平面向量基本定理及坐标表示

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1、5.2 5.2 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示要点梳理要点梳理1.1.两个向量的夹角两个向量的夹角 （1 1）定义）定义 已知两个已知两个 向量向量a a和和b b, ,作作 = =a a， = =b b，则，则AOBAOB= =叫做向量叫做向量a a 与与b b的夹角的夹角. . (2) (2)范围范围 向量夹角向量夹角的范围是的范围是 , ,a a与与b b同向时，同向时， 夹角夹角= = ; ;a a与与b b反向时，夹角反向时，夹角= = . .非零非零0 01801801801800 0基础知识基础知识 自主学习自主学习霞早安撞胜秤径傀三亦侩咙需远鼻骚伸袒丝鼠涅

2、糯拭号敝炒搬琵漾展荤倒平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 (3) (3)向量垂直向量垂直 如如果果向向量量a a与与b b的的夹夹角角是是 ，则则a a与与b b垂垂直直, ,记记作作 . .2.2.平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 （1 1）平面向量基本定理）平面向量基本定理 定定理理：如如果果e e1 1, ,e e2 2是是同同一一平平面面内内的的两两个个 向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任意意向向量量a a, , 一一对对实实数数 1 1, , 2 2, ,使使a a= = . . 其其中中，不不共共线线的的向向量量e e1 1

3、, ,e e2 2叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所有有向量的一组向量的一组 . .9090a ab b不共线不共线有且只有有且只有1 1e e1 1+ + 2 2e e2 2基底基底浚釉墨蓟箭妒悍继难肺际产恒羚科辱虾熊骡银喉英弄挖赏午沁整柱豁苏遇平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示(2)(2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解. .(3)(3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同轴方向相同的

4、两个单位向量的两个单位向量i i, ,j j作为基底，对于平面内的一个向作为基底，对于平面内的一个向量量a a, ,有且只有一对实数有且只有一对实数x x, ,y y, ,使使a a= =x xi i+ +y yj j, ,把有序数对把有序数对 叫做向量叫做向量a a的坐标，记作的坐标，记作a a= = ，其中，其中 叫叫a a在在x x轴上的坐标，轴上的坐标， 叫叫a a在在y y轴上的坐标轴上的坐标. .设设 = =x xi i+ +y yj j，则向量，则向量 的坐标（的坐标（x x, ,y y) )就是就是 ，即若，即若 = =（x x, ,y y），则），则A A点坐标为点坐标为 ,

5、 ,反之亦成立反之亦成立. .（O O是坐标原点）是坐标原点）( (x x, ,y y) )x xy y( (x x, ,y y) )终终点点A A的坐标的坐标（x x, ,y y）互相垂直互相垂直颗绳泪组矢赶痞怜组戴署番捡艘捆光拯僧骆幅鸣纯了栗沫羊聋河敢手巴蕾平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 （1 1）加法、减法、数乘运算）加法、减法、数乘运算. . （2 2）向量坐标的求法）向量坐标的求法 已已知知A A（x x1 1，y y1 1），B B（x x2 2，y y2 2），则则 =(=(x x2 2- -x x1 1, ,y

6、y2 2- -y y1 1),),即一个向量的坐标等于该向量即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去的坐标减去 的坐标的坐标. . (3) (3)平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 设设a a=(=(x x1 1, ,y y1 1),),b b=(=(x x2 2, ,y y2 2),),其中其中b b0 0, ,则则a a与与b b共线共线a a= = . .终点终点始点始点 b bx x1 1y y2 2- -x x2 2y y1 1=0=0耙谱阑谈杀零万梭玛昂鼓狐酞狰槽闸判槛宇枚磷购脑侠鸯捶庐拒回涌介贰平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示基础自测基础自测1.1.（

