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1、1.如果直线如果直线l与平面与平面内的内的 直线都垂直线都垂直，我们就说直线直，我们就说直线l与平面与平面互相垂直，记作互相垂直，记作 .直线直线l叫做叫做 ，平面，平面叫做叫做 .直线与平面垂直时，它们唯一的公共点直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做叫做 .2.一条直线与一个平面内的一条直线与一个平面内的 都垂都垂直，则该直线与此平面垂直直，则该直线与此平面垂直.这个定理叫做直线与平这个定理叫做直线与平面垂直的面垂直的 ，用符号表示为：，用符号表示为： a b ab=O l. la lbl的垂线的垂线直线直线l的垂面的垂面垂足垂足两条相交直线两条相交直线判定定理判定定理3.3.一条直线一
2、条直线PAPA和一个平面和一个平面相交，但不和这个平面相交，但不和这个平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A A叫做叫做 . .过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线POPO，过垂足，过垂足O O和斜足和斜足A A的直线的直线AOAO叫做斜线在这个平面上叫做斜线在这个平面上的射影的射影. .平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ，叫做这条直线和这个平面所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. .一条直线垂直于一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线
3、和平面平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或平行，或 ，我们说它们所成的角是，我们说它们所成的角是00的角的角. .垂直垂直斜足斜足锐角锐角在平面内在平面内4.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 .这条直线叫做这条直线叫做 ，这两个半平面叫做，这两个半平面叫做 .棱为棱为l，面分别为，面分别为,的二面角记作二面角的二面角记作二面角l.在在二面角二面角l的棱的棱l上任取一点上任取一点O，以点，以点O为垂足，为垂足，在半平面在半平面和和内分别作垂直于棱内分别作垂直于棱l的射线的射线OA和和OB，则射线则射线OA和和OB构成的构成的A
4、OB叫做叫做 .二面角的大小可以用它的二面角的大小可以用它的 来度量，二来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是平面角是 的二面角叫做直二面角的二面角叫做直二面角.一般地，两个平面相交，一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面面 .互相垂直互相垂直二面角二面角二面角的棱二面角的棱二面角的面二面角的面二面角的平面角二面角的平面角平面角平面角直角直角5.一个平面过另一个平面的一个平面过另一个平面的 ，则这两，则这两个平面垂直个平面垂直.这个定理叫做两个平面互相
5、垂直的这个定理叫做两个平面互相垂直的 ，用符号表示为：，用符号表示为： l l.判定定理判定定理垂线垂线学点一学点一 线面垂直的判定线面垂直的判定如图如图2-4-2所示，三棱锥所示，三棱锥SABC中，中，SB=AB，SC=AC，作，作ADBC于于D，SHAD于于H， 求求证：证：SH平面平面ABC.图图2-4-2【分析分析】考查线面垂直的判定定理考查线面垂直的判定定理.【证明证明】取取SA的中点的中点E， 连接连接EC，EB.SB=AB,SC=AC,SABE,SACE.又又CEBE=E,SA平面平面BCE.BC平面平面BCE，返回目录返回目录SABC.又又ADBC,ADAS=A,BC平面平面S
6、AD.SH平面平面SAD，SHBC.又又SHAD,ADBC=D,SH平面平面ABC.【评析评析】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过作辅助平面，找到所需要的另一条直线作辅助平面，找到所需要的另一条直线.在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，AB=AD，BC=CD. 求证：求证：BDAC.如图，取如图，取BD的中点的中点K，连接，连接AK，CK.AB=AD,K为为BD中点，中点，AKBD.同理同理CKBD.AKKC=K,BD平面平面AKC.AC平面平面AK
7、C，BDAC.学点二学点二 直线与平面所成的角直线与平面所成的角在正四面体在正四面体ABCD中，中，E为为AD的中点，求的中点，求CE与与底面底面BCD所成角的正弦值所成角的正弦值.【分析分析】如图如图2-4-3所示，要求所示，要求CE与底面与底面BCD所成角的正弦值，首所成角的正弦值，首先要作出该角，其次应将其放在先要作出该角，其次应将其放在直角三角形内求解，所以应过直角三角形内求解，所以应过E作作底面的垂线底面的垂线.此时垂足所在位置特此时垂足所在位置特别关键别关键.由由ABCD为正四面体，为正四面体，那么那么E在底面在底面BCD的垂足必在的垂足必在BDC的角平分线上，连接的角平分线上，连
