第一部分线代数

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1、第一章线性代数第一章线性代数第一章线性代数n元线性方程组与矩阵1n元线性方程组与矩阵1n元线性方程组与矩阵1矩阵的运算2n元线性方程组与矩阵1线性方程组的一般理论3第一章线性代数1. 了解矩阵及阶梯矩阵的概念,掌握矩阵的运算法则;2. 掌握逆矩阵、矩阵秩的求法及矩阵的初等行变换；3. 会用矩阵的初等行变换求出线性方程组的全部解。 1学习目标【经济问题1-1】 你知道A、B、C三家公司本年投资收益是多少吗？假设A、B、C三家股份公司交叉持股如图1-1所示。即：A公司持有B公司24%的股份，B公司持有C公司35%的股份，C公司持有A公司的25%的股份；C公司持有B公司22%的股份，B公司持有A公司

2、的20%的股份。若已知2007年A、B、C三家公司独立的营业净利润（税后）分别为100万、85万、60万。试求各公司本年投资收益与本年净利润。（本年净利润=营业净利润+投资收益） A A 公司公司B B 公司公司C C 公司公司55 %55 %24%24%54%22%22%65%65%20%20%25%25%35%35%100100万万8585万万6060万万第一章线性代数投资收益投资收益= =被投资单位的年净利润被投资单位的年净利润投资企业的股权投资企业的股权【经济问题经济问题1-11-1】设设 , , , , 为为A,B,CA,B,C公司本年投公司本年投资收益资收益, ,则各公司的本年投资

3、收益由下列方程求解得到：则各公司的本年投资收益由下列方程求解得到： 称这个方程组为称这个方程组为三元线性方程组三元线性方程组第一节 n元线性方程组与矩阵一、n元线性方程组设有m个方程，n个未知元组成的线性方程组称为n n元线性方程组元线性方程组.若，则称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组;否则，称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组。第一节 n元线性方程组与矩阵二、矩阵定义定义1 11 1由个数（ ； ），排成的m行n列的矩形数表称为阶矩阵阶矩阵,记为第一节 n元线性方程组与矩阵将n元线性方程组的系数按原来的顺序排列构成的矩阵称为方程组的系数矩阵系数矩阵 称为线性方程组的增广矩阵增广矩阵。 第

4、一节 n元线性方程组与矩阵 一般地，行数、列数都是n的矩阵，称为n阶方阵阶方阵，简称方阵方阵。如：次对角线次对角线主对角线主对角线第一节 n元线性方程组与矩阵几种特殊类型的矩阵：（1）零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作或 ；如： 第一节 n元线性方程组与矩阵几种特殊类型的矩阵：（2）单位矩阵：主对角线上元素全为1，其余元素全为零的方阵称为单位矩阵，一般用或表示；如： 第一节 n元线性方程组与矩阵几种特殊类型的矩阵：（3）对称矩阵：关于主对角线对称的元素相等的方阵称为对称矩阵；如：第一节 n元线性方程组与矩阵几种特殊类型的矩阵：（4）反对称矩阵：关于主对角线对称的元素互为相反数，且主对

5、角线上的元素为0的方阵称为反对称矩阵；如：第一节 n元线性方程组与矩阵几种特殊类型的矩阵：（5）转置矩阵：设矩阵 是 阶矩阵，把矩阵A的行与列按顺序互换后得到的阶矩阵 ，称为矩阵A的转置矩阵，记作 。 例如， 。第一节 n元线性方程组与矩阵定理12 A为对称矩阵的充要条件是 ； A为反对称矩阵的充要条件是 。第一节 n元线性方程组与矩阵三、矩阵的初等变换与秩第2个方程乘数（ ）第2行乘数（ ）将第2行乘数（2）加到第1行第2个方程乘数（2）加到第1个方程将第1行乘数（2）加到第2行 第1个方程乘数（2）加到第2个方程将的第1行与第2行互换 将第1个方程与第2个方程互换 初等行变换过程增广矩阵消

6、元过程线性方程组第一节 n元线性方程组与矩阵定义12矩阵的初等行变换：（1）换行变换：矩阵某两行（列）互换位置，记作 （ ）；（2）倍乘变换：以非零数 乘矩阵某一行（列）的所有元素，记作 （ ）；（3）倍加变换：把矩阵某一行（列）所有的元素乘同一数 加到另一行（列）对应的元素上去，（）。第一节 n元线性方程组与矩阵定义13矩阵中每一行第一个非零元素（称为该行的首非零元）必在上一行首非零元的右下方，称该矩阵为阶梯形矩阵，简称阶梯矩阵。第一节 n元线性方程组与矩阵如果阶梯矩阵非零行的首非零元素都是1 ，并且这一列的其余元素都是零，那么该矩阵被称为行简化阶梯矩阵。第一节 n元线性方程组与矩阵定理11

7、 （1）矩阵A经过一系列初等行变换后必可化为阶梯矩阵；（2）阶梯矩阵经过一系列初等行变换后必可化为行简化阶梯矩阵。第一节 n元线性方程组与矩阵例1 将矩阵 化为行简化阶梯形矩阵.第一节 n元线性方程组与矩阵矩阵的秩:阶梯形矩阵非零行的行数，称为矩阵的秩， 记作 。例例2 2求矩阵 的秩。所以第二节矩阵的运算一、矩阵的加法与数乘定义14设矩阵与矩阵都是阶矩阵，称矩阵为矩阵A与B的和（差）矩阵。记为 ，即 第二节矩阵的运算定义15设矩阵 是 阶矩阵， 为常数，以数 乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵 ,称为数 与矩阵A的数乘矩阵。记作 ，即 。例例3 3设 ， 求 ， 。第二节矩阵的运算第二节矩阵的