7、20082008辽宁文，辽宁文，5 5）已知四边形已知四边形ABCDABCD的顶点的顶点 A A（0 0，2 2）、）、B B（-1-1，-2-2）、）、C C（3 3，1 1）, ,且且 = = 2 2 则顶点则顶点D D的坐标为的坐标为（） A. A. B.B. C.(3,2) C.(3,2)D.(1,3)D.(1,3) 解析解析 A A(0,2),(0,2),B B(-1,-2),(-1,-2),C C(3,1),(3,1), =(3,1)-(-1,-2)=(4,3). =(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设设D D（x x，y y), =(), =(x x, ,y y-2),

8、=2 ,-2), =2 , (4,3)=(2 (4,3)=(2x x,2,2y y-4).-4).x x=2,=2,y y= .= .A股贩盆踪魂艳迭炉假彻拟破滇杉寨舆糠暴驹烯形蔗间募典版索迷雨打瘁水平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示2.2.已知已知a a=(4,2),=(4,2),b b=(=(x x,3),3),且且a ab b，则，则x x等于（等于（）A.9A.9B.6B.6C.5C.5D.3D.3 解析解析 a ab b，12-212-2x x=0=0，x x=6.=6.3.3.已已知知两两点点A A（4 4，1 1），B B（7 7，-3-3），则则与与 同同向向

9、的的单位向量是单位向量是（） A. A. B.B. C. C. D. D. 解析解析 A A（4 4，1 1），），B B（7 7，-3-3），）， = =（3 3， -4 -4），）， 与与 同向的单位向量为同向的单位向量为BA颖呼彰乡玄拢悟橙妨抖诞姿臀纲柳赚想檄论借蘸蔗峦息酸髓奶扮烽低恫剪平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示4.4.（20082008安安徽徽理理，3 3）在在平平行行四四边边形形ABCDABCD中中，ACAC为为一一条条对对角角线线，若若 = =（2 2，4 4）， = =（1 1，3 3），则则 等于等于（） A. A.（-2-2，-4-4）B.B.（-3

10、-3，-5-5） C. C.（3 3，5 5）D.D.（2 2，4 4） 解析解析 如图所示，如图所示， （-1-1，-1-1），）， 所以所以 （-3-3，-5-5）. .B翱果雏终着或讣盎顺澡勾壤悉这皿晴芝虱诡斟同潍董碰务宵挥身汪顶肮超平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示5.5.已知向量已知向量a a= =（8, 8, x x），），b b=(=(x x,1),1)，其中，其中x x0 0，若，若( (a a- - 2 2b b)(2)(2a a+ +b b) )，则，则x x的值为的值为 . . 解析解析 a a-2-2b b= =（8-28-2x x, , x x-2-

11、2），），2 2a a+ +b b=(16+=(16+x x, ,x x+1),+1), 由已知由已知( (a a-2-2b b)(2)(2a a+ +b b),),显然显然2 2a a+ +b b0 0，故有（，故有（8-28-2x x, , x x-2-2）= = (16+(16+x x, ,x x+1)+1) 8-2 8-2x x= = (16+(16+x x) ) x x-2=-2= ( (x x+1)+1)4 4x x=4 (=4 (x x0).0).性园润彬翰爆廖掇盲折驰氯礼懒属掏陛价鼓惑绪酞难痉桃讫继安澄伍骡改平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示题型一题型一 平面

12、向量基本定理平面向量基本定理【例例1 1】如图所示，在平行四边形】如图所示，在平行四边形ABCDABCD中，中， MM，N N分别为分别为DCDC，BCBC的中点，已知的中点，已知 = =c c， = =d d，试用，试用c c，d d表示表示 ， . . 直直接接用用c c、d d表表示示 、 有有难难度度，可可换换一一个个角角度度，由由 、 表表示示 、 ，进进而而解解方方程程组组可可求求 、 . .思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析略踌吩垃庭斜悦贼冒拳戒蹲痊喷妊垃炭塞林脖瓷购署恒球唤波茶啃乏班姆平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示解解 方法一方法一 设设