8、接CF，根据条件找出边长即可根据条件找出边长即可.图图2-4-3【解析解析】如图如图2-4-4所示，作所示，作AO面面BCD，O为垂足，连接为垂足，连接DO并延长和并延长和BC交于交于G，则，则G为为BC的中点的中点.DGBC.又又AOBC，BC面面ADG.作作EFDG,F为垂足，则为垂足，则BCEF,EF面面BCD.连接连接FC，则，则ECF是斜线是斜线CE与与平面平面BCD所成的角所成的角.图图2-4-4设正四面体的棱长为设正四面体的棱长为a，则则AO= .故故EF= AO= .又又CE= ,sinECF= .即即CE与底面与底面BCD所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .【评析评析】求平面
9、的斜线与平面所成的角的一般方法是：求平面的斜线与平面所成的角的一般方法是：在斜线上找一具有特殊性的点，过该点向平面作垂线，在斜线上找一具有特殊性的点，过该点向平面作垂线，连接垂足和斜足，即为斜线在平面上的射影，进而作出连接垂足和斜足，即为斜线在平面上的射影，进而作出斜线与平面所成的角，再解直角三角形求出线面角的大斜线与平面所成的角，再解直角三角形求出线面角的大小，同时要注意其取值范围小，同时要注意其取值范围.在三棱锥在三棱锥OABC中，三条棱中，三条棱OA，OB，OC两两两两互相垂直，且互相垂直，且OA=OB=OC，M是是AB边的中点，则边的中点，则OM与平面与平面ABC所成角的正切值是所成角
10、的正切值是 .（如图，连接（如图，连接MC，则，则OMC为所求为所求.在在RtOMC中，中，OM= OA，则则tanOMC= = .）学点三学点三 面面垂直的判定面面垂直的判定如图如图1-10-31-10-3所示，过点所示，过点S S引三条不引三条不共面的直线，使共面的直线，使BSC=90BSC=90，ASB=ASC=60ASB=ASC=60，若截取，若截取SA=SB=SC.SA=SB=SC.求证：平面求证：平面ABCABC平面平面BSC.BSC.【分析分析】欲证面面垂直，需证线面垂直欲证面面垂直，需证线面垂直. .故找出垂线是关键故找出垂线是关键. .【证明证明】证法一：如图证法一：如图1-
11、10-41-10-4所示所示, ,取取BCBC的中点的中点D D，连，连接接ADAD，SD.SD.由题意知由题意知ASBASB与与ASCASC是等边三角形，则是等边三角形，则AB=ACAB=AC，ADBC,SDBC.ADBC,SDBC.令令SA=a,SA=a,在在SBCSBC中，中，SD= a,SD= a,又又AD= = a,AD= = a,ADAD2 2+SD+SD2 2=SA=SA2 2, ,即即ADSD.ADSD.又又ADBCADBC，ADAD平面平面SBC.SBC.ADAD平面平面ABCABC，平面平面ABCABC平面平面SBC.SBC.证法二证法二：SA=SB=SC=a,SA=SB=
12、SC=a,又又ASB=ASC=60,ASB=ASC=60,ASB,ASCASB,ASC都是等边三角形都是等边三角形. .AB=AC=a.AB=AC=a.作作ADAD平面平面BSCBSC于点于点D D，AB=AC=AS,AB=AC=AS,DD为为BSCBSC的外心的外心. .又又BSCBSC是以是以BCBC为斜边的直角三角形，为斜边的直角三角形，D D为为BCBC的中点，的中点，故故ADAD平面平面ABC.ABC.平面平面ABCABC平面平面SBC.SBC.【评析评析】证明面面垂直有两个途径：一是定义，二是证明面面垂直有两个途径：一是定义，二是证明线面垂直证明线面垂直. .两者都是通过线线垂直来
13、完成两者都是通过线线垂直来完成. .如果题如果题目中给出了线段长度、角度等条件，可考虑用勾股定目中给出了线段长度、角度等条件，可考虑用勾股定理证线线垂直，所以空间问题平面化是解决立体几何理证线线垂直，所以空间问题平面化是解决立体几何问题的重要思想问题的重要思想. .证明：证明：取取BDBD的中点的中点E E，连接，连接AEAE，CE.CE.则则AEBD,BDCE.AEBD,BDCE.在在ABDABD中，中，AB=a,BE= BD= ,AB=a,BE= BD= ,AE= ,AE= ,同理同理,CE= .,CE= .在在AECAEC中，中，AE=EC= ,AC=a,AE=EC= ,AC=a,ACA
14、C2 2=AE=AE2 2+EC+EC2 2，即，即AEEC.AEEC.BDEC=E,AEBDEC=E,AE平面平面BCD.BCD.又又AEAE平面平面ABDABD，平面平面ABDABD平面平面BCD.BCD.如图如图1-10-51-10-5所示，在四面体所示，在四面体ABCDABCD中，中，BD= a, BD= a, AB=AD=BC=CD=AC=a.AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面求证：平面ABDABD平面平面BCD.BCD.学点四学点四 二面角大小的求法二面角大小的求法如图如图2-4-8所示，在长方体所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=2，BC=BB1=1，E