8、运算 矩阵的加法满足以下运算规律：第二节矩阵的运算矩阵的数乘运算满足下列运算规律： ； ；其中k与l是常数。 第二节矩阵的运算例4设 ， 且 ；求。 解：第二节矩阵的运算二、矩阵的乘法定义16设矩阵是阶矩阵，矩阵 是阶矩阵，称则矩阵是矩阵与矩阵 的乘积矩阵，记为。其中：(i=1,2,m ;j=1,2,p) 第二节矩阵的运算例5设，求，和。第二节矩阵的运算矩阵乘法不满足交换律。第二节矩阵的运算矩阵乘法不满足消去律。矩阵乘法不满足消去律。第二节矩阵的运算，求 。例6 设，解 矩阵乘法不满足非零性。矩阵乘法不满足非零性。或或第二节矩阵的运算，。例7设，求，解由得：第二节矩阵的运算矩阵的乘法满足下列运

9、算规律：；（其中为常数），；第二节矩阵的运算元线性方程组根据矩阵的乘法，其中为线可以非常简单地表示为矩阵方程性方程组的系数矩阵， ，第二节矩阵的运算三、逆矩阵定义17设矩阵是阶方阵，如果存在阶方阵，使得，则称矩阵可逆，并称是的逆矩阵。记为 ，即 。可逆矩阵也称非奇异矩阵。 第二节矩阵的运算例例8 8矩阵，试证矩阵是A的逆矩阵 所以矩阵可逆，显然，与互为逆矩阵。， 证：因为是A的逆矩阵第二节矩阵的运算逆矩阵有如下性质：性质性质1 1如果矩阵A 是可逆，则A 的逆矩阵是惟一的。可逆，则其逆矩阵也可逆，且性质性质2 2如果矩阵A。 性质性质3 3如果与均为阶可逆矩阵，则其乘积矩阵也可逆，且。性质性质

10、4 4如果矩阵A可逆,则其转置矩阵也可逆，且。性质性质5 5如果矩阵可逆，数,则其数乘矩阵也可逆,且。第二节矩阵的运算定理定理1313阶矩阵可逆的充分必要条件为。定理定理1414阶可逆矩阵 经过一系列的初等行变换，阶单位矩阵；同时对阶单位作同样的初等行变换，所得的。化成矩阵必可逆矩阵到的矩阵即为第二节矩阵的运算例例99 求求的逆矩阵。解解第二节矩阵的运算所以。第二节矩阵的运算解解例7中的矩阵方程,其中，易知。方程组的解为。例例10 10 用逆矩阵求解线性方程组。第三节线性方程组的一般理论一、非齐次线性方程组的一般理论一、非齐次线性方程组的一般理论分别是与元非齐次线性方程组定理定理1515设（）

11、的系数矩阵和增广矩阵，则，则方程组无解； 若，则方程组有解。且当时，方程组有惟一解；当时，方程组有个任意常数。 若无穷多个解，且通解一定含有第三节线性方程组的一般理论例例11 解线性方程组。解解对线性方程组的增广矩阵作初等行变换：第三节线性方程组的一般理论所以方程组的解为。因为，方程组有唯一解。 第三节线性方程组的一般理论解【经济问题1-1】中的线性方程组解解第三节线性方程组的一般理论第三节线性方程组的一般理论故：（1）、 、 三家股份公司本年投资收益分别约为：元 ； 元 ； 元、 、1000000+378762=1378762（元）850000+728175.1=1578175.1（元）65

12、0000+691972.1=1341972.1（元）（2）三家股份公司本年净利润分别约为：第三节线性方程组的一般理论例12解线性方程组解解第三节线性方程组的一般理论（其中，为任意常数）上式中的可以任意取值（我们称有无穷多个解。其解可以表示为：为自由变量，可以任意取值），因此该线性方程组第三节线性方程组的一般理论线性方程组求解的一般步骤：化为阶梯矩阵，如果 用初等行变换把增广矩阵，则线性方程组无解；否则，转入下一步。 再用初等行变换把所得的阶梯矩阵化为行简化矩阵。 根据所得行简化阶梯矩阵得到一个与原线性方程组同解的线性方程组。，得到惟一解；如果，得到个任意常数的一般解。 如果含有第三节线性方程组

13、的一般理论二、齐次线性方程组的一般理论二、齐次线性方程组的一般理论是:定理定理1616齐次线性方程组有非零解的充分必要条件推论推论当齐次线性方程组中的方程个数小于未知元）时一定有非零解。的个数（即第三节线性方程组的一般理论例例13 13 判定取何值时，齐次线性方程组有非零解。可见，当时，有，所以，当时，该齐次线性方程组有非零解。 解解用初等行变换化系数矩阵：第三节线性方程组的一般理论权益法与成本法 知识应用链接知识应用链接 权益法与成本法权益法与成本法是长期股权投资的核算方法。其中权益法权益法适用于企业对被投资单位具有共同控制（一般企业所持被投资单位的股份在20%以上）或具有重大影响的长期股权投资。成本法成本法适用于企业能够对被投资单位实施控制（即：子公司）或不具有控制、共同控制及重大影响，且在活跃市场中没有报价、公允值不能可靠计量的长期股权投资。