13、= =a a， = =b b，则则a a= = =d d+ +（ b b） b b= = =c c+( +( a a) ) 将将代入代入得得a a= =d d+( )+( ) , ,代入代入得得舌仑往瞒乘濒皿躁绎舵公槽候气俊渡铡升距周烂岗帛谎瞧副蔫耙瑞俭恳末平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示方法二方法二 设设 = =a a， = =b b. .因因MM，N N分别为分别为CDCD，BCBC的中点，的中点，所以所以 b b， a a， c c= =b b+ + a a a a= (2= (2d d- -c c) ) d d= =a a+ + b b b b= (2= (2c c

14、- -d d),),即即 = = （2 2d d- -c c），）， = = （2 2c c- -d d）. .因而因而 平平面面向向量量基基本本定定理理从从理理论论上上说说明明平平面面内内任任何一个向量都可以用一组基底表示何一个向量都可以用一组基底表示. .这就是说这就是说 、 一一定定能能用用c c、d d表表示示. .本本题题用用方方程程的的思思想想使使问问题题得得以以解决解决. . 探究提高探究提高 毁滞锅辣矣今允偏钎峻旋园砖狙鲸呼熏剿缝狠驻见怜砂怀焕兑唤穗卯启徐平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示知能迁移知能迁移1 1 如图所示，在如图所示，在ABCABC中，点中，点

15、 O O是是BCBC的中点，过点的中点，过点O O的直线分别交的直线分别交 直线直线ABAB、ACAC于不同两点于不同两点MM、N N， 若若 则则m m+ +n n的值的值 为为 . . 解析解析 设设 = =a a， = =b b， （a a+ +b b）- - 皇瓣船躁香伴塌皖麓拱削叹眩掀棘唱感塔娥卑恍铺叛蠕厕寺瘦懊提诈窖罗平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 同理同理 由由 得得 = = 整理得整理得m m+ +n n=2.=2. 答案答案 2 2即即撒挪烘僳定雍竟暇捆巨铃磷镁惶扎需宾眼稚辆爪缸午八榆思额隔曼铁碌坛平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示题型

16、二题型二 向量的坐标运算向量的坐标运算【例例2 2】已知点】已知点A A（1 1，0 0）、）、B B（0 0，2 2）、）、C C（-1-1， - - 2 2），求求以以A A、B B、C C为为顶顶点点的的平平行行四四边边形形的的第第四四个个顶点顶点D D的坐标的坐标. . “以以A A、B B、C C为为顶顶点点的的平平行行四四边边形形”可可以以有有三三种种情情况况：（1 1）ABCDABCD；（2 2）ADBCADBC；（3 3）ABDCABDC. . 解解 设设D D的坐标为（的坐标为（x x, ,y y）. . (1) (1)若是若是ABCDABCD，则由，则由 得得 (0,2)-

17、(1,0)=(-1,-2)-( (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x x, ,y y),), 即即(-1,2)=(-1-(-1,2)=(-1-x x,-2-,-2-y y),), -1- -1-x x=-1,=-1, -2- -2-y y=2.=2.思维启迪思维启迪含顾辣烬趣逝尿墟碱坪阂谴塌丁拖验健驾恼卞汇爽额举尔奢伤真牛嗡袄宫平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示x x=0,=0,y y=-4.=-4.D D点的坐标为（点的坐标为（0 0，-4-4）（如图中的）（如图中的D D1 1）. .（2 2）若是）若是ADBCADBC，则由，则由 得得（x x，y y）- -（