15、为为D1C1的中点，求二面角的中点，求二面角EBDC的正切值的正切值.【分析分析】求二面角大小，关键作出求二面角大小，关键作出二面角的平面角二面角的平面角.由于由于E在平面在平面DCC1D1内且平面内且平面DCC1D1平面平面BCD，因此易作出平面角，因此易作出平面角.图图2-4-8【解析解析】如图如图2-4-9所示，所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，是长方体，图图2-4-9过过E作作EFCD于于F，则，则EF面面BCD，且，且F为为CD中点，中点，过过F作作FGBD于于G，连接，连接EG，则，则EGBD.于是于是EGF为二面为二面角角EBDC的平面角的平面角.BC=1，CD=2，GF=
16、 ,而而EF=1，在，在EFG中，中，tanEGF= .所求二面角的正切值为所求二面角的正切值为5.【评析评析】二面角的二面角的“作、证、求作、证、求”是解决二面角的是解决二面角的必由之路，二面角的平面角的作法是解决问题的关必由之路，二面角的平面角的作法是解决问题的关键，二面角的平面角的作法通常有：键，二面角的平面角的作法通常有：（1）定义法：在棱上任取一适宜点，分别在二面角）定义法：在棱上任取一适宜点，分别在二面角两半平面内作棱的垂线两半平面内作棱的垂线.（2）垂面法：过一点作棱的垂面，交线所成角即为）垂面法：过一点作棱的垂面，交线所成角即为平面角平面角.（3）投影法：利用）投影法：利用S投
17、影面投影面=S被投影面被投影面cos.（4）对无棱二面角一般通过在两个面内寻找共面直）对无棱二面角一般通过在两个面内寻找共面直线，作出棱线，作出棱.已知正四棱锥的体积为已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面对角线的长为26，则，则侧面与底面所成的二面角等于侧面与底面所成的二面角等于 .（设（设O为底面为底面ABCD的中心，的中心，E为为BC边边的中点，则的中点，则PEO即为侧面与底面所成即为侧面与底面所成二面角的平面角，二面角的平面角，底面对角线的长为底面对角线的长为2 ，底面边长为底面边长为2 .又又V= Sh=12.OE= ,高高OP=3，tanPEO= =3.PEO= .即侧面
18、与底面所成的二面角为即侧面与底面所成的二面角为 ）1.怎样理解线面垂直的判定定理？怎样理解线面垂直的判定定理？直线和平面垂直的判定定理，应抓住直线和平面垂直的判定定理，应抓住“两条两条”和和“相相交交”这两个关键词语这两个关键词语.要判断一条已知直线和一个平面要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这平面内能否找出两条相交直线是否垂直，取决于在这平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的线有公共点，是无关紧要的.2.怎样理解直线和平面所成的角？怎样理解直线和平面所成的角？直线和平面所成的角
19、问题中主要是斜线和平面所成角直线和平面所成的角问题中主要是斜线和平面所成角问题问题.斜线和平面所成角的定义中给出了求解斜线和平斜线和平面所成角的定义中给出了求解斜线和平面所成角的步骤：面所成角的步骤：确定斜线和平面的交点（即斜足）；确定斜线和平面的交点（即斜足）；经过斜线上除斜足以外的任意一点作平面的垂线，经过斜线上除斜足以外的任意一点作平面的垂线，从而确定斜线的射影；从而确定斜线的射影；由垂线段、斜线段及其射影构成的直角三角形，由垂线段、斜线段及其射影构成的直角三角形，通过解此三角形，得到斜线和平面所成的角，同通过解此三角形，得到斜线和平面所成的角，同时要注意直线和平面所成角的范围时要注意直
20、线和平面所成角的范围.在求解斜线和平面所成角的过程中，确定点在直线上在求解斜线和平面所成角的过程中，确定点在直线上或平面上的射影是关键，确定点在平面上射影位置有或平面上的射影是关键，确定点在平面上射影位置有以下几种方法：以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面上斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面上的射影上；的射影上；利用垂直关系得出线面垂直，确定射影利用垂直关系得出线面垂直，确定射影.3.如何用两平面垂直的定义证明平面与平面垂直如何用两平面垂直的定义证明平面与平面垂直?两平面垂直实际上是由直线与平面垂直和线线垂直来定两平面垂直实际上是由直线与平面垂直和线线垂直来定义的，
21、利用这个定义可直接证明两平面垂直，其步骤为：义的，利用这个定义可直接证明两平面垂直，其步骤为：（1）找到两个相交平面）找到两个相交平面,的交线的交线a及这两个平面与第及这两个平面与第三个平面三个平面相交所得到的两条交线相交所得到的两条交线b,c;（2）证明）证明a,bc;（3）根据定义，得到）根据定义，得到.4.在二面角的学习中应注意什么问题在二面角的学习中应注意什么问题?（1）二面角的平面角的概念应注意强调）二面角的平面角的概念应注意强调:顶点在二面角顶点在二面角的棱上的棱上,两条边分别在二面角的两个面内两条边分别在二面角的两个面内,且这两条边都且这两条边都垂直于二面角的棱垂直于二面角的棱,
