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1、流动场的质量守恒：流动场的质量守恒：连续性方程连续性方程流动场的动量守恒：流动场的动量守恒：N-S方程方程流动场的能量守恒：流动场的能量守恒：能量守恒方程能量守恒方程本构方程及其基本性质本构方程及其基本性质流变学基本方程的坐标变换流变学基本方程的坐标变换 4 流变学基础方程式流变学基础方程式 哈密尔顿算子哈密尔顿算子 (Hamilton operator)： 矢量场的散度矢量场的散度(divergence): 任一点通过所包围界面的通量任一点通过所包围界面的通量, 并除以此微元体积并除以此微元体积4.1 基础知识基础知识 具有微分和矢量双重运算的算子具有微分和矢量双重运算的算子直角坐标系中的表
2、达式：直角坐标系中的表达式：标量场的梯度标量场的梯度(gradient)： 矢量场的旋度矢量场的旋度(curl): 矢量场中任一点在任一方向上的环量密度矢量场中任一点在任一方向上的环量密度 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace) 算子：算子： 如：如：随体导数随体导数( (物质导数，拉格朗日导数物质导数，拉格朗日导数) )将流体中质点携带的物理量随时间的变化率用将流体中质点携带的物理量随时间的变化率用 表示。表示。在欧拉描述中任意物理量在欧拉描述中任意物理量F F的随体导数是：的随体导数是：F(x,t)F(x+ x,t+ t) 随体导数的运算用以下算符表示随体导数的运算用以下算符表示：度规张量度规
3、张量 设空间两点设空间两点O和和P之间的微分距离为之间的微分距离为 ds，此距离实际上是，此距离实际上是一个数量不变量，即它与用以描述一个数量不变量，即它与用以描述O和和P点的坐标系无关。点的坐标系无关。 考虑直角坐标系，其分量为考虑直角坐标系，其分量为 变换到一个任意的第二个含有变换到一个任意的第二个含有 的坐标系中，则得：的坐标系中，则得：笛卡尔直角坐标系：笛卡尔直角坐标系：柱坐标系：柱坐标系：球坐标系：球坐标系：gmn 是一个二阶张力的协变分量，是一个对称张量是一个二阶张力的协变分量，是一个对称张量, 张量张量 g 即被定义为即被定义为x坐标系的度规张量。坐标系的度规张量。4.2 连续性
4、连续性(质量守恒质量守恒)方程方程微体积元微体积元穿越右垂直面的质量通量为：穿越右垂直面的质量通量为：质量在微体积元内可能的积累速率：质量在微体积元内可能的积累速率：根据质量守恒定律，有：根据质量守恒定律，有：指标记法：指标记法：介质流动是稳态的：介质流动是稳态的：不可压缩流体：不可压缩流体：向量形式：向量形式：全微分形式：全微分形式： 随时间的变化随时间的变化 随空间的变化随空间的变化4.3 运动方程运动方程 (N-S方程、动量方程方程、动量方程)动量守恒原理在流体运动中的表现形式动量守恒原理在流体运动中的表现形式理想流体理想流体：对于黏性流体，表面力包括法向压应力和与作用面平行的对于黏性流
5、体，表面力包括法向压应力和与作用面平行的剪切应力剪切应力4.4 能量方程能量方程普遍形式：普遍形式：物理意义：物理意义：展开上式展开上式 (1) 单位时间内流动场某一点因温度变化而引起的热量变化单位时间内流动场某一点因温度变化而引起的热量变化 (2) 随空间位置变化而引起的温度及相应能量的变化随空间位置变化而引起的温度及相应能量的变化 (3) 随随T变化而引起胀或缩的能量变化变化而引起胀或缩的能量变化 (4) 机械应力作用于流体引起的机械应力作用于流体引起的T的变化及相应的摩擦黏性效应的变化及相应的摩擦黏性效应对于不可压缩流体对于不可压缩流体 ，则有，则有当黏度很小时：当黏度很小时：4.4 流
6、变状态方程流变状态方程 (本构方程本构方程)n物料分类和物料分类和Deborah数数 Deborah数：数：tm流体记忆的持续时间流体记忆的持续时间tp 流动系统的特征时间流动系统的特征时间 松弛时间松弛时间 黏性流体黏性流体黏弹性流体黏弹性流体弹性固体弹性固体对同一物体，随对同一物体，随NDe的的不同，呈现不同的力学行为不同，呈现不同的力学行为本构方程的性质本构方程的性质本构方程本构方程：应当反映应力：应当反映应力应变的本质联系应变的本质联系应具有以下性质：应具有以下性质：(1) 不依赖于坐标系的选择，应以张量表示；不依赖于坐标系的选择，应以张量表示；(2) 决定性原理决定性原理现时刻的应力
7、应由物料每一点从现时刻的应力应由物料每一点从- 时刻至时刻至 现在的全部形变所决定。现在的全部形变所决定。(3) 局部作用原理局部作用原理忽略远程作用忽略远程作用(应力是远程作用应力是远程作用)，分子间，分子间 为近程作用；质点为近程作用；质点P的应力仅由质点的无限小的应力仅由质点的无限小 邻域内从邻域内从- 到到t的全部形变所决定。的全部形变所决定。(4) 客观性原理客观性原理本构方程表达的关系应与观察者位置无关。本构方程表达的关系应与观察者位置无关。 (1) 连续性方程连续性方程对于正交曲线坐标系：对于正交曲线坐标系：4.5 流变学基本方程的坐标变换流变学基本方程的坐标变换将所有方程都以张
8、量表示，使变换关系普遍化将所有方程都以张量表示，使变换关系普遍化逆变分量逆变分量 a. 笛卡尔直角坐标系笛卡尔直角坐标系 b. 柱面坐标系柱面坐标系c. 球坐标系球坐标系(2) 运动方程运动方程 正交坐标系下的运动微分方程：正交坐标系下的运动微分方程： 柱坐标时，上式变为：柱坐标时，上式变为：由于由于： (3) 流变状态方程流变状态方程主应力主应力- -应变速率关系式：应变速率关系式： a. 直角坐标系直角坐标系 b. 柱坐标系柱坐标系, , 其中其中在柱坐标系中：在柱坐标系中：剪切应力剪切应力- -应变速率关系的变换应变速率关系的变换 a. 直角坐标系直角坐标系 b. 柱坐标系柱坐标系c. 球坐标系球坐标系