18、1 1，0 0）= =（0 0，2 2）- -（-1-1，-2-2），），即即( (x x-1,-1,y y)=(1,4).)=(1,4).解得解得x x=2,=2,y y=4.=4.D D点坐标为（点坐标为（2 2，4 4）（如图中的）（如图中的D D2 2）. .（3 3）若是）若是ABDCABDC，则由，则由 得得（0 0，2 2）- -（1 1，0 0）= =（x x, ,y y）-(-1,-2),-(-1,-2),即即(-1,2)=(-1,2)=(x x+1,+1,y y+2).+2).解得解得x x=-2,=-2,y y=0.=0.D D点的坐标为（点的坐标为（-2-2，0 0）（

19、如图中的）（如图中的D D3 3）. .综上所述，以综上所述，以A A、B B、C C为顶点的平行四边形的第四个为顶点的平行四边形的第四个顶点顶点D D的坐标为（的坐标为（0 0，-4-4）或（）或（2 2，4 4）或（）或（-2-2，0 0）. .孵毖票圭巷子彝豺窃验汛呆匙赐胸铁抡崭像饼王异侣应煮彝梦箕席咙茶詹平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 探探究究提提高高 （1 1）要要加加强强对对向向量量的的坐坐标标与与该该向向量量起起点点、终终点点的的关关系系的的理理解解，以以及及对对坐坐标标运运算算的的灵灵活活应应用用. . （2 2）向向量量的的坐坐标标运运算算是是向向量量运

20、运算算的的数数量量表表达达形形式式，更更能能利利用用代代数数知知识识解解决决，也也是是向向量量被被广广泛泛应应用用的的基基础础. .担醇澎冲尿冰骄冷衰镍投曼基萝璃渣粥仕关陌袭周晾商豌弧耿脉骗百剿簧平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示知知能能迁迁移移2 2（20092009辽辽宁宁文文，1313）在在平平面面直直角角坐坐标标系系xOyxOy中中，四四边边形形ABCDABCD的的边边ABABDCDC，ADADBCBC. .已已知知A A（-2-2，0 0），B B（6 6，8 8），C C（8 8，6 6），则则D D点点的的坐坐标为标为 . . 解析解析 设设D D点的坐标为（点

21、的坐标为（x x, ,y y）, ,由题意知由题意知 , , 即（即（2 2，-2-2）=(=(x x+2,+2,y y) )，所以，所以x x=0,=0,y y=-2,=-2,D D(0,-2).(0,-2). (0,-2)(0,-2)咋总甥芦帕地猴霹虎渝霄往硅荧器牙岩伺烬虚贡悯域慑颧伎浦桑饯馏裁炮平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示题型三题型三 平行向量的坐标运算平行向量的坐标运算【例例3 3】 （1212分）平面内给定三个向量分）平面内给定三个向量a a=(3,2),=(3,2),b b= =(-1,2),(-1,2),c c=(4,1).=(4,1).回回 答答 下下

22、列列 问问 题题 ： （ 1 1） 若若（a a+ +k kc c）(2(2b b- -a a) )，求实数，求实数k k; ; (2) (2)设设d d=(=(x x, ,y y) )满足满足( (d d- -c c)()(a a+ +b b) )且且| |d d- -c c|=1,|=1,求求d d. . （1 1）由由两两向向量量平平行行及及两两向向量量平平行行的的条条件件得出关于得出关于k k的方程，从而求出实数的方程，从而求出实数k k的值的值. . （2 2）由由两两向向量量平平行行及及| |d d- -c c|=1|=1得得出出关关于于x x, ,y y的的两两个个方方程，解方程

23、组即可得出程，解方程组即可得出x x, ,y y的值，从而求出的值，从而求出d d. .思维启迪思维启迪撵湾诞蔷翻泌令猜窗南刃位愚苯霹蓑沈咖钓翘谬瞪菠切吱析窑注彼严郴喂平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示解解 （1 1）（a a+ +k kc c）（2 2b b- -a a），），又又a a+ +k kc c=(3+4=(3+4k k,2+,2+k k),2),2b b- -a a=(-5,2),=(-5,2),2 2分分22(3+4(3+4k k)-(-5)-(-5)(2+(2+k k)=0,)=0,4 4分分k k=- .=- .6 6分分（2 2）d d- -c c=(=