22、这样选取的角的大小与角的位置的这样选取的角的大小与角的位置的选取无关选取无关.返回目录返回目录(2)画二面角的平面角时画二面角的平面角时,使平面角的两边分别平行于使平面角的两边分别平行于表示两个半平面的平行四边形的一组对边表示两个半平面的平行四边形的一组对边,即表明垂即表明垂直于二面角的棱直于二面角的棱,平面角平面角AOB的大小与的大小与D点的位置点的位置无关无关.(3)二面角的计算方法二面角的计算方法:定义定义.作二面角的平面角作二面角的平面角在棱上取一点在棱上取一点,分别在两分别在两个面内作棱的垂线个面内作棱的垂线,这两条射线组成二面角的平面角这两条射线组成二面角的平面角.利利用定义作二面
23、角的平面角用定义作二面角的平面角,关键在于找棱及棱上的特殊点关键在于找棱及棱上的特殊点.学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用.用垂面法用垂面法.作二面角的平面角作二面角的平面角作垂直于二面角的棱作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面或二面角的两个半平面的垂面,则该垂面与二面角的两个则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角半平面交线所成的角就是二面角的平面角.1.1.直线与直线垂直直线与直线垂直两直线垂直是指它们的交角或平移后的交角为直角，两条两直线垂直是指它们的交角或平移后的交角为直角，两条直线不一定相交直线不一定相交. .在
24、平面几何中，两直线垂直时，它们一定相交在平面几何中，两直线垂直时，它们一定相交. .2.2.直线和平面垂直直线和平面垂直（1 1）直线和平面垂直的定义可以用来判定线线垂直，即）直线和平面垂直的定义可以用来判定线线垂直，即当直线和平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何当直线和平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线，可以把它作为线线垂直的判定定理直线，可以把它作为线线垂直的判定定理. .（2 2）要判定一条直线是否和一个平面垂直，取决于在这）要判定一条直线是否和一个平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两
25、条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要. . （3 3）教材中例）教材中例1 1可以作为结论使用：可以作为结论使用：过一点和已知平面垂直的直线只有一条过一点和已知平面垂直的直线只有一条. .（4 4）如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直）如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，可作为两直线平行的一种判定方法线平行，可作为两直线平行的一种判定方法. .3.3.（1 1）线面垂直的定义中的）线面垂直的定义中的“任何一条直线任何一条直线”这一这一词语，它与词语，它与“所有直线所有直线”是同义词，即直线和平面内是同义词，即直线和平面内的所
26、有直线垂直的所有直线垂直. .（2 2）线面垂直的判定定理的条件中，）线面垂直的判定定理的条件中，“平面内的两平面内的两条相交直线条相交直线”是关键性词语，证明时一定要明确指出，是关键性词语，证明时一定要明确指出，弄清定理的条件是掌握好定理的关键弄清定理的条件是掌握好定理的关键. .（3 3）转化思想在本学案中的应用）转化思想在本学案中的应用: :线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直. .在转化时要弄清相互转化的条件，根据具体问题灵活在转化时要弄清相互转化的条件，根据具体问题灵活选取恰当的证明方法选取恰当的证明方法. .4.证面面垂直的方法：证面面垂直的方法：（）证明两平面构成的二面角的平面角为
27、（）证明两平面构成的二面角的平面角为90.（）证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将（）证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将证明证明“面面垂直面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题的问题转化为证明线面垂直的问题.(3)证明一个平面垂直于另一个平面内的一条直线，将证明一个平面垂直于另一个平面内的一条直线，将证明证明“面面垂直面面垂直”的问题转化为证明的问题转化为证明“线面垂直线面垂直”的的问题问题.5.空间中角的概念及计算是立体几何的重要内容，求空间中角的概念及计算是立体几何的重要内容，求角的步骤是：角的步骤是：（1）找出或作出有关的图形；）找出或作出有关的图形；（2）证明它符合定义；）证明它符合定义；（3）计算）计算.即即“一作、二证、三计算一作、二证、三计算”.
