差数列;can(c为任一常数为任一常数)是公差为是公差为_的等差数列的等差数列;anank(k为常数，为常数，kN)是公差为是公差为_ 的的等差数列；等差数列；数列数列anb(，b是常数
3、是常数)是公差为是公差为_的等差的等差数列；数列；cdd2dd下标成等差数列且公差为下标成等差数列且公差为m的项的项ak，akm，ak2m，(k，mN)组成公差为组成公差为_的等差的等差数列数列(2)若若an、bn分别是公差为分别是公差为d1、d2的等差数的等差数列，则数列列，则数列panqbn(p、q是常数是常数)是公差为是公差为_的等差数列；的等差数列；(3)若若an是有穷等差数列，则与首、末两项等是有穷等差数列，则与首、末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即即a1ana2an1aian1i;mdpd1qd2问题探究问题探究2能能否否
4、利利用用等等差差中中项项说说明明一一个个数数列列是是等等差差数数列？列？提示：提示：可以可以.2an1anan2(nN)an是是等差数列等差数列课堂互动讲练课堂互动讲练等差中项及其应用等差中项及其应用考点一考点一考点突破考点突破等差中项是等差数列中的一个重要概念，利用等差中项是等差数列中的一个重要概念，利用它不仅可以得到等差数列的一些重要性质，还它不仅可以得到等差数列的一些重要性质，还可以判定一个数列是否是等差数列可以判定一个数列是否是等差数列 已知已知a，b，c成等差数列，那么成等差数列，那么a2(bc),b2(ac)，c2(ab)是否构成等差数列是否构成等差数列【思路点拨】【思路点拨】从从
5、a，b，c成等差数列入手，成等差数列入手，在在2bac的作用下，是否有结果的作用下，是否有结果a2(bc)c2(ab)2b2(ac)例例例例1 1等差数列的性质在数列问题的研究中经常用到等差数列的性质在数列问题的研究中经常用到,而且它具有很强的灵活性，常用的等差数列的而且它具有很强的灵活性，常用的等差数列的性质如下：性质如下：(1)等差数列等差数列an中，若公差中，若公差d0，则数列为递，则数列为递增数列；若增数列；若d0，则数列为递减数列；若，则数列为递减数列；若d0,则数列为常数列则数列为常数列(2)等差数列等差数列an中，若中，若mnpq，则，则amanapaq.特例：若特例：若mn2p
6、，则，则aman2ap.等差数列性质的应用等差数列性质的应用考点二考点二考点二考点二 在等差数列在等差数列an中，中，(1)(2010年年高高考考全全国国卷卷改改编编)已已知知a3a4a512，求，求a1a2a7的值的值(2)(2010年年高高考考重重庆庆卷卷改改编编)已已知知a1a910，求求a5.【思路点拨】【思路点拨】利用等差数列的性质求解利用等差数列的性质求解例例例例2 2【解解】(1)由由等等差差数数列列的的性性质质知知，a3a4a53a412a44，a1a2a7(a1a7)(a2a6)(a3a5)a47a428.(2)依题意依题意a1a92a510，a55.【误误区区警警示示】在在
7、利利用用性性质质amanapaq (m，n，p，qN)时时，应应注注意意等等式式两两边边项项数数相同，例如相同，例如a7a3a10是不正确的是不正确的自我挑战自我挑战1在等差数列在等差数列an中，中，(1)已知已知a2a3a23a2448，求，求a13；(2)已知已知a2a3a4a534，a2a552，求公，求公差差d.解：法一：解：法一：(1)直接化成直接化成a1和和d的方程如下：的方程如下：(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48,即即4(a112d)48，4a1348，a1312.利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算一般地有如下
8、规律：当等差数列算一般地有如下规律：当等差数列an的项的项数数n为奇数时，可设中间一项为为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为，再用公差为d向两边分别设项：向两边分别设项：，a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数；当项数n为偶数时，可设中间为偶数时，可设中间两项为两项为ad，ad，再以公差为，再以公差为2d向两边分别向两边分别设项：设项：，a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量这样可减少计算量等差数列的运算等差数列的运算考点三考点三例例例例3 3 (1)若若三三个个数数成成等等差差数数列列，和和为为6，积积为为24，求这三个数；，求这三个数；(2)若若四四个个数数成成递递增增等等差差数
9、数列列，中中间间两两数数的的和和为为2，首、末两数的积为，首、末两数的积为8，求这四个数，求这四个数【思路点拨】【思路点拨】本题可以利用三个数和四个数本题可以利用三个数和四个数成等差数列设项技巧，也可以设出等差数列的成等差数列设项技巧，也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解首项与公差，建立基本量的方程组求解.【解】【解】(1)法一：设等差数列的等差中项为法一：设等差数列的等差中项为a,公差为公差为d，则这三个数依次为，则这三个数依次为ad，a，ad.依题意，依题意，3a6，且，且a(ad)(ad)24，所以所以a2，代入，代入a(ad)(ad)24，化简得化简得d216，于是，
10、于是d4.故所求的三个数依次为故所求的三个数依次为2,2,6或或6,2，2.法二：设首项为法二：设首项为a，公差为，公差为d，则这三个数分别为则这三个数分别为a，ad，a2d.依题意，依题意，3a3d6，且，且a(ad)(a2d)24,所以所以a2d，代入，代入a(ad)(a2d)24，得得2(2d)(2d)24,4d212，即即d216，于是，于是d4.故所求的三个数依次为故所求的三个数依次为2,2,6或或6,2，2.(2)法法一一：设设这这四四个个数数依依次次为为a3d，ad，ad，a3d(公公差差为为2d)依依题题意意，2a2，且且(a3d)(a3d)8，即即a1，a29d28，d21，
11、d1或或d1.【规律小结】【规律小结】三个数成等差数列，常设成三个数成等差数列，常设成ad，a，ad，公差为，公差为d；四个数成等差数列；四个数成等差数列,常设成常设成a3d，ad，ad，a3d，公差为，公差为2d；五个数成等差数列，常设成；五个数成等差数列，常设成a2d，ad, a，ad，a2d，公差为，公差为d.自我挑战自我挑战2若成等差数列的四个数之和为若成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为第二个数与第三个数之积为40，求这四个数，求这四个数.方法感悟方法感悟2等差数列的性质等差数列的性质熟练掌握并灵活应用等差数列的性质解决问题，熟练掌握并灵活应用等差数列的性质解决问题，能起到事半功倍的效果，常用的性质有：能起到事半功倍的效果，常用的性质有：(1)若若an为等差数列，且为等差数列，且klmn(k，l，m,nN)，则，则akalaman；(2)下标构成等差数列的项，按照原来的顺序下标构成等差数列的项，按照原来的顺序也构成等差数列，即若也构成等差数列，即若an为等差数列，下标为等差数列，下标为等差数列且公差为为等差数列且公差为m的项：的项：ak，akm，ak2m，(k，mN)组成公差为组成公差为md的等差数列的等差数列.