24、(x x-4,-4,y y-1),-1),a a+ +b b=(2,4),=(2,4),又又( (d d- -c c)()(a a+ +b b) )且且| |d d- -c c|=1,|=1, 4( 4(x x-4)-2(-4)-2(y y-1)=0-1)=0 ( (x x-4)-4)2 2+(+(y y-1)-1)2 2=1,=1,8 8分分淋种漫沟扦败苛格苍教逢百勇编博静蛤兹玻颤延筋懊舍哈猎纸齿让拴衷断平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 12 12分分 向量平行的坐标公式实质是把向量问题转向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题化为实数的运算问题. .通过坐

25、标公式建立参数的方通过坐标公式建立参数的方程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程思想在向量中的应用思想在向量中的应用. .探究提高探究提高解得解得1010分分暑佬介希寐容虏茄搪璃薯滚狭嗅禁苯匡恫汁酵钙操耸肥媳矩穿疡切烃知艘平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示知知能能迁迁移移3 3 已已知知点点O O（0 0，0 0），A A（1 1，2 2），B B（4 4，5 5）且）且 （1 1）求点）求点P P在第二象限时，实数在第二象限时，实数t t的取值范围；的取值范围； （2 2）四四边边形形OABPOABP能能否否为为平平行行

26、四四边边形形？若若能能，求求出出相应的实数相应的实数t t; ;若不能，请说明理由若不能，请说明理由. . 解解 O O（0 0，0 0），），A A（1 1，2 2），），B B（4 4，5 5），）， = =（1 1，2 2），）， = =（4-14-1，5-25-2）= =（3 3，3 3）. . （1 1）设设P P（x x，y y），则则 = =（x x，y y），若若点点P P在在第第二二象限，象限， x x0 0 y y0 0则则且且( (x x, ,y y)=(1,2)+)=(1,2)+t t(3,3),(3,3),骄痕逼曝胞夜屋嘎赌园巧坊敖撬懒莫桃耗分滥乳钳怪锄幻炎费挣迭儒蝎

27、粪平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 x x=1+3=1+3t t 1+3 1+3t t0 0 y y=2+3=2+3t t 2+3 2+3t t0,0,（2 2）因因为为 = =（1 1，2 2）， （3-33-3t t，3-3-3 3t t），），若四边形若四边形OABPOABP为平行四边形，则为平行四边形，则 3-3 3-3t t=1=1 3-3 3-3t t=2,=2,无解，无解，四边形四边形OABPOABP不可能为平行四边形不可能为平行四边形. ., , 灵贫筐坟钟祈遥彩篙钉涅猿敲钩轴菩泅烫膀剖犯绒脂鲍员陌债断衣伞赛珊平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标

28、表示方法与技巧方法与技巧1.1.坐坐标标的的引引入入使使向向量量的的运运算算完完全全代代数数化化，成成了了数数形形结结合的载体，也加强了向量与解析几何的联系合的载体，也加强了向量与解析几何的联系. .2.2.中中点点坐坐标标公公式式：P P1 1（x x1 1, ,y y1 1）, ,P P2 2( (x x2 2, ,y y2 2),),则则P P1 1P P2 2中中点点P P的坐标为的坐标为 在在ABCABC中，若中，若A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2），）， C C（x x3 3，y y3 3），则），则ABCABC的重心的重心G G的坐标为

29、的坐标为思想方法思想方法 感悟提高感悟提高芝郭钾懒插压礁固辑魂镀剖偷寝钢训攘索营锌筒炒祸囤当送损粗藐俯族葱平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示失误与防范失误与防范1.1.要要区区分分点点的的坐坐标标与与向向量量的的坐坐标标的的区区别别，尽尽管管在在形形式式上上它它们们完完全全一一样样，但但意意义义完完全全不不同同，向向量量的的坐坐标标中中同样有方向与大小的信息同样有方向与大小的信息. .2.2.在在处处理理分分点点问问题题比比如如碰碰到到条条件件“若若P P是是线线段段ABAB的的分分点点，且且| |PAPA|=2|=2|PBPB| |”时时，P P可可能能是是ABAB的的内内

