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1、第五讲第五讲 函数极限的运算法则函数极限的运算法则一、极限的运算法则一、极限的运算法则对于对于+ +0xx- -0xx , x ,+x ,-x等情况的运算等情况的运算法则可类似。法则可类似。定理定理 1 1设设Axfxx= =)(lim0 ,Bxgxx= =)(lim0则有：则有：lim0xx )(lim0xgxx )(lim0xfxx = =)()(xgxf lim0xx )(lim0xfxx = = 特别地特别地)(xCf)(lim0xfxx lim0xx C= =n nxf)(= =xxxf)(lim0xx lim0)(lim0xgxx 0)(limxfxx )()(xgxflim0xx
2、 = =其中其中0)(lim0 = =Bxgxx证明证明 只证只证 法则法则1 1 其余仿证其余仿证指出：指出： 法则法则1、2都可推广到有限个具有极限的函数的情形都可推广到有限个具有极限的函数的情形因因Axfxx= =)(lim0 , Bxgxx= =)(lim0 , 由无穷小与函数由无穷小与函数 )()(xBxgb b+ += = 0)(lim0= =xxxb b)(xBb b+ + )(xAa a+ += =)()(xxb ba a + +)(BA = =由无穷小的性质知：由无穷小的性质知： 0)()(lim0= = xxxxb ba a)(lim)(lim00xgxfxxxx = =B
3、A = =)()(lim0xgxfxx 再由无穷小与函数极限的关系得：再由无穷小与函数极限的关系得：极限之关系知极限之关系知回顾：回顾：极限的几种类型极限的几种类型：1)简单型简单型 由运算法则直接求出结果由运算法则直接求出结果 ：解解例例2= =)2(lim1- -+ +xx1- -x)73(lim2+ + + xx273lim21- -+ + + +xxxx5= =15= =21 + +- -7)1(3)1(2+ +- -+ +- -= =注注 : 一般地一般地 , 求有理函数当求有理函数当0xx 的极限时的极限时若分母的极限不为零，若分母的极限不为零，0xx = =把把 代入有理代入有理
4、 即为该函数的极限。即为该函数的极限。函数直接求函数值函数直接求函数值 , ,002)型型 ( 记号记号 )4= =2+ +2= =)2(lim2+ += =xx例例 3 24lim22- - -xxx【注】【注】 对分对分子、分子、分母极限母极限均均为为0情形的有理式情形的有理式 , 先约先约去分子分母的公因子去分子分母的公因子 ,再求极限，再求极限，不能直接使用法则不能直接使用法则 3练习：练习：解解 3)型型( 记号记号 ) 23= =)112lim(2+ +- - xxx)113(lim2+ + += = xxx= =xx11211322+ +- -+ + +xxlim x例例4 12
5、13lim22+ +- -+ + + xxxxx0= =10= =)91(lim2- - xx)51(lim2+ += = xxx= =912- -x512+ +xxlim x例例5 95lim2- -+ + xxx【注】【注】对对 型型的有理式函数的的有理式函数的极限极限 , 由于分子分母极限由于分子分母极限为为 , 极限不存在极限不存在 ,不能用法则不能用法则 3 , 先对分子先对分子 、分母同分母同除以除以x的最高次幂再求极限。的最高次幂再求极限。一般地一般地 ,设设0, 000 ba ,nm,为正整数为正整数 ,则则练习：练习：解解4) - - 型型 【注】【注】对对 - - 型型的有
6、理式函数求的有理式函数求极限极限 ,先通分先通分, , 后求极限。后求极限。例例6 练习：练习： 求求解解5) 0C 型型再利用再利用无穷无穷小小与无穷与无穷大大 之间的关系之间的关系, ,可得可得: :练习：练习：解解二、极限存在准则二、极限存在准则（1 1）夹逼准则）夹逼准则 都有不等式都有不等式)()()(xhxfxg 成立成立 , 且且Axhxgxxxx= = =)(lim)(lim00注注 准则一准则一对对 x 等等 情况也成立。情况也成立。 1.1.极限存在准则极限存在准则利用两边夹法则可以证明利用两边夹法则可以证明: : （两边夹法则）（两边夹法则）（2）单调有界准则）单调有界准则 单调有界的数列必有极限单调有界的数列必有极限.定义定义1 对于数列对于数列如果存在正数如果存在正数M,都满足不等式都满足不等式定义定义2如果满足不等式如果满足不等式:对于数列对于数列如果满足不等式如果满足不等式:小结小结一、函数极限的四则运算一、函数极限的四则运算二、多项式商的极限二、多项式商的极限三、复合函数的极限三、复合函数的极限