30、分分点点，也也可能是可能是ABAB的外分点，即可能的结论有：的外分点，即可能的结论有： 或或3.3.数数学学上上的的向向量量是是自自由由向向量量，向向量量x x=(=(a a, ,b b) )经经过过平平移移后后得到的向量的坐标仍是（得到的向量的坐标仍是（a a, ,b b）. .榆升凭频贱饼悸碉昌扭颐拈公莲凿烬藏歼翰差任电鞋含擅雹龚梢打褪宜稼平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示一、选择题一、选择题1.1.（20092009湖北文，湖北文，1 1）若向量若向量a a=(1,1),=(1,1),b b=(-1,1),=(-1,1), c c=(4,2),=(4,2),则则c c=

31、 =（） A.3 A.3a a+ +b bB.3B.3a a- -b b C.- C.-a a+3+3b bD.D.a a+3+3b b 解析解析 设设c c= =x xa a+ +y yb b, ,则则(4,2)=(4,2)=x x(1,1)+(1,1)+y y(-1,1),(-1,1), 4= 4=x x- -y y, , x x=3.=3. 2= 2=x x+ +y y. . y y=-1.=-1.定时检测定时检测B故故c c=3=3a a- -b b. .圈凿蔽岂浙僚歌肢丫乱丝妄蛛牌邻瞻对电刚嘲斜骋筛悸攒钦祖占鉴畏瞻谰平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示2.2.若若a

32、a=(2cos=(2cos ,1),1),b b=(sin ,1), =(sin ,1), 且且a ab b，则，则tantan 等于等于（） A.2 A.2B. B. C.-2C.-2D.D. 解析解析 a ab b，2cos2cos 1=sin1=sin .tan .tan =2.=2.A魏膏纱约妇托沟姐貌捻芭放蕊梁橡馆伍文拜提徒竭踩博钎午寿寄筹搽诬媚平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示3.3.已知向量已知向量a a=(1,2),=(1,2),b b=(0,1),=(0,1),设设u u= =a a+ +k kb b, ,v v=2=2a a- -b b，若，若 u uv

33、v，则实数，则实数k k的值为的值为（） A.-1 A.-1B. B. C. C. D.1D.1 解析解析 u u= =（1 1，2 2）+ +k k（0 0，1 1）= =（1 1，2+2+k k），）， v v= =（2 2，4 4）- -（0 0，1 1）= =（2 2，3 3），又），又u uv v， 1 13=23=2（2+2+k k），得），得k k= .= .B畅吞蔓孙马炽毖匠狭绥惩桩履徊区元宣屈寿绍诀火馁街鸟叭昼悔簇拽市褂平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示4.4.（20092009重重庆庆文文，4 4）已已知知向向量量a a=(1,1),=(1,1),b b=

34、(2,=(2,x x).).若若a a+ +b b与与4 4b b-2-2a a平行，则实数平行，则实数x x的值是的值是（） A.-2 A.-2B.0B.0C.1C.1D.2D.2 解解析析 a a+ +b b=(3,1+=(3,1+x x),4),4b b-2-2a a=(=(6,4x-6,4x-2),2),a a+ +b b与与4 4b b- -2 2a a平行，则平行，则4 4x x-2=2(1+-2=2(1+x x),),x x=2.=2.D育莹章谋踏堪翻沈变叔孕郸它舀钦竹舒衷坦僧金眺经傈汁冰蜒膳扬葵檬钳平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示5.5.已已知知向向量量 =

35、 =（1 1，-3-3）， = =（2 2，-1-1）， = =（m m+1+1，m m-2-2），若若点点A A、B B、C C能能构构成成三三角角形形，则则实数实数m m应满足的条件是应满足的条件是（） A. A.m m-2-2B.B.m m C. C.m m11D.D.m m-1-1 解析解析 若点若点A A、B B、C C不能构成三角形，则只能共线不能构成三角形，则只能共线. . (2 (2，-1)-1)-（1 1，-3-3）=(1=(1，2)2)， （ m m+1+1， m m-2-2） - -（ 1 1， -3-3） = =（m m，m m+1+1）. . 假设假设A A、B B、

36、C C三点共线，三点共线， 则则1 1( (m m+1)-2+1)-2m m=0,=0,即即m=m=1.1. 若若A A、B B、C C三点能构成三角形，则三点能构成三角形，则m m1.1.C灿盟订蛾骋捆卸淘启赐扭隘醋舔疫属涸翌甥畜址揖粗琴雕磊极趣目矩窘匀平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示6.6.已已知知O O为为原原点点，A A、B B是是两两定定点点， = =a a， = =b b，且且点点P P关关于于点点A A的的对对称称点点为为Q Q，点点Q Q关关于于点点B B的的对对称称点点为为R R，则，则 等于等于（） A. A.a a- -b bB.2B.2（a a- -

37、b b） C.2 C.2（b b- -a a）D D. .b b- -a a 解析解析 设设 = =a a= =（x x1 1，y y1 1），）， = =b b= =（x x2 2，y y2 2），）， 则则A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2）. . 设设P P（x x，y y），则由中点坐标公式可得），则由中点坐标公式可得 Q Q（2 2x x1 1- -x x,2,2y y1 1- -y y）, ,R R(2(2x x2 2-2-2x x1 1+ +x x,2,2y y2 2-2-2y y1 1+ +y y).). (2 (2x x2 2-2-2

38、x x1 1,2,2y y2 2-2-2y y1 1) ) =2( =2(x x2 2, ,y y2 2)-2()-2(x x1 1, ,y y1 1),),即即 =2 =2（b b- -a a）. .C已泄矿再掣募枫庇转汀氦漂皂伎鹊眠忌临慰垢猪脓抢翼豁呛器讹辙秸谱醉平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示二、填空题二、填空题7.7.（ 20092009广广 东东 理理 ， 1010） 若若 平平 面面 向向 量量 a a， b b满满 足足| |a a+ +b b|=1,|=1,a a+ +b b平行于平行于x x轴，轴，b b=(2=(2，-1),-1),则则a a= = .

39、. 解解析析 |a a+ +b b|=1,|=1,a a+ +b b平平行行于于x x轴轴，故故a a+ +b b=(1,0)=(1,0)或或（-1-1，0 0）,a a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或或a a(-1,0)(-1,0) - -（2 2，-1-1）= =（-3-3，1 1）. .8.8.已已知知向向量量a a=(2=(2x x+1,4),+1,4),b b=(2-=(2-x x,3),3)，若若a ab b，则则实实数数x x的值等于的值等于. . 解析解析 由由a ab b得得3(23(2x x+1)=4(2-+1)=4(2-x

40、 x),),解得解得x x= .= .(-1,1)(-1,1)或（或（-3-3，1 1）宛昼菏梧游菜男曝窒彪啥称嘿尸总四羞肩惊棚谗卡忆缴虫迁懦寡沃棉陷舜平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示9.9.已已知知向向量量集集合合MM=a a| |a a= =（1 1，2 2）+ + （3 3，4 4）， R R ，N N=b b| |b b= =（-2-2，-2-2）+ +（4 4，5 5）， R R ，则则MMN N= = . . 解析解析 由由(1,2)+ (1,2)+ 1 1(3,4)=(-2,-2)+ (3,4)=(-2,-2)+ 2 2(4,5),(4,5), MMN N=(

41、-2,-2).=(-2,-2).(-2,-2)(-2,-2)相绅缝蛤粘豌癣旁欢案迟掩领阻若睬共徊澄杭腻盗乱随傍空壬挡癣滥腥攻平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示三、解答题三、解答题10.10.已知已知A A(1,-2),(1,-2),B B（2 2，1 1），），C C（3 3，2 2），），D D（-2-2， 3 3），以），以 ， 为一组基底来表示为一组基底来表示 . . 解解 =(1 =(1，3)3)， =(2 =(2，4)4)， =(-3 =(-3，5)5)， = =（-4-4，2 2），）， = =（-5-5，1 1），）， （-3-3，5 5）+ +（-4-4，2

42、2）+ +（-5-5，1 1）= =（-12-12，8).8).悼罗搪码揍土挛吊垂厢男响勃涧豺锚猫樊玻斑伦囚岁堂已涸烧泡胚熔芭酞平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m m, ,n n使得使得（-12-12，8 8）= =m m（1 1，3 3）+ +n n（2 2，4 4）. . -12= -12=m m+2+2n n, , 8=3 8=3m m+4+4n n, ,得得m m=32=32，n n=-22.=-22.馆遗弧血公给增春军刚鳃馒耪扰琅扫彝师绽绸税加节疼评亥钒没辐彦克损平面向量基本定理及坐标表示

43、平面向量基本定理及坐标表示11.11.已知已知A A(-2(-2，4),4),B B（3 3，-1-1）, ,C C（-3-3，-4-4）. .设设 = =a a， = =b b， = =c c，且，且 =3 =3c c， =-2 =-2b b， （1 1）求：）求：3 3a a+ +b b-3-3c c； （2 2）求满足）求满足a a= =m mb b+ +n nc c的实数的实数m m, ,n n. . 解解 由已知得由已知得a a=(5,-5),=(5,-5),b b=(-6,-3),=(-6,-3),c c=(1,8).=(1,8). (1)3 (1)3a a+ +b b-3-3c

44、c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2) (2)m mb b+ +n nc c=(-6=(-6m m+ +n n,-3,-3m m+8+8n n),), -6 -6m m+ +n n=5 =5 m m=-1=-1 -3 -3m m+8+8n n=-5, =-5, n n=-1.=-1.解得解得颅菜功饯恿铀慎区瑶雪蒂葬茁隐昧枚盟泊藕鞠壮额互珊谨幽蓉舔鼓麦妨旁平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示12.12.

45、在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分别是角分别是角A A、B B、C C的对边，的对边，已知向量已知向量m m= =（a a，b b），向量），向量n n= =（cos cos A A，cos cos B B），向量），向量p p= = 若若m mn n, ,p p2 2=9,=9, 求证：求证：ABCABC为等边三角形为等边三角形. . 证明证明 m mn n，a acos cos B B= =b bcos cos A A. . 由正弦定理，得由正弦定理，得sin sin A Acos cos B B=sin =sin B Bcos cos A A， 即即sin(sin(A A-

46、 -B B)=0.)=0. A A、B B为三角形的内角，为三角形的内角，-A A- -B B. A A= =B B.p p2 2=9=9，8sin8sin2 2 +4sin+4sin2 2A A=9. =9. 肄殖雅恐衫带璃盔唾手漏弱痛直闲驾寿州成历趴魏藐蜡仔地它酬抱螺来维平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示441-cos1-cos（B B+ +C C）+4+4（1-cos1-cos2 2A A）=9.=9.4cos4cos2 2A A-4cos -4cos A A+1=0+1=0，解得，解得cos cos A A= .= .又又00A A,A A= .= .ABCABC为等边三角形为等边三角形. . 返回返回 碧吼磋医枫杯嚼历享饭俱肘谋取珠爬跑梗抛钡祟傈整菱市屹靶慰恼靳恶角平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示